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数学建模交巡警服务平台的设置与调度论文
交巡警服务平台的设置与调度
摘要
本文要求根据城市的实际情况与需求，合理地解决设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源的等问题。
第一个问题要求为各交巡警服务平台分配管辖范围，我们将该问题转化为求解任意两点间最短路径的问题，从单一节点考虑，比较21-92号每个节点分别到1-20号服务平台的最短距离，寻找单一节点到21-92号平台距离的最小值，确定这个节点的归属，将没有考虑到的路段作为特殊情况进行分析，最终确定所有平台的管辖范围（详见第7页）。
第二个问题是一个选址问题中的P-中心问题，即求解所有平台到达其对应节点所用最长时间最小化的问题。
该问题主要通过从服务平台到出入城路口节点的时间来衡量交巡警服务平台警力调度方案是否合理。
交通要道实现全封锁所需要的时间取决于封堵方案中出警平台至出警封锁路口的最长距离，即求每个服务平台与其相对应的入口节点都有一个最短距离最大值，并使最大值最小。
最后求解得服务平台的交警封锁所有出口所用的最短时间是8.01分钟。
第三个问题，假设每个节点作为服务平台，综合考虑现有服务平台管辖范围内的发案率以及出警及时与否，确定评价标准，在发案率高且出警路径长的路口节点54、60、39处增加3处服务平台。
第四个问题从局部着手进行解决，先判断A区服务平台设置的合理性，再综合考虑全市服务平台设置方案的合理性。
首先判断A区的平台设置方案是否合理，若不合理，采用P-中位问题综合考虑任务量和出勤率重新选择服务平台，选择前后进行比较说明重新选址后平台的设置方案得到了优化（详见第11页）。
第五个问题是同样是封锁问题，我们将它转化成和第二个问题相类似的P-中心问题。
由于罪犯逃跑的方向不确定，所以警务人员所要封锁的是一个已逃跑路程为半径的圆，我们可以考虑这个圆内的所有节点，从而把问题转化成交警平台封锁节点的问题，再利用第二个问题的模型进行求解，最快封堵时间为接到报警后4.38分钟（详见第15页）。
关键词：
图论最大最小化问题P-中位问题合理调度问题
一、问题重述
为了更有效地贯彻实施警察刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众的职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
就某市设置交巡警服务平台的相关情况，需要建立数学模型分析研究下面的问题：
（1）根据该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图及相关的数据信息，请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。
对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。
（2）针对全市的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性。
如果有明显不合理，请给出解决方案。
如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
二、问题分析
2.1问题1的分析
问题1共有三个问题需要解决：
第一个问题是确定A城区20个交巡警服务平台各自的管辖范围，第二个问题是确定A城区交巡警服务平台警力封堵调度方案，第三个问题是确定增加A城区交巡警服务平台的位置和具体个数。
2.1.1确定交巡警服务平台管辖范围的分配的分析
本问题要求警车尽量在3分钟内（警车的时速为60km/h时，3分钟内行驶的路程为3km）到达事发地。
通过图论中任意两点间最短路的算法，我们可以求出任意路口节点到其它路口节点的最短距离。
比较分析路口节点到20个服务平台的距离：
若该路口节点距离某平台距离最短，则认为该路口节点归此平台管辖，线路
两端节点均在交巡警服务台
的管辖范围内，则线路
也在服务平台m的管辖范围内，作为一般情况处理；
若线路
两端节点分别属于两个交巡警服务台
和
的管辖范围，则当节点
发生突发事件时，作为特殊情况进行处理；
若相邻两路口节点恰好为服务平台或中间路段的道路的距离过长，两服节点间道路的归属问题，作为特殊情况进行处理。
2.1.2交巡警服务平台警力合理调度方案的分析
由题目要求可知，对进出A区的13条交通要道实行快速全封锁时，一个平台的警力最多封锁一个路口。
因此该问题可以转化为分配问题，即从20个服务平台中选择13个服务平台分配给13个入城区的路口节点。
在该问题中，我们主要通过从服务平台到出入城路口节点的时间来衡量交巡警服务平台警力调度方案是否合理。
根据封堵时间、警车时速和行驶距离的关系，可以将“封锁时间”转化为“出警平台至出警封锁路口的距离”；相应的，可以将“快速封锁”转化为“出警平台至出警封锁路口的距离最短”。
同时，交通要道实现全封锁所需要的时间取决于封堵方案中出警平台至出警封锁路口的最长距离，因此，全程封堵距离最短未必是封堵时间最短。
即每个服务平台与其相对应的入口节点都有一个最短距离，取这些最短距离中的最大值，并使最大值最小。
这样可以求得最优的交巡警服务平台警力调度方案。
2.1.3增加服务平台的具体个数和位置的方案分析
本问题要求根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在A区内再增加2至5个平台。
因此在确定增加服务平台的数量和数目时，假设除已有的1-20号平台以外的72个路口节点均可以作为服务平台。
在其作为服务平台的基础上，综合考虑现有服务平台管辖范围内的发案率以及出警及时与否，确定评价标准（指标），给出在发案率高且出警路径长的路口节点处增加服务平台。
2.2.1该市现有交巡警服务平台设置方案合理性的判断及解决方案的制定分析
本问题从局部着手进行解决，先判断A区服务平台设置的合理性，再综合考虑全市服务平台设置方案的合理性。
综合考虑交巡警服务平台的原则和任务主要通过考虑工作量、出警时间（出警时间通过距离来衡量）的实际情况来体现：
案发率越高工作量越大任务越繁重，节点到平台的距离越长出警时间越长。
综合考虑这两个因素时，对20区间任务量和出警时间的总体情况可以通过方差的大小来判断，若方差过大则不合理。
当区域内服务平台设置不合理，则在综合考虑工作量和出警时间的情况下，运用P-中位算法在A区内重新选择20个服务平台。
2.2.2调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案的分析
罪犯犯罪后一定会尽量选择逃离现场的较快的路线，也就是说罪犯不会选择绕弯路逃离。
我们假设罪犯逃离的速度和警车的速度相同，那么三分钟内罪犯逃离的总路程大约是3公里，由于罪犯是选择最短路径逃跑，那么我们可以得到三分钟时大约所在的节点及确定出节点所在区域。
我们采用和第一大问第二小问相同的方法分析，取A区内8交警平台分别封锁这8个节点，使得平台到节点最大时间最小，即可得到合适的围堵方案。
三、模型假设
1．假设某平台管辖的范围内不同时发生两起及以上的突发事件。
2．单独分析某个区的时候，不考虑该区与其它区之间的道路。
3．警车出警时的时速不受交通流高峰时段、事件占用车道位置、天气等随机因素及道路的弯折度的影响；
4．假设辖区警力警车满足突发事件数，不存在排队等候现象。
5．封锁交通要道时，只需封锁相应路口；
6．每个平台的警力均能满足封锁一个路口的条件。
7．划分交巡警服务平台管辖范围时将整个路段归一个服务平台管辖，尽量避免一个路段分为两个服务平台管辖，相邻两个节点恰好为服务平台间及中间距离过长的路段除外。
四、符号说明
符号
含义
vi/vj
图的第i/j个路口节点
dij
路口节点vi到路口节点vj的最短距离
wij
路口节点vi到路口节点vj的权，wij=dij
P
服务平台
Dj
服务平台j到最近的出入城区路口的最短距离
xij
0-1变量
C
maxDj的估算值
Ki
节点i处的案发率
Q
综合评价指数
Z
路口节点到出入城区路口的总距离
五、模型的建立与求解
5.1问题1模型的建立与求解
5.1.1交巡警服务平台管辖范围分配模型的建立
由2.1.1的分析，本问题分为两种情况进行处理。
1.一般情况
交巡警服务平台管辖范围的分配问题是一个图论问题，对此我们将其转化为求任意两点间最短路问题来求解，该算法主要采用Warshall-Floyd算法的思想【1】。
求出任意两点的距离后，分别将除20个服务平台外的72个路口节点到20个服务平台的距离进行比较，到某个平台最小，则该路口节点归该平台进行管辖。
我们假设交巡警服务平台管辖范围的分配以路口节点为基准进行分配，即距服务平台最短的节点归该平台管辖，该节点和对应平台间的线路归该平台所管；对于分别归两个服务平台管辖的相邻两路口节点间的路段以及相邻两节点恰好为平台间的路段，作为特殊情况进行处理。
Warshall-Floyd算法运用了动态规划的基本思想，定义dij为路口节点vi到路口节点vj的最短距离，wij是路口节点vi到路口节点vj的权。
求解该问题分为3个步骤：
步骤1输入图的权矩阵W。
对所有i,j，有dij=wij，k=1；
步骤2更新dij。
对所有i,j，若dik+dkj步骤3若dij<0，则存在一条含有路口节点vi的负回路，停止；或者k=n停止，否则转到步骤2。
用以上算法求出平台的管辖范围就有一些路口节点间的路段被忽略了，对此我们作为特殊情况进行处理。
2.特殊情况
（1）第一种情况
如图1所示，2、5号路口节点为服务平台，1、3、4号为普通路口节点，假设计算的结果为：
3、6号节点归2号平台管辖，则2-3、2-1、3-1间的线路归2号平台管辖；4号节点归5号平台管辖，则5-4间的线路归5管辖。
通过上面的分析3-4间的线路就被忽略了。
此种情况下为了保证服务平台到达管辖路段最远点的时间最短，采用以下方法进行判断：
若mind24若mind24>mind53，则3-4间的路段归5号服务平台管辖。
更加一般的情况为，假设第j个路口节点归服务平台Pi管辖，第j+1个节点归Pi+1管辖。
若minPij+1若minPij+1>minPi+1j，则路口节点j-j+1间的路段归j号服务平台管辖。
（2）第二种情况
如图2，服务平台1和平台2间没有其他路口节点，平台1、2间的路段被忽略。
对于此种情况，为了保证能够及时处理突发事件，我们将1-2路段平分为两段进行处理，突发事件事故点距哪个服务平台更近，由哪个服务平台进行处理。
如图3中，7、10号路口节点为服务平台，8、9号为普通路口节点当出现如图2所示的情况，即路段8-9之间的距离远大于3千米时，7-9和8-10间的距离都远大于3千米，此时8-9路段也平分成两段进行处理。
5.1.2交巡警服务平台管辖范围分配模型的求解
首先，用excel对全市交通路口节点和全市交通路口的路线的数据进行处理，算出相邻两个节点路口间的距离，并将其整理为图的权矩阵W（见附录1）
其次，对求任意两点间最短路问题的算法进行MATLAB编程（见附录2），将图的权矩阵W带入到MATLAB程序中得到结果（见附录3）整理后可得：
表1一般情况下交巡警服务平台管辖表
服务平台节点标号
管辖路口节点标号（包括两节点间路段）
1
67、68、69、71、72、73、74、75、76、78
2
39、40、43、44、70
3
54、55、65、66
4
57、60、62、63、64
5
49、50、51、52、53、56、58、59
7
30、32、47、48、61
8
33、46
9
31、34、35、45
11
26、27
12
25
13
21、22、23、24
15
28、29
16
36、37、38
17
41、42
18
80、81、82、83
19
77、79
20
84、85、86、87、88、89、90、91、92
在上表中，节点和对应平台间的线路归该平台所管，例如15号服务平台管辖28、29号路口节点，则28、29和28、15间的线路归15号服务平台管辖。
若两节点同时归一个服务平台管辖，则这两个节点间的线路也归该服务平台管辖。
例如，节点70、43归平台2管辖，则70-43间的线路也归平台2管辖。
最后，根据表1的数据和A区的交通网络与平台设置的示意图采用5.1.1特殊情况的分析方法，对特殊情况进行求解。
分析计算结果见表2、表3。
表2第一种特殊情况下交巡警服务平台管辖表
服务平台节点标号
管辖区段
1
64-76、66-67、69-70、74-80
2
42-43、43-72、44-67
3
3-44、3-45、64-65、65-66
4
4-39、54-63、56-57、57-58、60-61
5
5-47、53-54
6
6-50、6-47
7
7-37、31-32
8
8-47、32-33、46-55、45-46
9
33-34、34-37、35-36
10
10-34、10-26
11
11-22、11-25
12
12-27、24-25
14
14-21
15
15-31
16
38-39、36-39
17
17-40、17-81、38-41、41-92
18
18-73、82-90、83-84
19
76-77、78-79、79-80
表3第二种特殊情况下交巡警服务平台管辖表
类型
服务平台节点标号
需要平分管理的区段
相邻两节点为平台
7、15
7-15
8、9
8-9
14、16
14-16
中间路段距离过长
7、15
29-30
4、20
62-85
综合考虑一般情况和特殊情况，每个平台管辖的区域范围见下表：
表4交巡警服务平台管辖表
标号
管辖路口节点标号（包括两节点间路段）
路段
平分路段
1
67、68、69、71、72、73、74、75、76、78
64-76、66-67、69-70、74-80
2
39、40、43、44、70
42-43、43-72、44-67
3
54、55、65、66
3-44、3-45、64-65、65-66
4
57、60、62、63、64
4-39、54-63、56-57、57-58、60-61
62-85
5
49、50、51、52、53、56、58、59
5-47、53-54
6
6-50、6-47
7
30、32、47、48、61
7-37、31-32
7-15、29-30
8
33、46
8-47、32-33、46-55、45-46
8-9
9
31、34、35、45
33-34、34-37、35-36
8-9
10
10-34、10-26
11
26、27
11-22、11-25
12
25
12-27、24-25
13
21、22、23、24
14
14-21
14-16
15
28、29
15-31
7-15、29-30
16
36、37、38
38-39、36-39
14-16
17
41、42
17-40、17-81、38-41、41-92
18
80、81、82、83
18-73、82-90、83-84
19
77、79
76-77、78-79、79-80
20
84、85、86、87、88、89、90、91、92
62-85
20个平台的管辖范围可用下图表示：
图420个平台的管辖范围示意图
服务平台管辖范围超过3千米的节点数据进行统计，统计结果见下表：
表5交巡警服务平台管辖范围超过3千米的节点信息
序号
平台标号
路段
距离（单位：
千米）
1
2
2-39
3.68
2
4
4-56
3.1
3
4
4-52
3.35
4
4
4-61
5.21
5
5
5-54
8.37
6
7
7-61
4.23
7
12
12-24
3.59
8
15
15-28
4.75
9
15
15-29
5.7
10
16
16-39
3.41
11
20
20-85
3.45
12
20
20-92
3.59
5.1.3交巡警服务平台警力合理调度方案模型的建立
由2.1.2的分析可知，我们确定最优的交巡警服务平台警力的调度方案的标准是使服务平台与其相对应的入口节点最短距离中的最大值最小，则该问题是一个最大最小化问题【2】。
该模型的目标函数为13组服务平台到路口节点的中距离的最大值最小。
建立0-1规划模型如下：
（1）
Dj表示服务平台到出入城区路口的最短距离，xij是0-1变量，表示是否选择第i、j路口节点的线路，xij=1表示选择该线路，xij=0不选择该线路。
求解最大最小化问题时需要将上述规划模型转化为非线性混合组规划，去掉目标函数，增加约束条件：
Dj（2）
保留C为某个常数，原最大最小化问题转化为一个包含260个变量的非线性混合组规划。
常数C的实际意义是maxDj的估计值，为了保证求解C值的准确性，我们通过计算目标函数为服务平台到出入口节点的总距离最小时，Dj的最大值来估算C。
该模型计算公式如下：
（3）
5.1.4交巡警服务平台警力合理调度方案模型的求解
对公式
（2）、（3）进行LINGO编程（见附录4、5），将权矩阵W代入到公式（3）的LINGO程序中，可以得到maxDj=8.23，令C=Dj，得C=8.23，再将C=8.23代入到公式
（2）的LINGO程序中，调度方案中13个对应调动方案最长距离的最小值为8.02千米，对应得到最优的交巡警服务平台警力的调度方案，调度方案见表5：
表6交巡警服务平台警力的调度方案
交巡警服务平台警力的调度方案
该方案对应的平台到出口节点的最短距离
服务平台11-出入城路口节点12
3.79
服务平台16-出入城路口节点14
6.74
服务平台3-出入城路口节点16
6.03
服务平台14-出入城路口节点21
3.26
服务平台13-出入城路口节点23
0.5
服务平台15-出入城路口节点28
4.75
服务平台7-出入城路口节点29
8.01
服务平台9-出入城路口节点30
7.91
服务平台12-出入城路口节点24
3.59
服务平台4-出入城路口节点38
4.86
服务平台5-出入城路口节点48
3.1
服务平台17-出入城路口节点62
7.82
服务平台10-出入城路口节点22
7.71
5.1.5增加服务平台的具体个数和位置方案模型的建立
假设除1-20号平台以外的72个路口节点均为平台，在其管辖的范围内犯罪率为该平台处的犯罪率。
综合考虑所管辖范围内的犯罪率以及管辖距离，我们引入综合评价系数Q，综合评价系数Q越高，说明综合考虑平台工作量和出警时间时该平台的任务量越重。
由生活实际可知，某服务平台管辖范围内犯罪率K越高工作量越多，管辖范围（管辖范围通过节点到服务平台的最短距离体现，用d表示）越大出警时间越长；可以看出，d、K和Q成正比，即
Q=K•d（4）
运用公式（4）可以求解出除1-20号平台以外的72个路口节点分布作为平台时，其余所有节点的Q。
继而算出每个节点作为服务平台所管辖范围内的Q的总和，计算公式为：
（5）
计算92个节点（包括1-20号服务平台）作为服务平台∑Qi的均值，计算公式为：
（6）
以
标准，比较
和
的大小，若
>
，则认为第i个节点的总评估系数
过小，不足以作为服务平台，将满足条件的所有节点标号和总评估系数
汇总；
由于题目要求只能增加2-5个服务平台，因此上一步汇总的所有节点并不能全部设为服务平台。
先将汇总后的所有节点依照5.1.2平台管辖结果进行分类，即5.1.2中同一个平台管辖范围内的节点作为一组，并对组内所有节点的总评估系数
求均值，该均值作为本组所有节点的整体评估系数，由于题目要求只能增加2-5个服务平台，而每组中的节点由于相互间距离较近，只能选取本组所有节点中的一个，因此选择所有组中整体评估系数较高的5组。
计算选出的5组数据整体评估系数的均值作为衡量增加平台数目的依据，在大于该均值的组中选择
最大的节点作为服务平台。
运用上述算法计算Q时，需要每两个路口节点间的距离d和犯罪率K的乘积，由于每个节点的犯罪率K不不全相同，两路口节点间的距离也各不相同，计算每两个节点间的距离和对应的犯罪率非常繁琐，对此我们进行简化：
在5.1.2求解出的平台管辖范围的结果中，20个平台管辖的最长距离是9.41千米，我们以9.41千米为最大管辖范围，选出5.1.2权矩阵W中小于9.41的数据作为每个平台管辖的距离。
5.1.6增加服务平台的具体个数和位置方案模型的求解
运用MATLAB编写程序筛选满足条件（即小于9.41）的数据并计算Q=K•d（见附录6）。
然后用Excel求解每个平台管辖范围内的
、
、
，
较大的5组数据结果见下表：
表7设定平台位置标号表
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
节点标号
∑Q
节点标号
∑Q
节点标号
∑Q
节点标号
∑Q
节点标号
∑Q
67
449.2
54
534.3
57
567.8
36
434.2
39
497.9
68
449
55
527.3
60
589.6
37
441.6
40
497.1
75
443.6
65
491
62
585.8
38
519.7
44
497.9
76
444.1
66
468
63
537.6
64
468.2
∑Q均值
446.48
∑Q均值
505.15
∑Q均值
549.80
∑Q均值
465.17
∑Q均值
497.63
表中同一列的节点为一个平台管辖范围内的，这种情况下只能选择其中的一个作为平台，通过比较每组节点总评估
的均值和5组整体评估系数确定选择的增加的平台个数。
整体评估系数的均值为486.5，做出各组均值的图像和每组数据
的均值的图像，判断选择哪组数据。
图像如下：
图5值的图像和∑Q的均值的总均值图像
通过看图可以发现，图中有三组的均值超过了五组计算结果的平均值，因此选该三组数据比较合理，即选择第二、三、五组数据。
继而选择该三组数据中
最大的节点
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