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人教版初中数学知识总结新版修正版

人教版义务教育课程标准实验教科书

七年级上（62）

第1章有理数（19）

1.1正数和负数

一对相反意义的量用正负数表示。

1.2有理数

（1）整数和分数统称有理数.

0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；

（2）有理数的分类:

①

②

（3）注意：

有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性

（4）自然数0和正整数；a＞0a是正数；a＜0a是负数；

a≥0a是正数或0a是非负数；a≤0a是负数或0a是非正数.

1.2.2数轴

数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

1.2.3相反数

（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

（2）注意：

a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

（3）相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.

（4）相反数的商为-1.

（5）相反数的绝对值相等

1.2.4绝对值

（1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；

注意：

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

（2）绝对值可表示为：

或

；

（3）

；

；

（4）|a|是重要的非负数，即|a|≥0；

1.3.1有理数的加法

有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：

a+b=b+a；

（2）加法的结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）.

1.3.2有理数的减法

有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

1.4.1有理数的乘法

有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。

有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：

ab=ba；

（2）乘法的结合律：

（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：

a（b+c）=ab+ac.（简便运算）

1.4.2有理数的除法

有理数除法法则：

除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：

零不能做除数，

.1.5.1乘方

有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

乘方的定义：

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，结果叫做幂；

（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0；

（4）据规律

底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.

1.5.2科学记数法

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

1.5.3近似数

近似数的精确位：

一个近似数，四舍五入到那一位，近似数的精确到那一位.

有效数字：

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

第2章整式的加减（8）

2.1整式（3）

单项式：

表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。

单项式的系数与次数：

单项式中的数字因数，称单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.

多项式的项数与次数：

多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；

多项式：

几个单项式的和叫多项式.

2.2整式的加减

同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.

合并同类项法则：

系数相加，字母与字母的指数不变.

去（添）括号法则：

去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.

整式的加减：

一找：

（划线）；二“+”（务必用+号开始合并）三合：

（合并）

多项式的升幂和降幂排列：

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.

第3章一元一次方程（19）

3.1.1一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

3.1.2等式的性质

等式：

用“=”号连接而成的式子叫等式.

等式的性质：

等式性质1：

等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

等式性质2：

等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.

3.2解一元一次方程

（一）——移项与合并（4）

方程的解：

使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：

“方程的解就能代入”！

移项：

改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质.

3.3解一元一次方程

（二）——去括号与去分母（4）

一元一次方程解法的一般步骤：

化简方程----------分数基本性质

去分母----------同乘（不漏乘）最简公分母

去括号----------注意符号变化

移项----------变号（留下靠前）

合并同类项--------合并后符号

系数化为1---------除前面

3.4实际问题与一元一次方程（5）

列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法:

…………多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：

“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

（2）画图分析法:

…………多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题：

距离=速度·时间

；

（2）工程问题：

工作量=工效·工时

；

工程问题常用等量关系：

先做的+后做的=完成量

（3）顺水逆水问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2

顺水逆水问题常用等量关系：

顺水路程=逆水路程

（4）商品利润问题：

售价=定价

，

；

利润问题常用等量关系：

售价-进价=利润

（5）配套问题：

（6）分配问题：

第4章几何图形初步（16）

4.1.1立体图形与平面图形

立体图形：

棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.

1、几何图形

平面图形：

三角形、四边形、圆等.

主（正）视图---------从正面看；

2、几何体的三视图侧（左、右）视图-----从左（右）边看；

俯视图---------------从上面看.

（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.

3、立体图形的平面展开图

（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面图形不一样的.

（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.

4.1.2点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：

线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.

线：

面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.

面：

包围着体的是面，分为平面和曲面.

体：

几何体也简称体.

（2）点动成线，线动成面，面动成体.

4.2直线、射线、线段（3）

1、基本概念

图形

直线

射线

线段

端点个数

无

一个

两个

表示法

直线a

直线AB（BA）

射线AB

线段a

线段AB（BA）

作法叙述

作直线AB

作直线a

作射线AB

作线段a

作线段AB、连接AB

延长叙述

不能延长

反向延长射线AB

延长线段AB

反向延长线段BA

2、直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简称：

两点确定一条直线.

3、画一条线段等于已知线段

（1）度量法

（2）用尺规作图法

4、线段的大小比较方法

（1）度量法

（2）叠合法

5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等

定义：

把一条线段平均分成两条相等线段的点叫做线段的中点.

图形：

AMB

符号：

若点M是线段AB的中点，则AM=BM=

AB，AB=2AM=2BM.

6、线段的性质：

两点的所有连线中，线段最短.简称：

两点之间，线段最短.

7、两点的距离：

连接两点的线段长度叫做这两点的距离.

8、点与直线的位置关系1）点在直线上；2）点在直线外.

4.3角（5）

1、角：

由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.

2、角的表示法（四种）：

∠1；∠α；∠Ｂ；∠AＢC.

3、角的度量单位及换算

4、角的分类：

锐角、直角、钝角、平角、周角.

5、角的比较方法

（1）度量法

（2）叠合法

6、角的和、差、倍、分及其近似值

7、画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.

（2）借助量角器能画出给定度数的角.

（3）用尺规作图法，可以作出任意给定的角.

8、角的平线线

定义：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.

图形：

符号：

9、互余、互补

（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.

（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.

（3）余（补）角的性质：

同（等）角的余角相等.

同（等）角的补角相等.

10、方向角

（1）正方向；

（2）北（南）偏东（西）方向；

（3）东（西）北（南）方向.

七年级下（62）

第5章相交线与平行线（14）

5.1.1相交线

邻补角：

有一条公共边和公共顶点和两个互补的角，叫做邻补角。

对顶角：

有一个公共端点一个角的两边是另一个角两边的反向延长线线。

性质：

对顶角相等。

5.1.2垂线

垂线：

1.当两直线相交，有一个夹角为90°时这两条直线垂直.

a⊥b读做a垂直于b

2.两直线相交构成四个夹角相等，两直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

垂直性质：

过一点有且仅有一条直线，与以已知直线垂直。

【这一点可以是直线上一点，也可是直线外一点】

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

5.2.1平行线

在同一平面内线与线的位置关系：

相交和平行【垂直是特殊的相交，重合暂不讨论】

平行线定义：

在同一平面内永不相交的两条直线。

记作a∥b读作：

a平行于b

平行线公理：

平行线公理，经过直线外一点，有且仅有一条（平行线）直线于已知直线平行。

平行线性质：

如果两直线都与第三条平行，那么这两条直线也互相平行。

5.2.2平行线的判定

●平行的判定：

1.同位角相等，两直线平行。

2.内错角相等，两直线平行

3.同旁内角互补，两直线平行。

4.平行于同一直线的两直线平行

5.垂直于同一直线的两直线平行

6.同一平面内，不相交的两条直线互相平行

5.3.1平行线的性质

●平行线的性质：

1.两直线平行，同位角相等。

2.两直线平行，内错角相等。

3.两直线平行，同旁内角互补

5.3.2命题、定理、证明

命题、定理

1.命题：

判断一件事情的语句叫命题。

2.

命题的结构，命题由题设（已知事项或条件）和结论（由已知事项推出的事项）两部分组成。

{

两点之间的距离：

连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。

两条平行线间的距离：

同时垂直于两条平行线，夹在这两条平行线间的垂线段，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离，处处相等。

任何命题都可以改写成“如果……那么……”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论。

5.4平移

（2）

平移不改变物体的大小

平移前后对应点的直线相等且互相平行。

第6章实数（8）

13.1平方根（3）

1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

正数有两个平方根，他们互为相反数（互为相反数，相加得0）；

0的平方根是0；

负数没有平方根。

正数a的平方根记做“

”。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“

”。

正数和零的算术平方根都只有一个。

0的算术平方根是0。

（

0）

-

（

<0）

13.2立方根

（2）

立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零。

注意：

，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

13.3实数

（2）

实数的分类

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数

实数负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

整数包括：

正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

第7章平面直角坐标系（7）

7.1.1有序数对

利用有序数对可以很准确的表示出一个位置。

7.1.2平面直角坐标系

●x轴、y轴上的点不属于任何象限。

x轴上的点的坐标y值为0，即：

（x，0）

y轴上的点的坐标x值为0，即：

（0，y）

P（x，y）关于x轴对称的点：

A（x,-y）（y变相反数）

关于y轴对称的点：

B（-x，y）（x变相反数）

关于原点对称的点：

C（-x，-y）（x、y都变相反数）

7.2.1用坐标表示地理位置

●点到x轴的距离，由y的绝对值来确定

点到y轴的距离，由x的绝对值来确定

7.2.2用坐标表示平移

●坐标平移：

左右平移x变，上下平移y变。

向左平移x-a,向右平移x+a

向上平移y+a,向下平移y-a

在一，三象限角平分线上的点记作：

A（a，a）

在二，四象限角平分线上的点记作：

B（a，-a）

第8章二元一次方程组（12）

8.1二元一次方程组

（1）

二元一次方程：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数都是1，

像这样方程叫二元一次方程，二元一次方程的的解有无数组。

单独一个二元一次方程有无数对解。

二元一次方程组：

具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫二元一次方程组的解，解惟一。

8.2消元——解二元一次方程组（4）

8.3实际问题与二元一次方程组（3）

8.4三元一次方程组解法

（2）

第9章不等式与不等式组（11）

第10章数据的收集、整理与描述（10）

10.1统计调查（3）

全面调查

统计调查

抽样调查

全面调查与抽样调查

（1）当调查的对象个数较少，调查容易进行时，我们一般采用全面调查的方式进行。

（2）当调查的结果对调查对象具有破坏性时，或者会产生一定的危害性时，我们通常采用抽样调查的方式进行调查。

（3）当调查对象的个数较多，调查不易进行时，我们常采用抽样调查的方式进行调查。

（4）当调查的结果有特别要求时，或调查的结果有特殊意义时，如国家的人口普查，全国经济普查我们就仍须采用全面调查的方式进行。

抽样调查注意:

1.样本的代表性

2.样本随机性。

3.样本容量不能太小,样本容量不带单位。

画频数分布表的步骤:

（1）计算最大值与最小值的差;极差=最大值—最小值

（2）定组距;

（3）定组数;组数=（最大值-最小值）÷组距.（要合适，不宜过多，不宜过少。

）

（4）列频数分布表;

10.2直方图（3）

条形统计图：

能清楚地表示出每个项目的具体数目。

扇形统计图：

能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

折线统计图：

能清楚地反映事物的变化情况。

直方图：

能够显示数据的分布情况。

八年级（上）（62）

第11章三角形（8）

三角形：

由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的几何图形叫做三角形，符号为△。

三角形是几何图案的基本图形。

11.1.1三角形的边

围成三角形的三条线段叫三角形的三条边

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

三角形的高：

从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高。

所以，由定义知，三角形的高是一条线段。

由于三角形有三条边，所以三角形有三条高，由此三角形的面积也有三种算法。

锐角三角形：

从一个顶点向该顶点的对边做垂线；

直角三角形的直角边是直角三角形的高，直角顶点向斜边做垂线为斜边高；

钝角三角形钝角顶点向对边做垂线为该边的高，锐角向对边外延长线做垂线为该边的高。

三角形的中线：

三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

三角形的角平分线：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。

（也叫三角形的内角平分线。

），三角形的一个外角平分线与这个角的对边所在直线相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形外角平分线。

11.1.3三角形的稳定性

三角形的稳定性：

三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。

埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥中的三角形。

11.2.1三角形的内角

三角形的内角：

三角形内角和定理：

三角形的内角和等于180°。

11.2.2三角形的外角

三角形的外角：

三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形有6个外角，四边形有8个外角。

外角的个数等于多边形的边数乘以2。

警示：

在任意一个三角形中，无论这个三角形的形状如何，三角形的内角和总等于180度。

或者说：

随着三角形的形状变化，三角形各个内角的度数将随之发生变化，但是三角形的内角和保持不变。

11.3.1多边形

多边形：

由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。

在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形，是广义的多边形。

11.3.2多边形的内角和

多边形内角和定理：

定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于：

（n－2）×180°（n大于等于3），则正多边形各内角度数为：

（n－2）×180°/n，已知正多边形内角度数则其边数为：

360°÷（180°－内角度数。

任意正多边形的外角和=360°.

第12章全等三角形（11）

12.1全等三角形

（1）

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形是几何中全等的一种。

是一个三角形通过平移，旋转或翻折后得到的新图形与这个图形全等。

12.2三角形全等的判定（6）

边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）和斜边，直角边（HL）来判定。

SSS同时否定AAA和ASS.

全等三角形性质：

1．全等三角形的对应角相等

2．全等三角形的对应边相等

3.能够完全重合的顶点叫对应顶点

4．全等三角形的对应边上的高对应相等。

5．全等三角形的对应角的角平分线相等。

6．全等三角形的对应边上的中线相等。

7．全等三角形面积和周长相等。

12.3角的平分线的性质

（2）

角平分线上的点到两边的距离相等。

第13章轴对称（14）

13.1.1轴对称

如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。

13.1.2线段的垂直平分线的性质

线段的垂直平分线的性质：

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线），线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

13.2画轴对称图形

（2）

轴对称图形具有以下的性质：

（1）成轴对称的两个图形全等；

（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；

13.3.1等腰三角形

等腰三角形：

有两边相等的三角形叫等腰三角形。

等腰三角形中，相等的两边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形性质：

1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方[1]

等腰三角形的腰与它的高的关系

直接的关系是：

腰大于高。

间接的关系是：

腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

13.3.2等边三角形

等边三角形：

等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。

有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形也是最稳定的结构。

（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）

（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。

（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

（四心合一）

（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（等于其高）

（6）等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）。

第14章整式的乘法与因式分解（14）

14.1.1同底数幂的乘法

同底数幂的乘法：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

a^m×a^n=a^（m+n））（m、n都是正整数）。

14.1.2幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

14.1.3积的乘方

14.1.4整式的乘法

14.2.1平方差公式

平方差公式：

表达式：

（a+b）（a-b）=a²-b²，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差