高中数学《数列》知识点归纳.docx
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高中数学《数列》知识点归纳
数列
1、数列中an与Sn之间的关系：
a
n
S,（n1）
1
SS,（n2）.
nn1
注意通项能否合并。
2、等差数列：
⑴定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即
a－an1
n
=d，（n≥2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：
若三数a、A、b成等差数列
A
ab
2
⑶通项公式：
aa1（n1）da（nm）d
nm
或anpnq（p、q是常数）.
⑷前n项和公式：
nn1naa
1n
Snad
n1
22
⑸常用性质：
①若mnpqm,n,p,qN，则
amaaa；
npq
②下标为等差数列的项,,,
akaa，仍组成等差数列；
kmk2m
③数列ab
n（,b为常数）仍为等差数列；
④若{a}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}（k、p是非零常数）、
n
*
{apnq}（p,qN）、，⋯也成等差数列。
⑤单调性：
a的公差为d，则：
n
ⅰ）d0
a为递增数列；
n
ⅱ）d0
a为递减数列；
n
ⅲ）d0
a为常数列；
n
⑥数列{an}为等差数列anpnq（p,q是常数）
⑦若等差数列
a的前n项和，则、、⋯是等差数列。
SSkS2kSkS3kS2k
nn
3、等比数列
⑴定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数
列就叫做等比数列。
⑵等比中项：
若三数a、G、b成等比数列G2ab,（ab同号）。
反之不一定成立。
⑶通项公式：
n1nm
aaqaq
n1m
⑷前n项和公式：
S
n
n
a11qa1aq
n
1q1q
⑸常用性质
①若mnpqm,n,p,qN，则
aaaa；
mnpq
②k,a,a,
a为等比数列，公比为
kmk2m
k
q（下标成等差数列,则对应的项成等比数列）
③数列
a（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列
n
a；则
n
lgan是公差为lgq的等差数列；
④若
a是等比数列，则
n
2
ca，a，
nn
1
a
n
，
r
a（rZ）是等比数列，公比依次是
n
21
r
qqq
，，，
q
.
⑤单调性：
a10,q1或a10,0q1an为递增数列；a10,0q1或a10,q1an
为递减数列；
q1an为常数列；
q0an为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
a的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k⋯是等比数列.
n
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，
寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
n
S
类型Ⅱ公式法：
若已知数列的前项和与
n
a的关系，求数列an的通项an可用
n
公式
a
n
S,（n1）
1
SS,（n2）
nn1
构造两式作差求解。
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二
为一”，即
a和
1
a合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验证
n
能否统一）。
类型Ⅲ累加法：
形如an1anf（n）型的递推数列（其中f（n）是关于n的函数）可构造：
aaf（n1）
nn1
aaf（n2）
n1n2
...
aaf
21
（1）
将上述n1个式子两边分别相加，可得：
af（n1）f（n2）...f
（2）f
（1）a,（n2）
n1
①若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
④若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ累乘法：
形如
a1af（n）
nn
a
n
1（）
fn
a
n
型的递推数列（其中f（n）是关于n的函数）可构造：
a
n
a
n
1
f（n1）
a
n
a
n
1
2
f（n2）
...
a
2
a
1
f
（1）
将上述n1个式子两边分别相乘，可得：
af（n1）f（n2）...f
（2）f
（1）a,（n2）
n1
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
类型Ⅴ构造数列法：
㈠形如an1paq（其中p,q均为常数且p0）型的递推式：
n
（1）若p1时，数列{
a}为等差数列;
n
（2）若q0时，数列{
a}为等比数列;
n
（3）若p1且q0时，数列{
a}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比
n
数列来求.方法有如下两种：
法一：
设a1p（a）,展开移项整理得an1pan（p1）,与题设
nn
qqq
apaq比较系数（待定系数法）得,（p0）a1p（a）
n1nnn
p1p1p1
qq
ap（a）
nn1
p1p1
即
a
n
q
p
1
构成以
q
a
11
p
为首项，以p为公比的等
比数列.再利用等比数列的通项公式求出
a
n
q
p
1
的通项整理可得a.
n
aa
法二：
由an1panq得anpan1q（n2）两式相减并整理得1
nn
aa
nn1
p,
即
aa构成以
n1n
aa为首项，以p为公比的等比数列.求出
21
aa的通项再转化为
n1n
类型Ⅲ（累加法）便可求出a.
n
㈡形如
a1paf（n）（p1）型的递推式：
nn
⑴当f（n）为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：
设aAnBpa1A（n1）B，通过待定系数法确定A、B的值，转化
nn
成以
aAB为首项，以p为公比的等比数列anAnB，再利用等比数列的通项公
1
式求出
aAnB的通项整理可得an.
n
法二：
当f（n）的公差为d时，由递推式得：
a1paf（n），anpan1f（n1）
nn
两式相减得：
aapaad，令
1
（1）
nnnn
baa得：
nn1n
bpbd转化为类型
nn1
Ⅴ㈠求出
b，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出an.
n
⑵当f（n）为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：
设af（n）paf（n1），通过待定系数法确定的值，转化成以
nn1
af为首项，以p为公比的等比数列anf（n），再利用等比数列的通项公式求
1
（1）
出af（n）的通项整理可得.
ann
法二：
当f（n）的公比为q时，由递推式得：
a1paf（n）——①，
nn
apa1f（n1），两边同时乘以q得anqpqan1qf（n1）——②，由①②两式相
nn
减得
a1aqp（aqa1），即
nnnn
aqa
n1n
aqa
nn
1
p
，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a.
n
_x0007_
法三：
递推公式为
nn
an1paq（其中p，q均为常数）或1
aparq（其中p，
nnn
q,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以
n1
q，得：
anpa1
1n
q
n1
q
n
q
q
，引入
辅助数列bn（其中
a
n
b），得：
n
n
q
p1
bnbn
1再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
qq
⑶当f（n）为任意数列时，可用通法：
在
a1paf（n）两边同时除以
nn
n1
p可得到
aaf（n）
n1n
n1nn1
ppp
，令
a
n
n
p
b
n
，则
f（n）
bb
n1nn1
p
，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出bn之后得
n
apb.
nn
类型Ⅵ对数变换法：
形如
q
a1pa（p0,a0）型的递推式：
nn
在原递推式
q
apa两边取对数得lgan1qlganlgp，令bnlgan得：
n1
b1qblgp，化归为an1panq型，求出
nn
b
b之后得10.
a（注意：
底数不一定
n
nn
要取10，可根据题意选择）。
类型Ⅶ倒数变换法：
形如
aapaa（p为常数且p0）的递推式：
两边同除于an1an，转化为
n1nn1n
11
aa
nn
1
p
形式，化归为an1panq型求出1
a
n
的表达式，再求
a；
n
还有形如
a
n
1
ma
n
paq
n
的递推式，也可采用取倒数方法转化成
1m1m
aqap
n1n
形式，化归为
an1n型求出1
paq
a
n
的表达式，再求
a.
n
类型Ⅷ形如an2pan1qan型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列{ana}的形式求解。
方法为：
设
n1
ankah（a1ka），比较系数得hkp,hkq，可解得h、k，于是
2n1nn
{ankan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an1panq型。
1
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法
求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式a.
n
5、非等差、等比数列前n项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列
a为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anbn的求和就要采用此法.
n
②将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
ab的前n项和.
nn
此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项
a
n
c
（anb）（anb）
12
（a,b,b,c为常数）时，往往可将an
12
变成两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设
a
n
anbanb
12
，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
c
，从而可得
bb
21
cc11
=（）.
（anb）（anb）（bb）anbanb
122112
常见的拆项公式有：
①
111
；
n（n1）nn1
②
1111
（）;
（2n1）（2n1）22n12n1
③
11
abab
（ab）;
④
m1mm
CC1C;
nnn
⑤nn!
（n1）!
n!
.
⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：
①找通向项公式
②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法
如果一个数列
a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒
n
着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。
特征：
a1ana2an1...
⑸记住常见数列的前n项和：
①
n（n1）
123...n;
2
②
2
135...（2n1）n;
③
22221
123...nn（n1）（2n1）.
6
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