概率论与数理统计复习提纲.docx
《概率论与数理统计复习提纲.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计复习提纲.docx（48页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
概率论与数理统计复习提纲
第一章随机事件及其概率
一、随机事件及其运算
1.样本空间、随机事件
①样本点：
随机试验的每一个可能结果，用表示；
②样本空间：
样本点的全集，用表示；
注：
样本空间不唯一.
③随机事件：
样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,⋯表示；
④必然事件就等于样本空间；不可能事件（）是不包含任何样本点的空集；
⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
2.事件的四种关系
①包含关系：
A
B，事件A发生必有事件
B发生；
②等价关系：
A
B，事件A发生必有事件
B发生，且事件B发生必有事件
A发生；
③互不相容（互斥）：
AB
，事件A与事件B一定不会同时发生。
④对立关系（互逆）：
A，事件A发生事件
A必不发生，反之也成立；
AA
互逆满足
AA
注：
互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。
）
3.事件的三大运算
①事件的并：
AB，事件A与事件B至少有一个发生。
若AB，则ABAB；
②事件的交：
AB或AB，事件A与事件B都发生；
③事件的差：
A-B，事件A发生且事件B不发生。
4.事件的运算规律
①交换律：
ABBA,ABBA
②结合律：
（AB）CA（BC）,（AB）CA（BC）
③分配律：
A（BC）（AB）（AC）,A（BC）（AB）（AC）
nn
④德摩根（DeMorgan）定律：
二、随机事件的概率定义和性质
ABAB,
ABAB
Ai
Ai,
对于n个事件，有i1
i1
n
n
Ai
Ai
i1
i1
1．公理化定义：
设试验的样本空间为
，对于任一随机事件A（A）,
都有确定的实值P（A），满足下列性质：
（1）非负性：
P（A）0;
（2）规范性：
P（
）1;
（3）有限可加性（概率加法公式）：
对于k个互不相容事件A1,A2
k
k
Ak，有P（
Ai）
P（Ai）.
i
1
i1
则称P（A）为随机事件A的概率.
2．概率的性质
①P（
）1,P（）0
②P（A）
1P（A）
③若A
B，则P（A）
P（B）,且P（B
A）
P（B）P（A）
1
④P（AB）P（A）P（B）P（AB）
P（A
B
C）
P（A）
P（B）P（C）
P（AB）
P（BC）
P（AC）P（ABC）
注：
性质的逆命题不一定成立的.
如若P（A）
P（B）,则A
B。
（×）
若P（A）
0，则A。
（×）
三、
古典概型的概率计算
古典概型：
若随机试验满足两个条件：
①
只有有限个样本点,
②每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型
P（A）
k
。
n
N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取
n件样品，则
典型例题：
设一批产品共
（1）在放回抽样的方式下
取出的n件样品中恰好有
m件次品（不妨设事件
A）的概率为
1
P（A1）
CnmMm（NM）nm
Nn
.
取出的n件样品中恰好有
m件次品（不妨设事件
A）的概率为
（2）在不放回抽样的方式下
2
m
m
nm
m
nm
P（A2）
Cn
AM
ANM
CM
CNM
.
ANn
CNn
四、条件概率及其三大公式
1.
条件概率：
P（B|A）
P（AB）
P（AB）
P（A|B）
P（A）
P（B）
2.
P（AB）
P（A）P（B|A）
P（B）P（A|B）
乘法公式：
P（A1A2
An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）
n
3.
全概率公式：
若B1,B2,
Bn满足
Bi,BiBj,i
i
4.贝叶斯公式：
若事件B1,B2,,Bn和A如全概率公式所述，且
P（An|A1An1）
n
j，则P（A）P（Bi）P（A|Bi）。
i1
P（A）0，则P（Bi|A）
P（Bi）P（A|Bi）
.
n
P（Bi）P（A|Bi）
i1
五、事件的独立1.定义：
若P（AB）P（A）P（B）,则称A,B独立.
推广：
若A1,A2,,An相互独立，P（A1An）P（A1）P（An）
2.在A,B,A,B,A,B,A,B四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。
P（AB）P（A）P（B）
3.三个事件A,B,C
两两独立：
P（BC）
P（B）P（C）
P（AC）P（A）P（C）
注：
n个事件的两两独立与相互独立的区别。
（相互独立
两两独立，反之不成立。
）
4.伯努利概型：
（
）
k
knk
0,1,2,,,
1.
PnkCn
pqk
nq
p
2
1.
事件的对立与互不相容是等价的。
（X）
2.若P（A）0,则A。
（X）
3.若P（A）0.1,P（B）0.5,则P（AB）0.05。
（X）
4.A,B,C
三个事件恰有一个发生可表示为
ABC
ABC
ABC。
（∨）
5.n
个事件若满足
i
j
PAiAj
）
PAi
PAj
），则n个事件相互独立。
（X）
（
（
）（
6.
当A
B时，有P（B-A）=P（B）-P（A）
。
（∨）
第二章
随机变量及其分布
一、随机变量的定义：
设样本空间为
，变量
XX（
）为定义在
上的单值实值函数，则称
X为随机变量，通
常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
二、分布函数及其性质
1.
定义：
设随机变量
X，对于任意实数
xR，函数F（x）
P{X
x}称为随机变量
X的概率分布函数，简称
分布函数。
注：
当x1
x2时，P（x1X
x2）
F（x2）F（x1）
（1）
X是离散随机变量，并有概率函数p（xi）,i1,2,
则有F（x）
p（xi）.
xi
x
（2）X连续随机变量，并有概率密度
f（x）
，则F（x）
P（Xx）
x
f（t）dt.
2.分布函数性质：
（1
（
）是单调非减函数，即对于任意
x
1<
x
2，有
（
x1
）
F
（
x
2
）;
；
Fx
F
（2
0F（x）1；且F（
）limF（x）
0，F（
）
lim
F（x）
1；
x
x
（3
离散随机变量X，F（x）是右连续函数
即F（x）
F（x
0）；连续随机变量
X，F（x）在（-∞，+∞）上处处连续。
注：
一个函数若满足上述
3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。
三、离散随机变量及其分布
1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值
P（Xxi）pi（i1,2,），则称X为离散随机变量
x1,x2,
xn，或可列无穷多个数值x1,x2,,xn,,且
p
（i=1,2,⋯）为X的概率分布，或概率函数（分布律）.
i
注：
概率函数
pi的性质:
（1）pi0,i1,2,;
（2）pi1
i
2.几种常见的离散随机变量的分布：
（1）超几何分布，
X~H（N,M,n），
{
}
CMk
CNnkM
0,1,2,,
k
k
n
PX
CNn
（
）
k
k
（1
）
nk
0,1,
Cn
p
p
k
n
（2）二项分布，X~B（n.,p），
PXk
当n=1时称X服从参数为p的两点分布（或
0－1分布）。
n
若X（i=1,2,⋯,n）
服从同一两点分布且独立，则
X
X
服从二项分布。
i
i
i1
3
（3）泊松（Poisson）
分布，X~P（），P{X
k}
ke
（
0）,k
0,1,2,...
k!
四、连续随机变量及其分布
1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间
I，且存在非负函数f（x）
，使得对于任意区间（a,b]
I，有
P（aXb）
b
函数f（x）
称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。
f（x）dx,则称X为连续随机变量;
a
注1：
连续随机变量
X任取某一确定值的
x0
概率等于0,
即P（X
x0）
0;
注2：
P（x1X
x2）
P（x1X
x2）
P（x1
X
x2）
P（x1X
x2）
x2
f（x）dx
x1
2.概率密度f（x）的性质：
性质
1：
f（x）
0;
性质2：
（）
1.
fxdx
注1：
一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。
注2：
当x1x2时，P（x1X
x2
f（x）dx
x2）F（x2）F（x1）
x1
且在f（x）的连续点x处，有F
（x）f（x）.
3.几种常见的连续随机变量的分布：
1
0,
x
a;
（1）均匀分布X~U（a,b），
，a
xb
F（x）
x
a
ax
b;
f（x）b
a
b
a
0
，其它
1,
x
b.
（2）
指数分布X~e（
）,
0
ex，x0
1ex,x0,
f（x）
0
F（x）
0.
0，x
0,x
1
（x
）2
1
x
（t
）2
（3）
正态分布X~N（
2
），
2
2
2
2
e
e
x
0f（x）
，
F（x）
dt,
2
2
1.概率函数与密度函数是同一个概念。
（X）
2.
当N充分大时，超几何分布
H（n,M,N）可近似成泊松分布。
（X）
3.
设X是随机变量，有
P（a
Xb）
P（a
Xb）。
（X）
4.
若X的密度函数为
f（x）=cosx,x
[0,
]，则P（0X
）costdt.（X）
2
0
第三章随机变量的数字特征
一、期望（或均值）
xkpk,离散型
1．定义：
EX,EX
k1
xf（x）dx,连续型
（1）E（C）C,（C为常数）
（2）E（CX）=CE（X）
2．期望的性质：
（3）E（XY）=E（X）E（Y）
（4）若X与Y相互独立，则E（XY）=E（X）E（Y）,反之结论不成立.
4
g（xk）pk,X离散型
3.随机变量函数的数学期望E[g（x）]
k1
+
g（x）f（x）dx，X连续型
-
4.计算数学期望的方法
（1）利用数学期望的定义；
（2）利用数学期望的性质；
常见的基本方法：
将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.
（3）利用常见分布的期望；
1．方差D（X）E[XE（X）]2
[x
E（X）]2pi,离散型
i
[x
E（X）]2f（x）dx,连续型
注：
D（X）=E[X-E（X）]2≥0；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D（X）值越大（小），表示X取值越分散（集中）。
2．方差的性质
（1）D（C）0,（C为常数）
（2）D（CX）=C2D（X）
（3）若X与Y相互独立，则D（XY）=D（X）+D（Y）
（4）对于任意实数C∈R，有E（X-C）2≥D（X）
当且仅当C=E（X）时,
E（X-C）2取得最小值D（X）.
（5）（切比雪夫不等式）:
设
X
的数学期望
（）
与方差
（）存在,对于任意的正数
有
EX
DX
，
P（|X-E（X）|ε）
D（X）
P（|X-E（X）|<ε）1-
D（X）
2
.或
2.
ε
ε
3.
计算
（1）
利用方差定义；
（2）常用计算公式D（X）
E（X2）
[E（X）]2.（3）
方差的性质；（4）
常见分布的方差.
注：
常见分布的期望与方差
1.
若X～B（n,
p）,
则E（X）=np,D（X）=
npq;
2.
若X~P（）,则E（X）D（X）
;
3.
若～（
）,
则
E（X）
ab
D（X）
（b
a）2
4.若
X~e（）,则E（X）
1,D（X）
1
;
XUa
b
2
;
2
12
5.
若X~N（,
2）,则E（X）
D（X）
2.
三、原点矩与中心矩
（总体）X的k阶原点矩：
vk（X）
E（Xk）
（总体）X的k阶中心矩：
uk（X）
E[X
E（X）]k
1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。
（X）
2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。
（√）
3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。
（X）
4.方差的实质是随机变量函数的期望。
（√）
5.对于任意的X,Y，都有D（XY）DXDY成立。
（X）
第四章正态分布
一、正态分布的定义
1.正态分布
5
1
（x
）2
⑴X~N（
2）概率密度为f（x）
e2
2
x
其分布函数为F（x）
2
注：
F（）
1.
2
正态密度函数的几何特性：
（1）曲线关于x
对称；
（）
μ时，f（x）取得最大值
1
；
2当x
2
1
（x）2
（x
）2
（3）当x
时，f（x）
0，以x轴为渐近线；
（4）
e2
2
dx1
e2
2
2
dx
（5）当固定σ，改变μ的大小时，f（x）的图形不变，只是沿着
y轴作平移变化.
1
（t
）2
x
2
dt
e2
2
2;
（6）当固定μ，改变σ的大小时，f（x）对称轴不变而形状在改变，σ越小,图形越高越瘦；σ越大,图形越矮越胖.
2.标准正态分布
1
x2
1
x
t2
当
0,1时，X~N（0,1）,其密度函数为
（x）
e2,
x.且其分布函数为（x）
e2dt.
2
2
（x）的性质：
（1）
（0）
1
（3）（
x）1
（x）.
;
2
x2
x2
（2）
（
）
1e2dx
1
e
2dx
2
2
3.正态分布与标准正态分布的关系
定理：
若X~N（
2）,则Y
X
~N（0,1）.
定理：
设X~N（
2）,则P（x
X
x
）（x2
）
（x1
）.
1
2
二、正态分布的数字特征
2
1
（x
）2
设X~N（,
）,则1.期望E（X）
E（X）
xe2
2
2
dx
1
（x
）2
2.方差D（X）
2
D（X）
（x
）2e22
dx
2
2
3.标准差（X）
三、正态分布的性质
1．线性性.
设X~N（,
2）,则Y
a
bX~N（a
b,b22），（b
0）；
2．可加性.
设X~N（
x,
2
y,
2
X
Y~N（
y,
2
2
x）,Y~N（
y）,且X和Y相互独立，则Z
x
x
y）;
2
n
n
n
3．线性组合性设
X
~
N
（i,
）,
i
1,2,
n，且相互独立，则
2
2
i
i
cX
i~N（
ci
i,
ci
i）.
i
i1
i
1
i
1
四、中心极限定理
1.独立同分布的中心极限定理
6
设随机变量X1,X2,,Xn,
相互独立，服从相同的分布，且
E（Xi）,D（Xi）
2,i1,2,,n,;
n
Xi
nμ
1
（t
）2
x，有limP
i1
x
x
22
dt
则对于任何实数
e
n
升级会员 