高一立体几何讲义一.docx
《高一立体几何讲义一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一立体几何讲义一.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高一立体几何讲义一
立体几何初步
【知识网络及在高考中的重要性】
立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考的热点内容。
该部分新增加了三视图，对三视图的考查应引起格外的注意。
立体几何在高考解答题中，常以空间几何体（柱，锥，台）为背景，考查几何元素之间的位置关系。
另外还应注意非标准图形的识别、三视图的运用、图形的翻折、求体积时的割补思想等，以及把运动的思想引进立体几何。
最近几年综合分析全国及各省高考真题，立体几何开放题是高考命题的一个重要方向，开放题更能全面的考查学生综合分析问题的能力。
考查内容一般有以下几块内容：
1、平行：
包括线线平行，线面平行，面面平行；2、垂直：
包括线线垂直，线面垂直，面面垂直；3、角度：
包括线线（主要是异面直线）所成的角，线面所成的角，面面所成的角；4、求距离或体积；
1.1.1构成空间几何体的基本元素
【感悟新课标新理念】
背景知识激趣
生活中的几何———欧式几何
“几何”这个词在汉语里是“多少”的意思，但在数学里“几何”的含义就完全不同了。
“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术
几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。
在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、宽、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间，以及它们之间位置关系跟数量之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。
柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导，逐步趋向于系统和严密的方向发展.柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证.亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的.到今天，在初等几何学中，仍是运用“三段论”的形式来进行推理。
但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。
真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里德。
【基础知识】
一．长方体的有关概念
1．长方体由六个矩形（包括它的内部）围成；
2．围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面；
3．相邻的两个面的公共边，叫做长方体的棱；
4．棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点；
5．长方体共有（8个顶点，12条棱，6个面）；
二．构成几何体的基本元素
1．几何体：
一个物体占有空间部分的形状和大小，不考虑其他因素，这个空间部分叫做一个几何体，它是一个描述性的概念；
2.构成空间几何体的基本元素是：
点、线、面"线有直线（段）和曲线（段）之分，面有平面（部分）和曲面（部分）之分；
3.从集合的角度来看线、面
如果把点看成是元素，那么直线、曲线都可以当作是点的集合，平面和曲面也可以看成是点的集合。
从集合的角度来看，线、面就统一成“集合”了，更便于理解和应用，并且从点集的角度认识几何图形，是数学发展的需要"
实际上立体几何中的许多符号的规定都是源于将图形视为点集"如点A在直线l"
上记为"A∈l"，点B在平面α内记作B∈α，直线l在平面α内记作l
α，直线m不在平面β内记为
等等.
三.平面
1．平面的概念：
平面是处处平直的面，这是一个原始的描述性的概念。
平面是无限延展的。
（无大小无厚薄）
2．平面的表示法
（1）图形表示：
通常用一个平行四边形表示一个平面"
（2）符号表示：
平面一般用一个小写的希腊字母表示，如平面α、平面β、平面γ等，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面ABCD或平面AC等。
如何理解平面？
四．空间图形间的基本关系
用运动的观点来看：
（1）点动成线：
把线看成是点运动的轨迹!
如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹是一条直线或线段，如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段!
（2）线动成面：
直线平行移动，可以形成平面或曲面!
直线绕定点转动，可以形成锥面。
（3）面动成体：
面运动的轨迹（经过的空间部分）可以形成一个几何体!
五．长方体的表示
（1）如图中的长方体（水平放置），通常记作ABCD－A1B1C1D1.
（2）这个长方体，可看成是矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A1B1C1D1所形成的几何体
【联想·发散】
长方体对角线的一个性质：
长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上的三条棱的长的平方和。
已知：
如图长方体ABCD－A1B1CD1中，求证：
BD12=BA2+BC2+BB12.
六．相关概念
1．异面直线：
不在同一平面内，既不相交又不平行的两条直线叫做异面直线。
如长方体ABCD－A1B1CD1中的边AA1和边BC所在的直线。
由此我们可以知道，空间的任意两条直线的位置关系有三种：
相交、平行和异面。
2．直线和平面平行：
如果直线和平面没有公共点，我们就说直线和平面平行。
如直线A1B1平行于平面ABCD。
，记作A1B1//平面ABCD.
3．直线与平面垂直：
观察直线AA1和平面ABCD，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直AB、AD都垂直，容易想象，当直线AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会和AA1垂直。
直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1与平面AC垂直，A为垂足，记作直线AA1⊥平面AC，直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC叫做直线AA1的垂面。
4．点到平面的距离：
容易验证，线段AA1为点A1与平面AC内的点所连线段中最短的一条。
线段AA1的长称作点A1到平面AC的距离。
5．两平面互相垂直：
如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的垂线，这时，我们说两平面互相垂直。
如平面ABB1A1与平面ABCD垂直，可以记作平面ABB1A1⊥平面ABCD；平面α垂直平面β可以记作α⊥β。
6．两个平面互相平行：
如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行。
如平面ABCD平行平面A1B1C1D1，可以记作“平面ABCD//平面A1B1C1D1.
平面α平行平面β,可以记作α//β.
7．长方体两个底面间的距离：
如果面ABCD作为长方体的底面，则棱AA1、BB1、CC1、DD1互相平行且等长.它们的长度称作两底面间的距离.
以上概念只要求在形象感觉的基础上理解即可，在后面的各个小节中还会具体地进行研究和学习.
【相关题型】
题型1：
考查构成几何体的基本元素
1．下列不属于构成几何体的基本元素的是（）
（A）点（B）线段（C）曲面（D）多边形（不含内部的点）
【反思·领悟】
2．以下结论不正确的是（）
（A）平面上一定有直线（B）平面上一定有曲线
（C）曲面上一定无直线（D）曲面上一定有曲线
题型2：
考查平面的概念
3．下面说法中正确的是（）
（A）任何一个平面图形都是一个平面（B）平静的太平洋面是平面
（C）平面就是平行四边形’（D）平面多边形和圆、椭圆都可以用来表示平面
【反思·领悟】
4.有以下结论：
①平面是处处平直的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以为0.01mm。
其中正确的结论的个数是（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
题型3：
考查空间图形的关系
5．在空间中，下列说法正确的是（）
（A）一个点运动形成直线（B）直线平行移动形成平面或曲面
（C）直线绕定点运动形成锥面（D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
【反思·领悟】
6．一条直线平行移动，生成的面移动是（）
（A）平面（B）曲面（C）平面或曲面（D）锥面
题型4：
考查长方体的有关问题
7．下列关于长方体的说法中，正确的是。
（1）长方体是由六个平面围成的几何体；
（2）长方体可以看作一个水平放置的矩形ABCD上各点沿铅垂方向向上移动相同的距离到矩形A1B1C1D1所形成的几何体；
（3）长方体一个面上任一点到对面的距离相等。
（4）．如果将一个矩形ABCD上的各点沿同一方向移动相同的距离，得到矩形A1B1C1D1所形成的几何体一定是长方体，对吗？
8．给出下列结论：
①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比4个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m.，宽是30m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念。
其中，正确的结论的个数是（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
9．下列说法中错误的是（）
（A）一个角一定是平面图形（B）平面是由它内部的所有点组成的集合
（C）平面是点的无限集（D）平面图形是点的有限集
10．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是条。
11．有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，下图是从3个不同的角度看同粒骰子的情形，则H对面的字母是。
12．关于平面的下列说法中正确的是（）
（A）圆面是一个平面（B）平面是有厚薄的
（C）平面是有边界线的（D）平面是无限延展的
13．空间中构成几何体的基本元素是。
14．用6根长度相等的火柴搭正三角形，最多能搭成个正三角形!
15．请想一想，是否存在三条直线两两互相垂直？
若存在请举出实际中的例子
1.1.2棱柱，棱锥和棱台的结构特征
【基础知识】
多面体
一．多面体
多面体的特征：
每个面都是多边形（围成多面体的多边形都包含它内部的平面部分）而圆柱，圆锥，球等其他几何体就不具有这种性质。
多面体的定义：
多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体。
二．多面体的相关概念
1.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。
2.相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱。
3.棱和棱的公共点叫做多面体的顶点。
4.连接不在同一平面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
5.把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体叫做凸多面体（在我们高中阶段所提到的几何体如无特殊说明，指的都是凸几何体）
6.多面体至少有4个面，多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体，五面体，六面体。
。
。
。
7.一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含于它的内部）叫做这个集合体的截面。
三．正多面体
1．正多面体的概念：
每个面都是有相同边数的全等的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体．
（1）．正方体:
是一类非常特别的多面体：
它的六个面都是正方形，每个顶点处都有三条棱．正方体我们也可以称为正六面体．
（2）．正四面体:
它的四个面都是全等的正三角形，每个顶点处都有三条棱
2．正多面体的特性：
正多面体是一种特殊的凸多面体，它有两个特点：
（1）．每个面都是有相同边数的全等的正多边形；
（2）．每个顶点处都有相同数目的棱．
由定义可以得知：
正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段．
3．正多面体的种类：
正多面体共有五种，它们是：
正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
如下图。
棱柱
一．棱柱
棱柱的特点：
棱柱可以看成一个多变形（包含图形围成的部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体。
棱柱的概念：
有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。
二．棱柱的相关概念
1.棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面。
（简称底）
2.其余各面叫做棱柱的侧面。
3.各侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
4.棱柱两底面之间的距离（即两底面的公垂线）叫做棱柱的高。
（公垂线段长也简称高）
5.棱柱的表示方法：
用两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线顶点的两个字母来表示。
例如图（3）的中的五棱柱可表示为棱柱
或棱柱
三．棱柱的分类：
1.总体分类：
a.棱柱：
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
b.直棱柱：
侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。
c.正棱柱：
底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
例：
正四棱柱
点拨：
（1）根据定义判定一个多面体是否为棱柱，一般是首先看“面”，即考察该多面体是否有两个面互相平行，并且除这两个面之处的其余各面都是四边形；其次看“线”，即考察每相邻两个四边形的公共边是否平行。
在这里，同一棱柱的底面的选择也会有不同方案，解题时要注意这种特殊棱柱的底面可变性的应用。
（2）注意区别两个概念：
①棱柱的棱与棱柱的侧棱；
②棱柱的对角线与棱柱某一面的多边形的对角线。
2四棱柱分类：
a.普通四棱柱：
b.平行六面体：
c.直平行六面体：
d.长方体：
e.正四棱柱：
f.正方体：
棱锥
一．棱锥
棱锥的特点侧面是三角形，三角形有一个公共顶点
棱锥的定义：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥。
提醒：
由上述定义可知，棱锥有两个本质的特征：
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，这二者缺一不可。
“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体不一定是棱锥。
二．棱锥的相关概念
1.有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；
2.多边形叫棱锥的底面（或底）；
3.各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，
4.相邻了侧面的公共边叫棱锥的侧棱
5.顶点到底面的距离叫棱锥的高。
6.各侧面三角形的高叫棱锥的斜高
7.棱锥的表示：
顶点和底面各顶点的字母或者用顶点和地面的一条对角线顶点的字母来表示。
例如如图所示的棱锥就可以表示为棱锥S-ABCDE或者S-AC.
8.棱锥按底面是三角形，四边形，五边形……分别叫做三棱锥，四棱锥，五棱锥……
9.如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的各条斜高相等。
（只有正多边形存在中心）
三．棱锥的性质：
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。
四.正棱锥
（1）正棱锥的定义：
如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面内的射影为底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
（2）正棱锥性质：
（Ⅰ）各侧棱相等；各侧面都是全等的等腰三角形；各等腰三角形底边上的高（正棱锥的斜高）相等。
（Ⅱ）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；
正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形；
提醒：
正棱锥必须满足两个条件：
一是底面为正多边形；二是顶点在底面上的射影恰为底面多边形的中心，这二者缺一不可。
正棱锥除去上面指出的两个直角形外，正棱锥的底面半径、边心距和半边长也组成一个直角三角形；正棱锥侧面上的侧棱、相应的斜高和半边长也组成一个直角三角形，这些特殊的三角形是解决正棱锥问题的基础和突破口。
棱台
一．棱台的定义：
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台
二．棱台的相关概念
1.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面。
2.其他各面叫做棱台的侧面
3.相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱
4.两底面间的距离叫做棱台的高
5.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台
6.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。
7.棱台的表示方法：
可以用表示上下底面的字母来命名
如图中的棱台可表示为棱台ABCD-A’B’C’D’或记做棱台AC’。
【相关题型】
1.已知正四棱锥V-ABCD（如图），底面面积为16，一条侧棱长为
，计算它的高和斜高。
2.如图，在正四棱锥S-ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且S0=8，SM=11
（1）求侧棱长
（2）求一个侧面的面积
（3）求底面的面积
3.设正三棱台的上底面和下底面的边长分别为2cm和5cm，侧棱长为5cm，求这个棱台的高
4.判断下列说法是否正确
（1）有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
（2）直棱柱的侧棱长与高相等.
（3）直棱柱的侧面及过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形
（4）如果棱柱有一个侧面是矩形,那么它是直棱柱.
（5）有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
（6）有一条侧棱垂直于底面的两条边的棱柱是直柱；
（7）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
（8）如果棱柱有两个相邻侧面是矩形,那么它是直棱柱.
（9）正棱柱的侧面是正方形.
5．有四个命题
（1）各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;
（2）底面是正多边形的棱锥是正棱锥;
（3）一个棱锥的所有的面可能都是直角三角形;
（4）四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.
正确的命题是
6.
（）
7.具备下列哪个条件的多面体是棱台（）
A两个底面是相似多边形的多面体;
B侧面是梯形的多面体;
C两个底面平行的多面体;
D两个底面平行,侧棱延长后交于一点的多面体.
8.设正三棱台的上、下底面的边长分别为2cm和5cm,侧棱长为5cm,求这个棱台的高.
9.设有四个命题
甲.有两个平面互相平行,其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱;
乙.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥;
丙.用一个平面去截棱锥,底面与截面间的部分叫做棱台;
丁.侧面都是长方形的棱柱叫做长方体.
其中真命题的个数为（）
A0个B1个C2个D3个
10.正六棱锥的底面边长为1,侧棱与高所成的角为
则它的斜高为
11.正四棱台的上、下底面均为正方形,它们的边长分别为2cm和6cm,两个底面间的距离为2cm,则正棱台的侧棱长为
12.已知正六棱台
的上、下底面边长分别为2和8,侧棱长等于9,求这个棱台的高和斜高.
13.长方体
中，长、宽、高分别为3、4、5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到
来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值。
14．（07年安徽高考）在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何图形的四个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）。
①矩形。
②不是矩形的平行四边形。
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的几何体。
④每个面都是等边三角形的四面体。
⑤每个面都是直角三角形的四面体。
15.已知长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为。
1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球
【基础知识】
圆柱圆锥圆台
一.圆柱、圆锥、圆台的形成
通过观察可以看出，
圆柱可以看作以矩形的一边为旋转轴将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体。
圆锥可以看作以直角三角形的一直角边为旋转轴将直角三角形旋转一周形成的曲面所围成的几何体。
圆台可以看作以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴将直角梯形旋转一周形成的曲面所围成的几何体
圆柱，圆锥，圆台都可称为旋转体。
二.圆柱圆锥圆台的相关概念
旋转轴叫做所围成的几何体的轴。
在轴上的这条边（或它的长度）叫做这个几何体的高。
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的底面。
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面。
无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线。
过轴的截面叫做轴截面。
球
一.球的形成
球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球。
球面也可以看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合。
二.球的相关概念
形成球的半圆的圆心叫球心。
连接球面上一点和球心的线段叫球的半径。
连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径。
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；
被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆。
当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。
赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆。
在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
事实上，人们把这个弧长叫做两点的球面距离。
【相关题型】
1.
（1）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1:
4，截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长。
2.我国首都北京靠近北纬
。
求北纬
纬线的长度（单位：
km,地球半径约为6370km，结果保留四位有效数字）。
3．下列命题中错误的是（）
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
4．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:
4，母线长是10cm，求圆锥的母线长.
5.下列命题是真命题的是（）
A以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的几何体为圆锥；
B以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体为圆柱；
C圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆；
D有一个面为多边形，其他各面都是三角形的几何体是棱锥。
6.已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为5cm,面积为12cm2,求圆锥的底面半径.
7.已知圆柱的底面半径为3cm，轴截面面积为24cm2，求圆柱的母线长.
8.正四棱锥的底面积为4cm2，侧面等腰三角形面积为6cm2，求正四棱锥侧棱.
8.A,B,C是半径为R的球的表面上三点，若A与B,A与C，B与C的球面距离都为
求
（1）
的大小
（2）球心O到截面ABC的距离。
9.（2009辽宁高考）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬
纬线长和赤道长的比值为
（A）0.8（B）0.75（C）0.5（D）0.25
10.圆锥底面半径为1cm，高为
cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长。
11.一个圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（）
A.
B.
C.
D.
12.圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为（）
A.10cmB.
C.
D.
升级会员 