高中数学《函数模型及其应用》教案6苏教版必修1.docx
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高中数学《函数模型及其应用》教案6苏教版必修1
2019-2020年高中数学《函数模型及其应用》教案6苏教版必修1
教学三维目标、重点、难点、准备。
1．1教学三维目标
（1）知识与技能：
使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。
（2）过程与方法：
通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。
（3）情感态度与价值观：
利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。
1．2教学重点：
由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。
1．3教学难点：
如何根据面临的实际问题建立函数模型。
1．4教学准备：
PPT制作与几何画板制作。
1教学过程。
（学生）：
（对5种基本初等函数进行回顾）
（教师）：
（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：
把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。
数学建模的形式是多样的。
解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。
函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。
现在同学们来回顾一下以前是如何来解应用题的？
它的步骤是怎样的？
（打开PPT）运用建模思想解函数应用题的一般步骤是：
读（阅读材料，审题，找基本量或关系）；
建（提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型）；
求（根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论）；
还（把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案）。
一.由变量之间的依存关系建立函数关系；
（学生）：
是不是题目中就已经告诉我们几个量之间的函数关系了？
（教师）：
是的。
而且我们以前所接触的基本上就是这样的题目。
二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。
（学生）：
它是不知道函数关系式的。
（教师）：
（打开PPT）例：
某地新建一个服装厂，从今年月份开始投产,并且前4个月的产量分别为万件，万件，万件，万件。
由于产品质量好服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好，为使推销员在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？
在这个题目里给我们的只是一些随机性的数据，要看出这些数据间的联系，我们只有——
（学生）：
画散点图。
（学生们接下来画散点图，过1分钟。
）
板书：
画散点图
图1
（教师）：
（打开几何画板），如图1所示各点：
把4个点分别记为A、B、C、D。
观察这4个点有何联系？
（学生）：
这4个点基本上在同一条直线上。
（学生）：
应该是一次函数，是。
板书：
由图可知：
①用一次函数拟合，把B、C坐标值代入，得，故。
∴与实际的误差为，与实际的误差为
（教师）：
（打开几何画板），如图1蓝线所示：
（教师）：
我们仔细地观察图形，发现A、D都在直线的下方，我们可以——
（学生）：
二次函数可以吗？
（有点不肯定）
板书：
②用二次函数
拟合，把A、B、C坐标值代入，得
，故
∴
与实际误差为
（教师）：
（打开几何画板），如图1黑线所示。
（教师）：
观察这些数据，我们可以发现随着自变量的增加函数值也在增加，但是增加的速度是越来越慢的，那我们可以——
（学生甲）：
对数函数。
（学生乙）：
幂函数。
（学生丙）：
指数函数。
（教师）：
要求掌握的是次的幂函数，从经过的点来看不是次的幂函数，但是我们可以用次的幂型函数来拟合。
板书：
③用幂型函数拟合，把A、B坐标值代入，得，故
∴与实际误差为，与实际误差为，
（教师）：
（打开几何画板），如图1红线所示：
（教师）：
因为图象不经过这个点，可以肯定不是指数函数。
（学生）：
课本上有个例子是用来拟合的，是不是这个也可以的？
板书：
④用指数型函数拟合，把A、B、C坐标值代入，得
，
（2）-
（1）、（3）-
（1）得，∴
故。
∴与实际的误差为
（教师）：
（打开几何画板），如图1绿线所示：
（教师）：
因为对数函数是经过点的——
（学生）：
（议论，基本能想到在整个函数式子后面加一个常数，很少想到图象的左右平移，即在后边加一个常数）
（教师）：
同学们都能想到在整个式子后加一个常数，我们知道这是图象的上下平移；难道同学们就不能想到图象的左右平移，那这样的式子应该是——
（学生）：
后边加一个常数。
板书：
⑤用对数型函数
拟合，把A、B、C坐标值代入，得
，
（2）-
（1）、（3）-
（1）得
，
，∵，∴，
∴，
，
把
，
故
，∴与实际的误差为
（教师）：
刚才我们算了一个比较小的误差，现在这个误差是更小的。
（教师）：
（打开几何画板），如图1墨绿线所示：
（教师）：
从图象中我们可以看到D点更加接近于曲线，所以说假如你们作为厂长的话，你们选择的函数模型应该是
，以这个函数模型作为依据来估计以后几个月的需求量。
由实际的趋势我们也可以知道当一种新的产品投入市场后的一段时间内，假如产品好的话，肯定会比较畅销。
过了这段时间由于市场饱和及工厂设备或另一种新的产品出现等情况，必定要导致原来产品的平稳期。
所以说我们也应该选择这一函数模型。
在刚才的函数模拟中有同学提出是否可以在式子前乘上一个系数，这是完全可以的。
由于时间的关系我们就不继续展开了，同学们可以在课后去研究一下是否可行。
实际上对于这样一个具体的问题，我们假如继续去模拟新的函数模型有可能会更加吻合。
这里只能说没有最好的，只有更好的，所以说答案也是不一定唯一的。
马尔萨斯人口增长模型也是在他经过无数次的拟合后得到的一个模型。
下面我们来看一下我们刚才的基本过程：
（打开PPT）（如图2）（说明：
各方块在PPT中是逐一出现的）
图2
实行了新的课程之后，我们要学习的一门重要学科就是《研究性学习》。
刚才的过程给了我们一个比较好的实例，如何来解决实际的问题，对于同学们搜集到的数据如何进行处理。
（打开PPT）小结：
（1）
（2）（3）（说明：
小结部分可由学生自己总结得到）
作业：
某厂生产一种机器的固定投入为万元,但每生产台,需要另投入万元.市场对此产品的需求量为台,销售收入函数为（万元）,其中是产品售出的数量（单位:
百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数;
（2）年产量是多少时,工厂所得利润最大?
（3）年产量是多少时,工厂才不会亏本?
2教学反思。
作为新课改下的一节研究性的课堂教学，主要有以下几个理念的体现：
（1）倡导积极主动、勇于探索的学习方式
新课程里倡导的是学生的主动探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式。
这节课里的5种函数模型基本上都是学生在主动探索中来发现，这样有助于发展他们的创新意识。
（2）注重提高学生的数学思维能力
同学们在运用所学的数学知识解决问题时，不断地运用了直观感知、数据处理、观察发现、归纳类比、反思与建构等思维过程。
（3）发展学生的数学应用意识
越来越多的学生认为高中数学的学习已经是越来越没用了。
实际上数学越来越多地在生活、经济、政治、文化等领域中发挥了不可替代的作用。
（4）与时俱进地体现“双基”
我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统。
新课改要求着我们继续发扬这种传统，但也要适当的改变。
例如一些计算可以由计数器来完成，不加入一些人为性的计算技巧等。
（5）注重信息技术与数学课程的整合
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。
本节课中的散点图以及各函数图象如果不是在几何画板中来完成就会影响了时间又影响了各函数拟合效果。
2019-2020年高中数学《函数模型及其应用》教案7新人教A版必修1
一．课标要求：
1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．命题走向
函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测xx年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；
（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
三．要点精讲
1．解决实际问题的解题过程
（1）对实际问题进行抽象概括：
研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：
将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：
根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示：
2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：
（1）阅读理解、整理数据的能力：
通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
（2）建立函数模型的能力：
关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；
（3）求解函数模型的能力：
主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
四．典例解析
题型1：
正比例、反比例和一次函数型
例1．某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。
根据此表所给的信息进行预测：
（1）如果不采取任何措施，那么到xx年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；
（2）如果从xx年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
观测时间
1996年底
1997年底
xx年底
xx年底
xx年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）
0.xx
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
解析：
（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。
将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，
求得k=0.2，b=0，
所以y=0.2x（x∈N）。
因为原有沙漠面积为95万公顷，则到xx年底沙漠面积大约为
95+0.5×15=98（万公顷）。
（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得
95+0.2x－0.6（x－5）=90，
解得x=20（年）。
故到xx年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。
点评：
初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。
特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。
例2．（xx安徽理21）（已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明其中和均为常数；
证明（Ⅰ）令，则，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，则。
假设时，，则，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假设时，，则，而，∴，即成立。
∴成立。
点评：
该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。
而不是一味的向函数求值方面靠拢。
题型2：
二次函数型
例3．一辆中型客车的营运总利润y（单位：
万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。
（A）4（B）5（C）6（D）7
x年
4
6
8
…
（万元）
7
11
7
…
解析：
表中已给出了二次函数模型
，
由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则
。
解得a=－1，b=12，c=-25，
即。
而取“=”的条件为，
即x=5，故选（B）。
点评：
一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。
例4．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。
为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。
在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？
刹车时车速v/km/h
15
30
40
50
60
80
刹车距离s/m
1.23
7.30
12.2
18.40
25.80
44.40
解析：
所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。
此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系。
根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。
假设变量v与s之间有如下关系式：
，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。
再在散点图中任意选取两点A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是
。
（代入其他数据有偏差是许可的）
将s=15.13代入得
，
解得v≈45.07。
所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。
例5．（xx北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？
最大月收益是多少？
解：
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：
=12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：
f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：
f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
点评：
本题贴近生活。
要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。
题型3：
分段函数型
例6．某集团公司在xx年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：
一期xx年投入
1亿元
兴建垃圾堆肥厂
年处理有机肥十多万吨
年综合收益
2千万元
二期xx年投入
4亿元
兴建垃圾焚烧发电一厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
三期xx年投入
2亿元
兴建垃圾焚烧发电二厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设xx年以后的x年的总收益为f（x）（单位：
千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。
解析：
由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理。
由表中的数据易得，
f（x）=
。
显然，当n≤4时，不能收回投资款。
当n≥5时，由f（n）=10n-24>70，
得n>9.4，取n=10。
所以到xx年可以收回全部投资款。
点评：
分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果。
例7．（xx全国，21）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中
（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中
（2）的抛物线表示.
图2—10
（1）写出图中
（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；
写出图中
（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?
（注：
市场售价和种植成本的单位：
元／102，ｋg，时间单位：
天）
解：
（1）由图
（1）可得市场售价与时间的函数关系为
f（t）＝
由图
（2）可得种植成本与时间的函数关系为
g（t）＝（t－150）2＋100，0≤t≤300．
（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－g（t），
即h（t）＝
当0≤t≤200时，配方整理得h（t）＝－（t－50）2＋100，
所以，当t＝50时，h（t）取得区间［0，200］上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得
h（t）＝－（t－350）2＋100，
所以，当t＝300时，h（t）取得区间（200，300］上的最大值87.5.
综上，由100＞87．5可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.
点评：
本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.
题型4：
三角函数型
例8．某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：
h）的函数，记作y=f（t）。
下面是某日水深的数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象。
（1）试根据以上数据求出函数y=f（t）的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。
某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留多少时间（忽进出港所需的时间）？
解析：
题中直接给出了具体的数学模型，因此可直接采用表中的数据进行解答。
（1）由表中数据易得，周期T=12，，b=10，
所以。
（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于
5+6.5=11.5（m），
所以，
化为，
应有
，
解得12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）。
在同一天内取k=0或1，
所以1≤t≤5或13≤t≤17，
所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚在下午17时出港，在港口内最多停留16个小时。
点评：
三角型函数解决实际问题要以三角函数的性质为先，通过其单调性、周期性等性质解决实际问题。
特别是与物理知识中的电压、电流、简谐振动等知识结合到到一块来出题，为此我们要对这些物理模型做到深入了解。
题型5：
不等式型
例9．（xx湖南理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为:
为,要求清洗完后的清洁度为.有两种方案可供选择,方案甲:
一次清洗;方案乙:
分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为.设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是,用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,
其中是该物体初次清洗后的清洁度.。
（Ⅰ）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
（Ⅱ）若采用方案乙,当为某固定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最小?
并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解析：
（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程:
解得y=4,故z=4+3.
即两种方案的用水量分别为19与4+3.
因为当
故方案乙的用水量较少.
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得
，（*）
于是+
当为定值时,
当且仅当时等号成立.此时
将代入（*）式得
故时总用水量最少,
此时第一次与第二次用水量分别为,
最少总用水量是.
当
故T（）是增函数，这说明,随着的值的最少总用水量,最少总用水量最少总用水量.
点评：
该题建立了函数解析式后，通过基本不等式“”解释了函数的最值情况，而解决了实际问题。
该问题也可以用二次函数的单调性判断。
例10．（xx上海，文、理21）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：
用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）.
（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（3）设f（x）=，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也
可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?
说明理由
解：
（1）f（0）=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．
（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：
f（0）=1，f
（1）=，
在［0，＋∞）上f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1．
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为f1＝，清洗两次后，残留的农药量为
f2＝
，
则f1－f2＝
．
于是，当a＞2时，f1＞f2；当a=2时，f1＝f2；当0＜a＜2时，f1＜f2．
因此，当a＞2时，清洗两次后残留的农药量较少；
当a=2时，两种清洗方法具有相同的效果；
当0＜a＜2时，一次清洗残留的农药量较少．
点评：
本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。
以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法。
题型6：
指数、对数型函数
例11．有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。
现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。
用
，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数。
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
（2）分析时，湖水的污染程度如何。
解析：
（1）设，
因为为常数，，即
，
则；
（2）设，
=
因为，，。
污染越来越严重。
点评：
通过研究指数函数的性质解释实际问题。
我们要掌握底数两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题。
譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”
例12．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？
（参考数据：
）
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