等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明.docx

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等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定

定理及其证明

课题

32.1等腰三角形的性质定课理和判定定理及其证明

（1）型

新授课

教学目标

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学重点

了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学方法

观察法

教学后记

教学内容及过程

学生活动

一、复习：

1、什么是等腰三角形？

2、你会画一个等腰三角形吗？

并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

二、新课讲解：

之前，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理:

1.两直线被第三条直线所截,如果

同位角相等,那么这两条直线平

这个

行;

推论

2.两条平行线被第三条直线所截,

虽然

同位角相等;

简单，

3.两边夹角对应相等的两个三角

但也

形全等;（SAS）

应让

4.两角及其夹边对应相等的两个

学生

三角形全等;（ASA）

进行

5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：

推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）证明过程：

已知：

∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：

△ABC≌△DEF证明：

∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∠C=180°-（∠A+∠B）∠F=180°-（∠D+∠E）∠C=∠F（等量代换）BC=EF（已知）

证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。

学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片

△ABC≌△DEF（ASA）这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。

三、议一议：

回忆

（1）还记得我们探索过的等腰三角形

有关

的性质吗？

性质

（2）你能利用已有的公理和定理证明

这些结论吗？

让学

等腰三角形（包括等边三角形）的

生尽

性质学生已经探索过，这里先让学生尽

可能

可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立

回忆

即证明。

出来，

定理：

等腰三角形的两个底角相

然后

等。

再考

这一定理可以简单叙述为：

等边对

虑哪

等角。

些能

已知：

如图，在ABC中，AB＝AC。

够立

求证：

∠B＝∠C

即证

证明：

取BC的中点D，连接AD。

明

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，

∴△ABC△≌△ACD

让同

A

（SSS）

学们

∴∠B=∠C（全等三角

通过

形的对应边角相等）

探索、

四、想一想：

合作

在上图中，线段AD还AD

交流

具有怎样的性质？

为

找出

什么？

由此你能得到BCEF

其他

什么结论？

的证

应让学生回顾前面的证明过程，思

明方

考线段AD具有的性质和特征，从而得

法

到结论，这一结合通常简述为“三线合

一”。

学生

推论等腰三角形的顶角的平分线、

回顾

底边上的中线、底边上的高互相重合。

前面

五、随堂练习：

的证

做教科书习题第1，2题。

明过

六、课堂小结：

程，思

通过本课的学习我们了解了作为

考线

基础的几条公理的内容，掌握证明的基

段AD

本步骤和书写格式。

经历“探索－发现

具有

－猜想－证明”的过程。

能够用综合法

的性

证明等腰三角形的关性质定理和判定

质和

定理。

探体会了反证法的含义。

特征，

七、课外作业：

讨论

同步练习

图中

存在

板书设计：

的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为

线合

课题

32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

（2）

课型

新授课

教学目标

1、掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

教学重点

等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学

能够用综合法证明等腰三角形的关性质

难点

定理和判定定理。

教学方法

教学后记

教学内容及过程

教师活动

学生活动

一、等腰三角形性质的探究1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。

2．播放课件，结合刚才的问题讲解例1的命题，并为后面将此性质拓展埋下伏笔。

3．分别演示：

EAD

1．积极思考，回忆以前所学知识，联想新问题。

2．认真观看例1图形中线段的关系，积极思考，认真听讲。

3．对于课件的演示很感

BC

中,∠

ABD=

兴趣，凭直

1∠ABC,∠ACE=1∠ACB,k=1,1kk34时,BD是否与CE相等。

引导学生

观感觉可以猜测，不管k为何值，BD=CE总成立。

基于前面例题的

探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。

4.引导学生探究，对于上述例题，

当AD=k1AC,AE=k1AB,k=12,13时，通

kk23

启发，想要

过对例题的引申，培养学生的发散

给出证明。

思维，经历探究—猜测—证明的学

一部分学生

习过程。

可以自己给

5．引导学生进一步推广，把上面3、

出证明，一

4中的k取一般的自然数后，原结

部分学生需

论是否仍然成立?

要求学生说明理

要老师的帮

由或给出证明。

助。

6．对学生探究的结果予以汇总、

4．在已经探

点评，鼓励学生在自己做题目的时

究了角的大

候也要多思多想，并要求学生对猜

小的改变对

测的结果给出证明。

于BD，CE

7．提出新的问题，引导学生从“等

的等长性没

角对等边”这个命题的反面思考问

有影响，有

题，即思考它的逆命题是否成立。

了一些成就

适时地引导学生思考可以用哪些

感之后，又

方法证明?

培养学生的推理能力。

面临新的任

8．归纳学生提出的各种证法，清

务：

BD＝

楚的分析证明的思路，培养学生演

CE吗?

因此

绎证明的初步的推理能力。

学生会满怀

9．启发学生思考：

在一个三角形

热情地进行

中，如果两个角不相等，那么这两

这部分探究

个角所对的边也不相等，这个结论

活动，而且

是否成立?

如果成立，能否证明。

有了前面的

这实际上是“等边对等角”的逆否

体验，探究

命题，通过这样的表述可以提高学

也会比较顺

生的思维能力。

利。

10．总结这一证明方法，叙述并阐

5．兴致高

释反证法的含义，让学生了解。

涨，凭直觉

11．小结这两个课时的内容。

猜测结论仍

作业：

然成立。

但

同步练习

有些学生给

出全部证明

板书设计：

可能会有困

探索——发现——猜想——证明

难

6．认真听

讲，在掌握

结论的同时受到老师的鼓励，有很高的热情进行后续学习。

7．较少接触这样的命题，因此会感到新鲜，有用已知公理和定理对命题的真假性进行判断的欲望。

在老师指导下完成证明。

8，积极动脑思考，认真听讲，获得对演绎证明的初步体

会。

9．可以从直观上得出结论，但是此处要求证明，体会到证明的必要性。

遇到认知上的冲突，激起学习欲望。

10．怀有强烈的求知欲听讲，对反证法有了感性认识和一定的理解。

11．体会老师的讲解，并根据小结记忆掌握知识。

（学生小结：

掌握证明的基本步骤和书写格式。

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。

等腰三角形的判定定理。

了解反证法的推理方法。

）

课题

32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（3）

课型

新授课

教学目标

1、掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。

教学重点

等边三角形的判定定理和直角三角形的

性质定理。

教学难点

能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。

教学方法

教学后记

教学内容及过程

教师活动

学生活动

1．积极地

一、定理：

一个角等于60°的等腰

自主探

三角形是等边三角形

索、思考等腰三角

1．引导学生回忆上节课的内容，让

形成为等

学生思考：

等腰三角形满足什么条

边三角形

件时便成为等边三角形?

让学生对

的条件。

普遍联系和相互转化有一个感性的

可能会从

认识。

边和角两

2．肯定学生的回答，并让学生进一

个角度给

步思考：

有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗?

组织学生交

出答案。

流自己的想法。

渗透分类讨论的思

2．积极思

维方法。

考，通过

3．关注学生得出证明思路的过程，

老师的点

讲评。

讲解定理：

有一个角是

拨，分类

60°的等腰三角形是等边三角形。

讨论当这个角分别是底角和顶角的情况。

、一种特殊直角三角形的性质

1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：

能拼成一个怎样的三角形?

能否拼出一个等边三角形?

并说明理由。

2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：

在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?

3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：

通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明。

4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。

5．讲解例题，应用定理。

6．布置学生做练习。

练习：

课本随堂练习1四、课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

了解了什么证明方法？

3．认真听讲，体会分类讨论的数学思维方法，理解定理。

1．积极动手操作，并很快得到结果：

可以拼出等边三角形。

2．在拼摆的基础上继续探索，得出结论。

并在探索的

五、作业：

同步练习

板书设计：

过程中得到证明的思路。

3．认真听讲，体会从探索和尝试中得到结论的过程和证明方法的步骤，掌握定理。

4．很有兴趣地折叠纸片，体会定理的应用。

5．听讲，体会定理的应用。

6．认真做练习。

你能证明它们吗（三）

有一个角等于60°的等腰三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于

30°，

是等边三角形。

那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（学生小结：

掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）