12
m¥
+一=1jepc
6.已知椭圆10°36上的一点到左焦点J的距离为石，点M是线段IJ的中点，°为坐标原点，则
IOM）=
A.*B.4C.7D.147.下列四个命题中真命题的个数是
1命题"苦『77二训”二T"的逆否命题为怜八
2命题叫ERasx""的否定是"%eRe®>1"
3命题“丄二：
—：
>:
”是假命题.
4命题P：
如E［匕*M）Jg«》叽命题q-^x^Arx?
+X+KOypHq为真命题
5
A.
方程为（）
则双曲线的离心率为（
A.
椭圆的离心率为（）
J
B.
C.
D.
2
A.
、填空题（本大题共有4个小题。
每空5分，共20分）
13.写出命题“『7皿”的否定：
.
14•已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为’且上一点到的两个焦点的距离之和
为1$则椭圆G的方程为.
2
K2
——¥=l（a>0）
15•已知双曲线『的一条渐近线与直线|+7-3=0垂直，则该双曲线的离心率是
22
16.已知椭圆—仝1的右焦点为F,P是椭圆上一点，点A0,2.3，当点P在椭圆上运动
95
时，APF的周长的最大值为.
三、解答题（本大题共有6个小题，满分70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
4
17.（10分）
（1）焦点在X轴上，长轴长为10，离心率为一，求椭圆的标准方程；
5
3
（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为yx，求双曲线的标准方程.
2
18.（12分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F卜細Q）,右顶点
1
”A（l-）
为D（2Q）,设点2.
（1）求该椭圆的标准方程;
（2）若P是椭圆上的动点，求线段卩山中点M的轨迹方程。
19.（12分）已知a€R,命题p:
?
x€[—2,—1],x—a》0,
命题q：
禹总曲+込冷2）"
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题"pVq”为真命题，命题"pAq”为假命题，求实数a的取值范围.
20.（12分）已知双曲线过点（3,-2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
（I）求双曲线的标准方程.
（II）若点M在双曲线上，FnF2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|+|MF2|=6、・3,试判断MF1F2的形状.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程22.（12分）如图，已知圆G：
”+『-2沪占"0经过椭圆（JAbX）的右焦点及上顶点B,
过椭圆外一点（叽。
）
（Ea“）且斜率为3的直线交于椭圆
匸、D两点
（1）求椭圆的方程;
参考答案
1.A
a€R,则“a>1
-<1
•••“a>1”是“*”的充分非必要条件.
故选：
A.
【点睛】
充分、必要条件的三种判断方法.
1.定义法：
直接判断“若口则口”、“若□则D”的真假.并注意和图示相结合，例如“”
为真，则k是的充分条件.
2.等价法：
利用P?
口与非匚?
非,?
d与非P?
非Q,P?
口与非口?
勻世的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.
3.集合法：
若A?
B,则A是B的充分条件或B是岀的必要条件；若，则A是B的充要条件.
2.A
【解析】分析：
根据椭圆的定义，得到2“102匸=$,即“5尸4,再根据b?
=a-c,即可
求得短轴的长.
详解：
由题意，椭圆满足PF】"％卜曲氏卜8,
由椭圆的定义可得空S_；，解得,
又d<_f=9,解得bj所以椭圆的短轴为朮丸，故选A.
点睛：
本题主要考查了椭圆的几何性质，其中熟记椭圆的定义是解答的关键，着重考查了推
理与论证能力.
3.D
【解析】
【分析】
先设出所求双曲线的方程，禾U用已知双曲线的渐近线求得甘和b的关系，然后把点2-2：
代入
双曲线方程求得屯进而求得b,则双曲线的方程可得.
【详解】
依题意可知所求双曲线的焦点在轴,
=>0,b>0）
设出双曲线的方程为『『
根据已知曲线方程可知其渐近线方程为
y=+—a—=—TJia=b
2b2v
•••双曲线的方程为:
故选：
D.
【点睛】
44
=li
2.2ab
中求得
本题主要考查了双曲线的标准方程与渐近线方程的关系，考查基本的运算能力.
4.A
【解析】由题意得直线：
•■恒过定点1丄：
「：
｛而点在椭圆k
的内部，所以直线
与椭圆相交•选A.
5.A
【解析】
【分析】
先求得方程表双曲线的充要条件，只要是他的真子集就是充分不必要条件。
【详解】
方程m-2m+3表示双曲线的充要条件是｛m-2Hm+3）＜0，解得，所以根据四个选项可知，充分不必要条件是A.选A.
【点睛】
对于充分性必要性条件的判断三种常用方法：
（1）利用定义判断•如果已知口^口，则P是的
充分条件，是的必要条件；
（2）利用等价命题判断；（3）把充要条件“直观化”，如果可认为P是q的“子集”；如果可认为D不是q的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明.
6.C
【解析】
【分析】
先根据椭圆的定义求出1阡」的长度，再利用中位线定理求出|OM|的长度.
【详解】
由椭圆的定义得■■一人-匕-'-
1
因为lOFJ^OFjJMF；=|PM|,所以呦’严I"
故答案为：
C
【点睛】
（1）本题主要考查椭圆的定义和中位线的性质定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
计算推理能力.
（2）在圆锥曲线里，看到焦半径就要联想到椭圆的定义解题,这是一个一般的
规律.
7.D
【解析】
【分析】
根据四种命题的关系进行判断.
【详解】
1命题喏47则XAl”的逆否命题为"若21・则亠刃-42,正确；
2命题叫ERasx1",正确；
3命题“或e{•«>□,Fea"”是假命题，正确.
4命题p:
^x6[lf+«）Jgx>0",命题q-3x6Rrx7+X+KO,p是真命题，
则za为真命题，正确.
因此4个命题均正确.
故选D.
【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性
质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题.
&C
【解析】
【分析】
直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出沢b,即可得到双曲线方程
【详解】
22
—■—-l（a>O,b>0）
双曲线『『的一条渐近线方程是Y=®,
br
-=
可得日,
它的一个焦点坐标为（2Q）,可得亡詡，即‘十『=4,
昇解得a=tb=^,
所求双曲线方程为：
故选：
C.
【点睛】
本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力
9.C
【解析】
【分析】由题意可知命题p,q均为真命题，据此求解实数a的取值范围即可•
【详解】
由""口”是真命题可知命题p,q均为真命题，
若命题p为真命题，则：
"f—HxxO，解得：
"1,
若命题q为真命题，则:
即:
昴，
综上可得，实数a的取值范围是1<^<3,表示为区间形式即IV3）.
本题选择C选项•
【点睛】
本题主要考查复合命题问题，与二次函数有关的命题，与指数函数有关命题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力
10.D
22
【解析】Q顶点A在椭圆—仏1上,
167
AC|AB2a8
BC|6
ACAB84
—BC~63
故选D
11.A
【解析】
【分析】
由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a、c的关系，对关系式化简，
通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率
【详解】
由题意知：
fJI二兀，因为等腰三角形的顶角为垃『,所以根据三角形的性质可求
出|PFj=2j1
由双曲线定义可得：
IPFJTPFJ=鮎=肿-2忙,
c2^3+1
由离心率公式可得：
白坤-22.
故选A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离
心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a、c的齐次式，等号两侧同时除以a或/等,
构造离心率.
12.A
【解析】
【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的设法，考查直线参数方程参
数的几何意义•由于本题直线过焦点•，而且知道它的倾斜角为-,在这里可以考虑设直线方程的点斜式，也可以考虑设直线的参数方程，考虑到久=打E,即，所以采用直线参
数方程，利用参数的几何意义，可以快速建立方程，求出结果•
13.创xa0,x2-l>0
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题，写出其否定命题.
【详解】
•••特称命题的否定是全称命题
命题“丑兀，卜仁0”的否定是“和"，心IM”
故答案为代>°,JJA0.
【点睛】
本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一
定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改为存在量词，存在量
词改为全称量词；二是要否定结论，而一般的命题的否定只需直接否定结论即可
I22
xY
——+—=1
14.369
IJ
【解析】分析：
由题设条件知I^=12.a=6,又由^2」卜詔調，从而即可得到t>=3,由此可知所求椭圆方程•
详解：
由题设条件知一：
m又由白2」吓二％6,
-b=a2-?
=^36-27=3
22
*y
■+—=1
「•所求椭圆方程为369.
22
故答案为：
/9一.
点睛：
本题给出椭圆G满足的条件，求椭圆G的标准方程，着重考查了椭圆的定义与标准方
程、简单几何性质等知识，属于基础题•
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线与直线I=°垂直可得抄=2,然后根据离心率的定义求解即可.
【详解】
•••双曲线的一条渐近线与直线d:
》匚垂直
11
2,
•••离心率日2.
【点睛】
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不
122e=_
等式，利用=c-^和3转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率
的值或取值范围.
16.14
A
【解析】
F}
X
如图所示设椭圆的左焦点为F',
|AF|=4=|AF,
则|PF|+|PF'|=2a=6,
•/|PA|-|PF'|<|AF'|,
•△APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6-|PF'|<4+6+4=14,当且仅当三点A,F',
P共线时取等号.
•△APF的周长最大值等于14.
X2
17.
（1）
2
y
2
1；
（2）x
2
y
2
1或y
2
\1
25
9
9
81
9
4
故答案为：
14.
【解析】
距为2c.
a3,b
同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为
2
y_
考点：
1.双曲线的简单性质；2.双曲线的标准方程.
待定
【方法点睛】求圆锥曲线方程的常用方法主要有两种：
一是定义法；二是待定系数法。
系数法的实质是方程思想的体现，即在确定了圆锥曲线类型的前提下设出方程，利用题中的
条件将待定量与已知量统一在方程关系中求解。
其整个思维过程可概括为三步
（1）先定性
（何种圆锥曲线）；
（2）后定形（哪种形式的方程）；（3）再定参（建立方程解）•
〒=1（兀-朮
18.
（1）
（2）-
【解析】试题分析：
（1）由左焦点为F卜百,0）,右顶点为D（2,0）,得到椭圆的半长轴a,
半焦距c,再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程；
（2）首先设所求点为M（x,y）,借助于中点性质得到P点坐标用x,y表示，将P点代入椭圆方程从而得到中点FT的轨迹方程
试题解析：
（1）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=「,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上，•••椭圆的标准方程为-
（2）设线段PA的中点为M（x,y），点P的坐标是（Xo,y°）
O-学十（刼_丄亡1
由点P在椭圆上，得--
•线段
仗一护+40一护二1
PA中点M的轨迹方程是
【解析】
【分析】
（1）令f（x）=x2-a,可将问题转化为“当注［乜•■训时，閃汨曲”故求出即可.
（2）
根据“pVq”为真命题，命题"pAq”为假命题可得p与q—真一假，然后分类讨论可得所求的结果.
【详解】
（1）令[亠2厂1],
根据题意，“命题p为真命题”等价于“当八-I人L.时，：
?
解得山1.
•••实数的取值范围为
•实数日的取值范围为+
【点睛】
根据命题的真假求参数的取值范围的方法
（1）求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围;
（2）判断命题p,q的真假性;
（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围.
X2
MF1F2是钝角三角形
22941
【解析】试题分析：
1设双曲线方程为2y_1,由已知得｛a2b2，由此能求
ab2u2c
ab5
出双曲线的标准方程；
2不妨设点M在双曲线的右支上，则MRMF22J3,利用MRMF26J3,
结论。
解得MR4/3Jmf2
2.3,F1F22c2,5,
因此在MF1F2中，MFi
边最长,
由余弦定理可得
2
x
2
—1
（2）x2y40
4
【解析】试题分析：
（1）根据椭圆的性质列方程组解出a,b,c即可；
（2）设直线斜率为k,把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列
方程即可得出k的值，从而求出直线方程.
试题解析：
（1）
e
c
5
2b=4,
所以
a=4,b=2,c=2.3，椭圆标准方程为
2X
2
y
1
a
2
16
4
（2
）
设
以点
P2,1
为
中点的弦与椭圆交于A
X1,
y1,b
X2,y2
则
X1
X2
4,
y1y2
2,
分
别代入椭圆的方程
两
式
相
减得
X1
X2
X1
X2
4y1
y2
%y20,所以4为X2
8
y1y2
0
所以
k
y1
y2
1
由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为
y
1
1
X
2，即
X1
X2
2
2
x2y40.
点睛：
弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利
用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k,利用
根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程
22
22.
（1）;
（2）h；l=
【解析】试题分析：
（1）由圆的方程可得F（2Q,（0Q）,从而日严&,可得『討，故
y—x-tn|（―
得椭圆的方程；
（2）由题意得直线的方程为3代入椭圆方程消去y可
得2宀饷*"'-6显,然后设叫比），凤叫旳，将亡・F“0用点c,D的坐标表示，再根据根与系数的关系得到关于常的方程，解方程可得聞的值。
试题解析：
（1）在圆方程『“-九一-中，
令¥=0，得x=0或耳=2;令羔二0，得¥=0或¥=2。
又圆&经过椭圆的右焦点及上顶点B,
—+—=1
•椭圆的方程为
（2）由题意得直线的方程为
¥=亠——
3）
xV
-+—=1
62
$
消去得2x*2mx+m亠6=0.
¥=-（x-m）
3
•••直线线交于椭圆匸、°两点,
r：
讥，•U
mZ-6
，则sfx2=m
?
xix2-~~
设一，
也羽1m¥旳=t护-护-mH=押-才％+
..苍（叶如丿丘訂叫孔材
一一4m+6m2m（m・胡
FC+FD二I%】-2}（x2-2}+YLy2=孑-—^―+x?
}+—-+4=
2m（mT
—7
，解得
3
E二3.
点睛：
解决直线和圆锥曲线位置关系问题的注意点：
（1）根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论；
（2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单；
（3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视。
升级会员 