4.
中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
5.函数f（x）=
3x-x3
cosx+|x|
在[-π,π]的图像大致为
A.
B.C.D.
6.
已知非零向量a,b满足a=1,b=
2且（2a-b）⊥（a+b），则a与b的夹角为
ππ
A.
B.
64
ππ
C.D.
32
7.已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω>0,ϕ<π的最小正周期为π，
2
且f（-x）=-f（x），则
A.f（x）在⎛0,π⎫单调递增B.f（x）在⎛π,3π⎫单调递增
ç2⎪ç44⎪
⎝⎭⎝⎭
C.f（x）在⎛0,π⎫单调递减D.f（x）在⎛π,3π⎫单调递减
ç2⎪ç44⎪
⎝⎭⎝⎭
8.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若已知a3=-1,S9=9，则
A.an
=3n-10
B.an
=2-n
C.
Sn
=1n2-7n
22
D.Sn
=n2-8n
9.关于函数f（x）＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数;②f（x）在区间⎛-π⎫上单调递减;
ç2⎪
⎝⎭
⎛π⎫
③f（x）是周期函数;④f（x）图象关于,0对称
ç⎪
⎝2⎭
其中所有正确结论的编号是（）
A.①③B.②③C.①②D.③④
10.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。
为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上。
设地球的质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月
球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程
M1
（R+r）2
+
M2
r2
=（R+r）M1.设
R3
α=r
R
。
由于
α的值很小，因此在近似计算中
3α3+3α4+α5
3，则r
（1+α）2
的近似值为（）
A．R
B．R
C．R
D．R
11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，点D,E分别是PB,BC的中点，
PA=3,PD=DE=2,PE=2
2,AD=
13,AE=
，则球O的表面积为（）
A.24πB.25πC.41πD.50π
12.
已知函数f（x）=ex-ex+a与g（x）=lnx+1的图象上存在关于x轴对称的点，
x
则a的取值范围是
A.（-∞,-e]
B.（-∞,-1]
C.[-1,+∞）
D.[-e,+∞）
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE⋅CB的值为，
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b+c）（a-b+c）=ac，则tanB=.
15.数列{a}满足a
-a=1（a-a
）（n∈N*,n>1），a=1,a=1，则a=。
nn+1
n2nn-1
181282
16.已知不等式xe2x≥kx-2e2恒成立，则k的取值范围是。
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
（10分）已知向量a=（2cosx,3cosx）,b=（cosx,2sinx）,x∈R,设函数f（x）=a⋅b.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期.
（Ⅱ）求f（x）在⎡0,π⎤上的最大值和最小值.
⎣⎢2⎥⎦
18.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式
（2）
记b=log（aa），数列{b}的前n项和为T，求证：
1+1++1<1
n2nn+1n
nTTT
12n
19.（12分）
，
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O
AB=5,AC=8，点E,F分别在AD,CD上，
AE=CF=5，EF交BD于点H.将∆DEF
3
沿EF折到△D'EF的位置，D'O=.
（I）证明：
D'H⊥平面ABCD；
（II）求二面角A-BD'-O的余弦值.
20.（12分）∆ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.
已知asinA+C=bsin（B+C）.
2
（1）求B；
（2）若∆ABC为锐角三角形，且c=2，求∆ABC面积的取值范围。
21.（12分）两县城A和B相距30km，现计划在两县城外位于线段AB上选择一点C建造一个两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和.记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：
垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数2.7；垃圾处理厂对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k；且当垃圾处理厂C与城A距离为10km时对城A和城B的总影响度为0.029.
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论⑴中函数的单调性，并判断在线段AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？
若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．
22.（12分）已知函数f（x）=（x+2）lnx+ax2-x．
（1）若a=0，求f'（x）的最小值；
（2）若f（x）在（0,+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）若a=-1，f（x1）=f（x2）,且x1求证：
x1+x2>2．
2020届广东六校高三第二次联考试题
文科数学
一、选择题：
本题12小题，每小题5分，共60分。
1．设全集U是实数集R，M={xlog2x>1},N={x1A．{x2B．{xx<3}
C．{x1D．{xx≤2}
2．复数z满足2+3i=zi（其中i是虚数单位），则z的虚部为（）
A．2B．-3
C．3D．-2
3．在∆ABC中，AB=，AC=1，∠B=30，则∠A=（）
A．60︒B．30︒或90︒
C．60︒或120︒
D．90︒
4．设平面向量a=（-2,1），b=（λ,2），若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是（）
A．（-∞,-4）（-4,1）
B．-,2（2,+∞）
C．（1,+∞）
D．（-∞,1）
ç2⎪
⎝⎭
5．若a>0，b>0，则“a+b≤8”是“ab≤16”的（）.
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．设a=log30.4，b=log23，则（）
A．ab>0且a+b>0
C．ab>0且a+b<0
（）
⎧1+x2，x≤0
7．已知函数fx=⎨
⎩1，x>0
B．ab<0且a+b>0
D．ab<0且a+b<0
，若f（x-4）>f（2x-3），则实数x的取值范围是
（）
A．（-1，+∞）
B．（-∞，-1）
C．（-1，4）
D．（-∞，1）
8．设等差数列{an}前n项和为Sn，若a4+S5=2，S7=14，则a10=（）A．18B．16C．14D．12
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
7π
A．B．
6
4π
3
13π
C．2πD．
6
10．函数f（x）=⎛2-1⎫sinx图象的大致形状是
ç1+ex⎪
⎝⎭
（）
A．B．C．D．
11．己知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足
PA=mPB，当m取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
（）
A．+1
B．2+1
2
C．5-1
2
D．-1
12．若存在唯一的正整数x，使得不等式2x-ax-a>0恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．ç0,4⎫
0
⎛41⎫
ç3e2e⎪
ex
1
C．ç0,e⎪
⎡41⎫
⎣3e2e⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭
二、填空题，本题4个小题，每小题5分，共20分。
13．
为单位向量，
，若⊥且-
=3，则b=.
ab≠0
abab2
14．若tan⎛π-α⎫=-2，则tan2α=．
ç4⎪
⎝⎭
15．若f（x）=1x3-1f'
（1）x2+x+1，则曲线y=
322
．
f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程是
16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面∆ABC满足BA=BC=，∠ABC=π，
2
若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17至21题为必做题，每小题12分；第22、23题为选做题，每小题10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（一）必做部分
17．（本小题12分）已知函数f（x）=（3cosx+sinx）2-23sin2x．
（1）求函数f（x）的最小值，并写出f（x）取得最小值时自变量x的取值集合；
（2）若x∈[-ππ
22
，求函数f（x）的单调减区间．
18．（本小题12分）数列{an}的前n项和记为Sn，a1=9，an+1=2Sn+9，n∈N*，b1=1，
bn+1-bn=log3an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求证：
对n∈N*，总有1≤1+1
++1
<2．
b1b2bn
19．（本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AD//BC，
AB=BC=AP=1AD，∠ADP=30︒
2
（1）证明：
PD⊥PB；
∠BAD=90︒.
（2）设点M在线段PC上，且PM=1PC，若∆MBC的面积为
3
，求四棱锥P-ABCD的体积．
20．（本小题12分）在直角坐标系xoy中，动点P与定点F（1,0）的距离和它到定直线x=4的距离之比
1
是，设动点P的轨迹为E．
2
（1）求动点P的轨迹E的方程；
|CD|2
（2）设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若CD//AB，求证：
|AB|
为定值．
21．（本小题12分）已知函数f（x）=lnx+x+1，g（x）=x2+2x．
（1）求函数y=f（x）-g（x）的极值；
（2）若实数m为整数，且对任意的x>0时，都有f（x）-mg（x）≤0恒成立，求实数m的最小值．
（二）选做部分（二选一，本小题10分）
22.在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为⎧x=3cosαα为参数），在以原点为极点，轴正半
⎩
⎨y=sinα（
轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin⎛θ-π⎫=．
ç4⎪
（1）求曲线c的普通方程和直线l的倾斜角；
（2）设点P（0,2），直线l和曲线c交于A、B
⎝⎭
两点，求|PA|+|PB|．
23．已知f（x）=2x2+2x-1+a．
（1）当a=-3时，求不等式f（x）>x2+x的解集；
（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．
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