高中数学人教a版选修44学案第一讲 三 2 直线的极坐标方程 含答案.docx
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高中数学人教a版选修44学案第一讲三2直线的极坐标方程含答案
2.直线的极坐标方程
1.直线的极坐标方程
(1)若直线经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
(2)当直线l过极点,即ρ0=0时,l的方程为θ=α.
(3)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时,l的方程为ρcos_θ=a.
(4)当直线l过点M(b,
)且平行于极轴时,l的方程为:
ρsin_θ=b.
2.图形的对称性
(1)若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称.
(2)若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ=
所在直线对称.
(3)若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点对称.
求直线的极坐标方程
[例1] 求从极点出发,倾斜角是
的射线的极坐标方程.
[思路点拨] 将射线用集合表示出来,进而用坐标表示.
[解] 设M(ρ,θ)为射线上任意一点(如图),则射线就是集合
P=
将已知条件用坐标表示,得
θ=
(ρ≥0). ①
这就是所求的射线的极坐标方程.方程中不含ρ,说明射线上点的极坐标中的ρ,无论取任何正值,θ的对应值都是
.
求直线的极坐标方程,首先应明确过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法.另外,还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程.
1.求过A
且垂直于极轴的直线的方程.
解:
如图所示,在直线l上任意取点M(ρ,θ),∵A
,
∴|OH|=2sin
=
.
在Rt△OMH中,
|OH|=|OM|cosθ,
∴
=ρcosθ,即ρcosθ=
,
∴过A
且垂直于极轴的直线方程为ρcosθ=
.
2.设点A的极坐标为
,直线l过点A且与极轴所成的角为
,求直线l的极坐标方程.
解:
设P(ρ,θ)为直线上任意一点(如图).
则∠α=
-
=
,
∠β=π-
=
+θ,
在△OPA中,有
=
,
即ρsin
=1.
直线的极坐标方程的应用