全等三角形专题一.docx
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全等三角形专题一
全等三角形专题一
全等三角形的定义及性质
1.
如图,已知点A、B、C、D在同一条直线上,△AEC≌△DFB,如果AD=37,BC=15,那么AB的长为()
A.10B.11C.12D.13
2.已知△ABC的三边长分别为6,7,10,△DEF的三边长分别为6,3x-2,2x-1,
若两个三角形全等,则x=。
3.一个三角形的三条边长分别为3,5,7,另一个三角形的三边长分别为3,3x-2y,x+2y,若这两个三角形全等,则x+y=。
4.如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,∠B=∠C,BC=8cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A以
cm/s的速度运动,设运动时间为ts。
(1)求CP的长(用含t的式子表示);
(2)
若以C、P、Q为顶点的三角形和以B、D、P为顶点的三角形全等,且∠B和∠C是对应角,求
的值。
5.
如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为()
A.15︒B.20︒C.25︒D.30︒
6.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点F,∠B=∠D=25︒,
∠ACB=∠AED=105︒,∠DAC=10︒,则∠DFB为()
A.40︒B.50︒C.55︒D.60︒
7.如图,已知BE是△ABC的高,P为BE延长线上一点,Q为BE上一点,△PAB≌△AQC,请猜想AP与AQ的位置关系,并证明你的结论。
8.
如图,将△ABC绕点B旋转一定角度,得到△DBE,若∠AGF=20︒,∠ABE=3∠EBC,求
∠DBE的度数
9.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线过点E并交AD于点F,∠ACD=∠AED=105︒,∠CAD=
10︒,∠B=50︒,求∠DEF的度数。
SSS判定
1.如图,已知AB=AD,CB=CD,求证:
∠ADC=∠ABC。
2.如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,求证:
∠A=∠C。
SAS判定
1.已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCD,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F。
(1)如图①,若∠ACD=
,则∠AFB的度数是多少?
(用含
的式子表示)
(2)如图①中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),如图②,试探究∠AFB与
的数量关系,并予以证明。
2.
(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90︒,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,求证:
EF=BE+FD.
(2)如图②,当
(1)中的条件“∠B=∠D=90︒”改成“∠B+∠D=180︒”,其他条件都不变,
(1)中的结论是否依然成立?
(3)
如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180︒,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
∠BAD,请探究EF、BE、FD之间的数量关系,并说明理由。
3.在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180︒,求证:
DA平分∠CDE。
4.如图,已知AC//BD,AE、BF分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由。
5.
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB、AC、CD三者之间的数量关系,并说明理由。
6.如图,CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC,求证:
CD=2CE。
7.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:
DE=2AM。
8.证明:
如果两个三角形有两边和第三边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等。
已知:
如图,在△ABC与△
中,AB=
,AC=
,AD和
分别为中线,AD=.
求证:
△ABC≌△
ASA及AAS判定
1.如图,已知AB=AD,∠C=∠E,∠1=∠2,求证:
△ABC≌△ADE。
2.如图,BE、CD相交于点F,且∠B=∠C,∠1=∠2,求证:
DF=EF。
3.如图,AC=BC,∠ACB=90︒,点D为BC的中点,BE⊥BC,CE⊥AD,垂足分别为点B、G,那么AD=CE,BD=BE,这两个结论对不对?
为什么?
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90︒,AC=8,BC=6,P、Q是边AC、BC上的两个动点,PD⊥AB于点D,QE⊥AB于点E,设P、Q运动时间是t秒(t>0)。
(1)若点P、Q分别从A、B两点同时出发,沿AC、BC向点C匀速运动,运动速度都为每秒1个单位长度,其中一点到达终点C后,另一点也随之停止运动,在运动过程中,△APD和△QBE是否保持全等?
判断并说明理由;
(2)若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动;点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动,到达点C后停止运动,当t为何值时,△APD和△QBE全等?
5.数学课上,张老师提出了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,且EF交正方形外角平分线CF于点F,求证:
AE=EF。
经过思考,小明给出了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△EFC,所以AE=EF。
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除点B、C外)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)
小华提出:
如图3,点E是BC延长线(除点C外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立,你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由。
HL判定
1.如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E、F,那么CE与DF相等吗?
为什么?
2.如图,已知AD、AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,如果AD=AF,AC=AE,求证:
BC=BE。
3.如图,在△ABC中,∠C=90︒,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD=DF:
(1)
求证:
CF=EB
(2)请你判断AE、AF与EB之间的数量关系,并说明理由。
4.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M。
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)
当点E、F两点移动至图②所示的位置时,其余条件不变,上述结论是否仍然成立?
请说明理由。
角平分线的性质及判定
1.
如图OP是∠AOB的平分线,点P到OA的距离为3,点是OB上任意一点,则线段PN的长度取值范围为()
A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤3
2.
如图,在△ABC中,∠C=90︒,AD平分∠BAC,过点D做DE⊥AB于点E,
测得BC=9,BE=3,则△BDE的周长是。
3.
如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积为7,AB=4,DE=2,则AC的长是()
A.4B.3C.6D.5
4.如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC,则
=。
5.如图,在△ABD中,AD平分∠BAC,AB=6,AC=4,△ABD的面积等于6,求△ADC的面积。
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90︒,AB=5,BC=3,AC=4,P是∠BAC、∠ABC的平分线的交点,试求P到AB边的距离。
7.
如图,已知∠1=∠2,BA∠PCB+∠BAP=180︒.
8.如图,已知在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC,求∠A和∠C的和。
9.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=
(AB+AD),求∠ABC+∠ADC的度数。
10.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为49和40.求△EDF的面积。
11.如图,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,若BD=CD,BE=CF,求证:
AD平分∠BAC。
12.如图,在∠AOB的两边OA、OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C,求证:
点C在∠AOB的平分线上。
13.如图,已知∠C=60︒,AE、BD是△ABC的角平分线,且AE、BD交于点P。
(1)
求∠APB的度数;
(2)求证:
点P在∠C的平分线上;
(3)求证:
①PD=PE②AB=AD+BE
14.如图,在△ABC中,∠ABC=110︒,∠ACB=40︒,CE是∠ACB的平分线,D是AC上一点,若∠CBD=40︒,则∠CED=。