16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为，∠1=∠2，BE⊥AE
所以，△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE
∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF
AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
作AG∥BD交DE延长线于G
F
A
E
D
C
B
AGE全等BDE
AG=BD=5
AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC．
延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
所以:
∠DBC=∠DCB;
∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB;
所以:
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线
所以:
AD垂直BC
19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：
∠OAB=∠OBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB
所以MA=MB
所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA
所以∠OAB=∠OBA
20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：
AD+BC=AB．
证明：
做BE的延长线，与AP相交于F点，
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，
又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形
在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：
∠C=2∠B
证明：
在AB上找点E，使AE=AC
∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD
∴△ADE≌△ADC。
DE=CD，∠AED=∠C
∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
∠B=∠EDB
∠C=∠B+∠EDB=2∠B
22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：
MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
分析：
通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．
解答：
解：
（1）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．
23．（7分）已知：
如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
（1）求证：
△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
（1）DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE，所以△AED≌△EBC。
（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：
BD=2CE．
证明：
延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC（ASA）
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=CF
∴BD=2CE
25、（10分）如图：
DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：
△AED≌△BFC。
26、（10分）如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
证明：
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、（10分）如图：
在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
求证：
BD⊥AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC
28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
证明：
在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、（12分）如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
因为AB=DC
AE=DF,CE=FB
CE+EF=EF+FB
所以三角形ABE=三角形CDF
因为角DCB=角ABF
AB=DCBF=CE
三角形ABF=三角形CDE
所以AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证：
∵AB平行CD（已知）
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵M在BC的中点（已知）
∴EM=FM（中点定义）
在△BME和△CMF中
BE=CF（已知）
∠B=∠C（已证）
EM=FM（已证）
∴△BME全等与△CMF（SAS）
∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）
∴E，M，F在同一直线上
31．已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．
求证：
△ABE≌△CDF．
证明：
∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
∴AE=CF
∵BE//DF
∴∠BEA=∠DFC
又∵BE=DF
∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）
D
B
Cc
A
F
E
32.已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：
角ABC=角ADC在结合已知条件证得：
△ADE≌△ABF
得AE=AF
33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
因为∠1=∠2,∠3=∠4
所以∠ADC=∠ABC.
又因为AC是公共边，所以AAS==>⊿ADC≌⊿ABC.
所以BC=DC，∠3=∠4,EC=EC
⊿DEC≌⊿BEC
所以∠5=∠6
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF．
因为D,C在AF上且AD=CF
所以AC=DF
又因为AB平行DE，BC平行EF
所以∠A+∠EDF，∠BCA=∠F（两直线平行，内错角相等）
然后SSA（角角边）三角形全等
A
C
B
D
E
F
35．已知：
如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
求证：
BE=CD．
A
E
B
D
C
F
证明：
因为AB=AC，
所以∠EBC=∠DCB
因为BD⊥AC，CE⊥AB
所以∠BEC=∠CDB
BC=CB（公共边）
则有三角形EBC全等于三角形DCB
所以BE＝CD
D
C
B
A
E
37.已知：
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？
∠C=∠E=90度
∠B=∠EAD=90度-∠BAC
BC=AE
△ABC≌△DAE
AD=AB=5
38．如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：
MB=MC
证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM
∴MB=MC
39.如图，给出五个等量关系：
①
②
③
④
⑤
．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
A
B
C
Ｄ
Ｅ
已知：
求证：
证明：
已知1,2
求证4
因为AD=BCAC=BD，在四边形ADBC中，连AB
所以△ADB全等于△BCA
所以角D=角C
以4,5为条件，1为结论。
即：
在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：
AD=BC
因为∠A+∠B+∠C+∠D=360
∠D=∠C，∠A=∠B，
所以2（∠A+∠D）=360°，
∠A+∠D=180°，
所以AB//DC
40．在△ABC中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，求证：
①
≌
；②
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）不成立，证明：
在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF
A
E
B
M
C
F
（1）证明;因为AE垂直AB
所以∠EAB=∠EAC+∠CAB=90度
因为AF垂直AC
所以∠CAF=∠CAB+∠BAF=90度
所以∠EAC=∠BAF
因为AE=ABAF=AC
所以三角形EAC和三角形FAB全等
所以EC=BF
角ECA=角F
（2）
（2）延长FB与EC的延长线交于点G
因为角ECA=角F（已证）
所以角G=角CAF
因为角CAF=90度
所以EC垂直BF
42．如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
连接BF、CE，证明△ABF全等于△DEC（SAS），
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分）如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:
BE∥CF．
证明：
∵AD是中线
∴BD=CD
∵DF=DE，∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF
∴∠BED=∠CFD
∴BE‖CF
A
D
E
C
B
F
46、（10分）已知：
如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
．
求证：
．
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠AFB=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴∠C=∠A，
∴AB∥CD．
47、（10分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：
AB=CD
A
C
E
D
B
48、（10分）如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
结论：
CE>DE。
当∠AEB越小，则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°
∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中∠DFB=∠DBF=（180°-∠FDB）/2>45°
RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF<45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CEAF=DE
∴CE>DE
49、（10分）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：
AE＝DE.
A
B
E
C
D
先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCB
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．
A
B
C
D
E
F
图9
证明：
作CG平分∠ACB交AD于G
∵∠ACB=90°
∴∠ACG=∠DCG=45°
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°
∴∠CAF=∠DCF
∵AC=CB∠ACG=∠B
∴△ACG≌△CBE
∴CG=BE
∵∠DCG=∠BCD=BD
∴△CDG≌△BDE
∴∠ADC=∠BDE
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