高中数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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高中数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计学情分析教材分析课后反思
【教学设计】
【教学目标】
【知识目标】：
①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容。
②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题。
【能力目标】：
①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用。
②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题。
【情感目标】：
树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣
【教学重点】
分类计数原理与分步计数原理的掌握
【教学难点】
根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．
【教学手段】
多媒体辅助教学
【教学方法】
启发式和讨论式相结合,
类比教学.
【教学过程】
【引入新课】
日常生活中我们经常遇见一些霸气的汽车牌照如：
鲁A66666，鲁BJ8888这些车牌号有怎样的特点？
有什么规律吗？
通过本节课的学习对该问题就迎刃而解了展示教学目标，学生认真阅读，了解本节课的目标、教学重难点，教师板书本节课的课题。
【新课讲授】
【明计数之道-----生活感知，初识原理】
1、分类加法计数原理
现在我们先来看情境1，
提问：
狐狸一共有多少种不同的方法，可以从草地逃到小岛
找学生回答，并叙述思路。
完成这件事按交通工具需要分两类，第1类水路有2种走法，第2类陆路有3种走法，一共有5种走法。
2和3与5有何数量关系呢？
（2+3=5）既两类走法相加。
教师和学生共同剖析“这件事”
【明计数之道——感知积累再识原理】
问题剖析
狐狸要做的一件事是什么？
完成这件事情有几类方案？
每类方案中的任何一种方法能否独立完成这件事情?
每类方案中分别有几种不同的方法？
完成这件事情总共有多少种不同的方法？
【明计数之道——抽象概括揭示原理】
新知：
（一）分类加法计数原理：
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案，
在第1类方案中有m种不同的方法，
在第2类方案中有n种不同的方法，
那么完成这件事共有（N=m+n）种不同的方法。
上述原理称为分类加法计数原理
强调：
确定分类，各类相加。
出示例1：
例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴的
强项专业，具体情况如下：
A大学B大学
生物学数学
化学会计学
医学信息技术学
物理学法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
师生共同分析，学生给出答案，教师点评。
【互动探究】：
若还有C大学，其中强项专业为：
新闻学、金融学、人力资源学.那么，他共有多少种选择呢？
教师提示：
类别增加，且专业各不相同。
学生叙述思路并给出答案。
【思考】若数学也是A大学的强项专业，则A大学共有
6个专业可选择，B大学共有4个专业可以选择，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
（6+4=10对吗）让学生回答原因。
从而强化了采用分类加法计数原理需要满足类类无关的条件。
出示巩固练习，学生练习，教师巡视，指导问题，找学生说
答案，集体核对
二．分步乘法计数原理
【情境2】
提出问题狐狸一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到自己的房子（安全地）？
（可以从草地到小岛，再从小岛去安全地）
学生探讨，找学生叙述思路。
教师归纳：
完成这件事可以分2个步骤：
第一步去草地有3种走法，第2步去安全地有2种走法，一共有6走法。
提问：
6与3和2有何数量关系？
（6=3×2）强调：
各步相乘。
教师和学生共同剖析“这件事”
问题剖析
狐狸要做的一件事是什么？
完成这件事情需要分几步？
每步中的任一方法能否独立完成这件事情?
每步方法中分别有几种不同的方法？
完成这件事情总共有多少种不同的方法？
（2）发现新知
分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有（N=m×n）种不同的方法.那么再使用这个原理时又有哪些关键点需要注意呢？
学生归纳概括：
步步相连，即完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事
出示例2
【例2】设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?
学生解决，回答。
出示
【变式训练】学生叙述思路
【明计数之道——类比迁移同化原理】
1.分类加法计数原理的推广
若完成一件事情可以有n类方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法,…在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事情有
种不同的方法。
以后们再分类的时候不局限于分两类了，几类都行了，那么在使用分类加法计数原理时有什么关键点需要注意的呢？
让学生归纳，教师强调：
类类无关。
即分为若干类，各类的方相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.那
2.分步乘法计数原理的推广
若完成一件事情需要n个步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…在第n步方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情有
种不同的方法。
再使用这个原理时又有哪些关键点需要注意呢？
学生归纳概括：
步步相连，即完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
不同点
注意点
【明计数之道——辨析理解固化原理】
【明计数之道——典例探究巩固原理】
【例3】书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
（1）从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?
（2）从书架中任取1本书,有多少种不同取法?
让学生独立解决，集体订正。
变式：
从书架上任取
两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
分析：
要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书
，任取2本不同学科的书可以分3类方法，第1类从1、2层取，在第1类中
又分2步取，第1步取第1层的，有4种方法，第2步取第2层的，有3种方法，所以第一类有4×3种方法，第2类从1、3层取，有4×2种方法，第3类从2、3层取，有3×2种方法，共有4×3+4×2+3×2=26（种）方法。
强调首先明确完成这件事需要分类还是分步，有时分类中又用到分步，有时分步中
又用到分类。
出示例4
【例4】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
让学生思考分析，教师引导。
分析：
从3幅画
中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，
有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3×2=6.
学生思考：
该题还有其他解法吗？
师生共同分析，教师给出答案
从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法；
（“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）
第二步，将选出的2幅画挂好，有2种挂法
根据分步计数原理，不同挂法的种数是：
N=3×2=6.
【变式训练】学生叙述思路
【明计数之道——反思过程顺化原理】
【课堂练习】用链接回到本节课的任务，我们完成了前四个任务，该看看课
堂小结，回顾一下本节所学了哪些内容？
有什么关键点需要强调？
展示课堂小结：
1、我们学习了哪两种基本原理？
2、两种基本原理需强调哪些关键点？
1．应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事．
（2）完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．
（3）确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：
①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；②不同两类中的两种方法不能相同，即不重复，无遗漏．
2．应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
3．利用分步乘法计数原理解题的一般思路
（1）分步：
将完成这件事的过程分成若干步；
（2）计数：
求出每一步中的方法数；
（3）结论：
将每一步中的方法数相乘得最终结果．
作业布置：
必做题：
P6练习1、2、3
P14A组1、2
【学情分析】
一、教学内容情况。
两个基本计数原理是贯穿这章始终的主线。
排列数、组合数公式，二项式定理等都是用计数原理来推导和证明的。
利用计数原理解决计数问题是通性通法。
在教学中，要充分发挥计数原理的作用，把计数原理作为解决计数问题的基本工具，对于具体的与计数有关的问题，应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。
在解决问题时，要强调通性通法，不必追求题型套路和解题技巧。
同时，在这部分教学中，应避免繁琐的技巧性过高的计数问题。
二、学生情况分析。
我校的课堂教学改革是一个逐步深入的过程，在过去的两年读时间内，创出自己独特的模式“疑探展导练”，特别是我们普通班的大面积运用，提高了学习效率，增加了学生的主动性，对学生的学习能力进行了很好的提升。
由于我组织教学的对象是普通班的学生，学生动手能力较弱，学生基础薄弱，做为贯穿整个统计计数的基本原理，要求学生建立一个良好的模型思维，所以在第一节的教学中，我通过创设情境，启发引导学生在观察、分析、归纳的基础上，自主探索，发现数学结论和规律，掌握数学方法，突出学生的主体地位.让学生明晰两个原理的区别，把握二者的联系，并要引导学生进行了初步运用。
【效果分析】
本节课每一个教学环节的设计和方式、方法的选择都很引人入胜，大大调动了学生积极性。
引例中，研究路线的种数，从学生熟悉的问题入手，学生已接受。
引入两个原理的概念，同时将两个原理进行推广。
本节让学生充分动起来，以学生自探为前提，以小组内互学、对学为主主阵地，以展示、点评为激情，以质疑、冲突为提高，让每一问学生都以主人的姿态呈现给大家。
特别是两个例题，避开老师的一味说教，通过小组讨论，能给组内学生随时质疑的空间；通过互学让每一位学生都能零距离学习，通过对学生编题的讨论，激发了学生的学习兴趣。
总之，本节课引导下，全体学生的潜力得到很大限度的挖掘，有梯度的完成了课堂教学，学生人人学有所得。
师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作和谐，配合默契，教与学的气氛达到最优化，课堂教学效果达到最大化。
探究活动的设计，通过动手、动脑，亲自实践，在感知、体验的基础上，内化形成新知，学生教师教得轻松，学生学得愉快
【教材分析】
一、知识分析
本节课《分类计数原理与分步计数原理》是（选修2-3）第一章第一节的内容。
二、教材分析
分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律。
它们不仅是推导本章1.2排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据，也是求解排列、组合问题的基本思想，且教材将排列、组合及二项式定理的研究都作为两个计数原理的典型应用而设置的。
可见，其基本思想方法贯穿本章内容的始终，因而，它们是学好本章内容的关键。
另一方面，这两个计数原理也是学生今后学习概率及今后进一步学习高等数学有关分支的预备知识。
因此，理解和掌握两个计数原理应该是最基本而重要的。
根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。
但考虑普通班班学生能力较弱，本节对两个原理的应用仅仅是做了一定探索，未进行题型概括以及与排列组合后续相关知识的衔接。
第二课时对题型总结，再对排列组合后续相关知识进行适当衔接
3、目标定位
本节课的教学目标从以下三个方面阐述：
（1）知识与技能
①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容。
②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题。
（2）过程与方法
①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用。
②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并解决实际问题。
（3）情感、态度、价值观
树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣。
四、重难点分析
对学生而言，“计数”是其学习数学的基本能力之一，简单的计数问题，其解决方法就是“数”数，但复杂的问题呢？
因此，要使学生意识到，只会机械地“数”是不够的，必须从简单的、已能解决的计数问题中，抽象出能够解决一类”问题的方法，并明确界定适用该方法的问题的“类”．由此可知，本节课教学的重点与难点为：
1．本节课的重点是经历对实际问题进行方法建构的过程，从而掌握解决实际计数问题的流程，即：
分析问题→构造方法→选择原理→解决问题．
2．本节课的难点是在具体问题解决中，区别使用计数原理．
五、教法分析：
①启发探究法：
这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；
有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
②分组讨论法：
有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
六、学法分析：
本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作
交流意识。
七、课时安排
本节课两个课时完成，掌握两个基本计数原理即可。
【评测练习】
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为_____.
2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为______
3．从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________.
4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条．
5.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
【课后反思】
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是高中数学中的一个重点和难点内容，也是一个重要的计数原理，分类加法计数原理和分步乘法计数原理，贯通了高中数学统计的几大部分：
排列，组合，概率计算，分布列等。
通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：
提高学生的逻辑思维、推理能力；培养学生辩证思维素质，全面提高学生数学能力；培养学生科学探索的创新精神，提高学生综合素质。
对分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学，我主要从以下几个方面进行设计：
（1）为什么要使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理？
（2）什么是分类加法计数原理和分步乘法计数原理？
（3）什么时候分类加法计数原理和分步乘法计数原理？
（4）怎样正确使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理？
（5）计数原理的教学步骤应该怎么书写？
在例题和例题选择上我首先选择的都是很基础的题目，通过生活事例和数学问题的比较，引导学生讨论，促使学生主动思维。
让学生先尝到成功的喜悦，接着进行例题变式，激起他们的求生欲，进而来引导学生参与知识的研讨，在解决问题的同时发现问题，再解决问题，强化了新知的学习。
课堂最后用链接回到引例设计的问题，让学生体会到今天所学内容的用处，同时又能体会到局限性，为下节新授做好感情铺垫。
本节课讲授完也留给我一些问题值得思考：
1、审题不清是学生常犯的一个错误，在以后
的教学中多设计一些这样的陷阱让学生提高警惕。
2、自己的语速还是稍微快一点。
3、教学层次性可再加强些。
【课标分析】
计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。
在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。
为了更好地理解整体定位，需要明确下面几方面的问题：
（1）简单的计数问题讨论的是有限集合所含元素的个数。
排列数、组合数都是特定集合所含元素的个数，在讨论简单计数问题时，应明确所讨论的集合中元素的基本特征，这是解决技术问题的基础。
（2）正确地使用基本计数原理是学习本部分内容的关键。
中学数学课程中关于排列、组合的计算公式都是以基本计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用问题的求解，离不开两个基本计数原理，两个基本计数原理是解决简单计数问题的通性通法，排列问题、组合问题以及二项式定理等都是依赖这些通行同法解决的。
（3）理解两个基本计数原理使用的条件是正确使用两个基本计数原理的前提。
标准要求“能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题”。
对于计数原理中的分步和分类，学生不是一下子就能深刻理解的，需要教师引导，帮助学生找到分步和分类的特征要求：
分类要“类类无关”，分布要“步步相连”。
课程标准要求的具体化和深广度分析
（1）如何认识“通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。
”
第一，通过具体问题情境和实际事例，让学生感悟和总结出两个基本计数原理；除教材的实例外，教师可以补充一些事例充实教材，帮助学生更深刻地领悟两个基本计数原理。
第二，在理解具体问题时，应分析问题的特征，明确该问题中的计数问题是用分类还是用分布，或者两者都用。
结合具体问题使学生认识：
为什么分类要做到“不重不漏”，分布要做到步骤完整两个基本计数原理是贯穿这部分内容始终的主线。
排列数、组合数公式，二项式定理等都是用计数原理来推导和证明的。
利用计数原理解决计数问题是通性通法。
在教学中，要充分发挥计数原理的作用，把计数原理作为解决计数问题的基本工具，对于具体的与计数有关的问题，应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。
在解决问题时，要强调通性通法，不必追求题型套路和解题技巧。
同时，在这部分教学中，应避免繁琐的技巧性过高的计数问题。
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