数学物理方法第14章.docx

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数学物理方法第14章

第14章

第14.1节

一、二阶线性偏微分方程的通解

例题14.1.1求偏微分方程

X2uxx+2xyuxy+y2uyy=0

的通解

解：

判别式∆=B2−4AC=4x2y2-4x2y2=0,所以方程为抛物型的，其

特征方程为（xdy-ydx）2=0因此，特征曲线为

若令

，做自变量变换，原方程化为如下标准形式：

将上式对η积分两次，得u（ζ,η）=ηf（ζ）+g（ζ）

其中，f（ζ）和g（ζ）是两个任意连续二次可微函数。

恢复到原来x、y,就得到原方程的通解

u（x,y）=yf（y/x）+g（y/x）

例题14.1.2求偏微分方程x2uxx-y2uyy=0（x>0,y>0）的通解。

解：

因为方程的判别式∆=B2−4AC=x2y2>0,所以方程为双曲型的，

其特征方程为（xdy+ydx）（xdy-ydx）=0因此特征曲线是如下两族曲线：

Xy=c1）（常数），y/x=c2（常数）

做自变量变换

则题设方程可化为如下标准形式：

再作代换v=uη,将上述方程化简为

这个方程经过分离变量很容易积分。

对ζ积分后，我们有

再将上式对η积分，即得u（ζ,η）=G（ζ）+

其中f（η）,F（η）,G（ζ）是三个任意二次连续可微函数。

恢复到原来变量x,y,就得到原方程的通解

u（x,y）=G（x,y）+

（14.1.2）

再求上述方程适合如下条件的解：

将式（14.1.2）代入式（14.1.3）

微分式（14.1.4）,得

（14.1.6）

式（14.1.5）与式（14.1.6），解出

因此

于是

第14.2节

一、行波法

1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程

　为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程

auxx+buxy-cuyy=0（14.2.1）

方程中的系数a,b,c为实常数．（说明：

这里我们用了小写字母

a,b,c表示它是实常数，而不是（x,y）的函数）

假设方程的行波解具有下列形式

u（x,y）=F（y+λx）代入方程即得

aλ2F′′（y+λx）+bλF′′（y+λx）+cF′′（y+λx）=0

需要求方程的非零解，故

F''（y+λx）≠0

上述方程变为

aλ2+bλ+c=0（14.2.2）

（i）∆=b2−4ac>0

对应于双曲型方程，式（14.2.2）有两个不同的实根λ1,λ2

u（x,y）=F（y+λ1x）+G（y+λ2x）（14.2.3）

（ii）∆=b2=−4ac=0

对应于抛物型方程，式（14.2.2）有相等的实根

u（x,y）=F（y+λ1x）+xG（y+λ2x）（14.2.4）

（iii）∆=b2−4ac<0，对应于椭圆型方程，式（14.2.4）

有两个虚根λ1=α+iβ,λ2=α−iβ则

u（x,y）=F（y+λ1x）+G（y+λ2x）=F（（y+αx）+iβx）+G（（y+αx）-iβx）（14.2.5）

2.更为一般的含实常系数的偏微分方程

如果方程具有更一般的形式

其中a,b,c,d,e,f均为实常数。

我们可以令u（x,y）=emx+ny（14.2.7）

代入方程（14.2.6）得am2+bmn+cn2+dm+en+f=0（14.2.8）

（i）b2−4ac>0,双曲型，上述方程有两个不同的实根n1（m）,n2（m），则

u（x,y）=c1emx+n1（m）y+c2emx+n2（m）y（14.2.9）

（ii）b2−4ac=0,抛物型，上述方程有相等的实根n1（m）=n2（m），则

u（x,y）=c1emx+n1（m）y+c2xemx+n2（m）y（14.2.10）

（注明：

上式中的第二项乘以x是为了保证两根线性独立）

（iii）b2−4ac<0,椭圆型，上述方程有两个共轭虚根

n1=α（m）+iβ（m）,n2=α（m）−iβ（m），则

u（x,y）=c1emx+[α（m）+iβ（m）]y+c2emx+[α（m）−iβ（m）]y（14.2.11）

例题14.2.1求解

解:

∆=b2−4ac<0，对应于椭圆型方程,λ1=-2+i,λ2=-2−i,

U（x,y）=f[y-（2-i）x]+g[y-（2-i）x]

如果方程为

（14.2.6）

其中A、B、C、D、E、F均为实数，则u（x,y）=emx+ny（14.2.7）

上式代入方程（14.2.6）得

Am2+Bmn+Cn2+Dm+En+F=0（14.2.8）

b2−4ac>0,双曲型，上述方程有两个不同的实根n1（m）,n2（m），则

u（x,y）=c1emx+n1（m）y+c2emx+n2（m）y

例题14.2.2求解

解：

（i）b2−4ac>0,双曲型，上述方程有两个不同的实根n1=m-1,n2=-m+1，则

u（x,y）=c1emx+（m-1）y+c2emx+（-m+1）y

或u（x,y）=e-yf（x+y）+e-yg（x-y）

b2−4ac=0,抛物型，上述方程有相等的实根n1（m）=n2（m），则

u（x,y）=c1emx+n1（m）y+c2xemx+n2（m）y

例题14.2.3求解

解（i）b2−4ac=0,抛物型，上述方程有相等的实根n1=n2=1+m，则

u（x,y）=c1emx+n1y+c2xemx+n1y

或u（x,y）=ey[f（x+y）+xg（x+y）]

（ii）b2−4ac<0,椭圆型，上述方程有两个共轭虚根

n1=α（m）+iβ（m）,n2=α（m）−iβ（m），则

u（x,y）=c1emx+[α（m）+iβ（m）]y+c2emx+[α（m）−iβ（m）]y

例题14.2.4求解

解b2−4ac<0,椭圆型，上述方程有两个共轭虚根

n1=1+mi,n2=1−mi，则

u（x,y）=c1emx+[1+mi]y+c2emx+[1−mi]y

或u（x,y）=ey[f（x+iy）+g（x-iy）]

第14.3节

一、达朗贝尔公式

设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为

utt−a2uxx=0（−∞0）

u（x,0）=ϕ（x）（14.3.1）

ut（x.0）=ψ（x）

容易得知偏微分方程的判别式∆=4a2>0，该方程为双曲型

由λ2-a2=0,λ1=a,λ2=-a泛定方程（14.3.1）的通解为

U（x,t）=f1（x-at）+f2（x+at）（14.3.2）

其中f1,f2是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定

f1,f2函数．

f1（x）+f2（x）=φ（x）（14.3.3a）

-af1’（x）+af2（x）=φ（x）（14.3.3b）

将上式积分得

（14.3.3）

其中x0及c均为常数。

由式（14.3.3c）与式（14.3.3a）联立解得

再将上述两式中的f1（x）,f2（x）代入式（14.3.2），得

（14.3.4）

当函数ϕ（x）是二次连续函数，函数ψ（x）是一次连续可

微的函数时，（14.3.4）式即为无界弦自由振动定解问题的解，

表达式（14.3.4）称为达朗贝尔公式.无界弦自由振动定解问题

的解称为达朗贝尔解.

二、达朗贝尔解的物理意义

弦上的任意扰动总是以行波的形式向相反的两个方向传播出去,传播的速度为泛定方

程中的常数a，这就是达朗贝尔公式的物理意义，故达朗贝尔解法又称为传播波解法.

例题

解：

将初始条件代入达朗贝尔公式

三、达朗贝尔公式的应用

例14.3.1已知初始速度为零，初始位移如图14.2所示的无

界弦振动，求此振动过程中的位移.

如上即为如图所示的无界弦自由振动的定解问题，按达

朗贝尔公式得其位移函数：

当t=常数，且0

当t=常数，且0

补充例题：

已知初始速度为零，初始位移如图14.1所示的

无界弦振动，求此振动过程中的位移.

解根据达朗贝尔公式，初始速度为0，而初始位移为ϕ（x）

得到无界弦自由振动的定解问题：

由于初始位移ϕ（x）只在区间（x1,x2）上不为零，且在

处达到最大值u0故ϕ（x）的表达式应为:

根据达朗贝尔公式（14.3.4）即得位移为

四、依赖区间、决定区域和影响区域

在t>0上

过点（x1,0）作直线x=x1+at

过点（x2,0）作直线x=x2−at

所围的三角形区域

x1+at≤x≤x2−at

中的任意一点的解的值完全由依赖区间[x1，x2]上的

初始条件确定，该区域称为区间[x1，x2]的决定区域。

在t>0上

过点（x1,0）作直线x=x1−at

过点（x2,0）作直线x=x2+at

所围的区域x1−at≤x≤x2+at

为弦经过时间t后，受到扰动影响的范围，

该区域称为区间[x1，x2]的影响区域。

第14.4节

一、一端固定的半无界长弦的自由振动

弦线一端x=0端被固定，u（0,t）=0,且u（x,t）函数直到边界上都是

连续的，应有u（0,0）=ϕ（0）=0,ut（0,0）=ψ（0）=0

于是，把ϕ（x）ψ（x）延拓成实数集上的奇函数，即可把整个问题拓

展成无界弦的自由振动问题。

对称奇延拓

新的定解问题

新的达朗贝尔解

则有

举例

当0

当1/4a

当1/2a

当3/4a

当1/a

二、两端自由的半无界长弦的自由振动

弦线两端自由，ux（0,t）=0,故应有：

u'（x,0）|x=0=ψ'（x）|x=0=0

u't（x,0）|x=0=ψ'（x）|x=0=0

于是，把ϕ（x）ψ（x）延拓成实数集上的偶函数，即可把整

个问题拓展成无界弦的自由振动问题。

对称偶延拓

新的定解问题

新的达朗贝尔解

则有

第14.5节

一、定解问题

Utt=a2uxx（00）

U（0,t）=0（t>0）

U（l,t）=0（t>0）

U（x,0）=φ（x）（0≤x≤l）

Ut（x,0）=ψ（x）（0≤x≤l）

按行波法公式泛定方程的通解为：

u（x,t）=f1（x−at）+f2（x+at）

进一步讨论其满足边界条件的特解.把通解带入边界条件得：

f1（−at）+f2（at）=0⇒f1（−y）+f2（y）=0

f1（l−at）+f2（l+at）=0⇒f1（−y）+f2（2l+y）=0

解得f2（y）−f2（2l+y）=0

所以f2是以2l为周期的周期函数，同理可得f1亦然。

且f1（−y）=−f2（y）

故满足边界条件的特解为：

u（x,t）f1（x−at）−f1（−x−at）

由于f1是以2l为周期的周期函数，所以u（x,t）也是以2l为

周期的周期函数。

且有上式知：

U（x,t）=−u（−x,t）,即u（x,t）是关于x的奇函数。

因此鉴于泛定方程在满足边界条件的解具有周期性奇

函数的特点，那么初始条件提供的函数也应当是以2l为

周期的奇函数。

故需要把初始条件对应的函数延拓成2l为

周期的奇函数。

这样问题就化为无界弦的自由振动定解问题。

可以应用达朗贝尔公式。

又由傅立叶级数展开定理知，u（x,t）应具有傅氏正弦级数的形式：

例题14.5.1求解定界问题

Utt=a2uxx（00）

U（0,t）=0（t>0）

U（l,t）=0（t>0）

U（x,0）=φ（x）=x（l-x）（0≤x≤l）

Ut（x,0）=0（0≤x≤l）

解：

第14.6节

一、纯强迫力f（x,t）所引起振动的定解问题

最终，利用达朗贝尔公式得到纯强迫振动定解问题的解为：

（14.6.2）

补充例题求解定解问题

Utt-a2uxx=x+at（-∞0）

U（0,t）=0u（x,0）=0

解:

由公式14.6.2得：

二．齐次化原理

定理若为非齐次方程的问题的解，

（I）

（t>0）（-∞

当t=0时，

而

为齐次方程的问题（II）的解

（II）

（

>0,

=

）（-

）

当

=0时，

=0

则

或

补充例题求解定解问题

（t>0，-

）

解：

=