高三数学高考一轮复习资料 空间点直线平面之间的位置关系.docx

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高三数学高考一轮复习资料空间点直线平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

[最新考纲]

1．理解空间直线、平面位置关系的定义．

2．了解可以作为推理依据的公理和定理．

3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

知识梳理

1．平面的基本性质

（1）公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

（2）公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

（3）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

（4）公理2的三个推论

推论1：

经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：

经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：

经过两条平行直线有且只有一个平面．

2．空间中两直线的位置关系

（1）空间两直线的位置关系

（2）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

②范围：

.

（3）平行公理和等角定理

①平行公理：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

②等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

（1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

（2）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

辨析感悟

1．对平面基本性质的认识

（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．（×）

（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.（×）

（3）（教材练习改编）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．（√）

（4）（教材练习改编）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（×）

2．对空间直线关系的认识

（5）已知a，b是异面直线、直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．（√）

（6）没有公共点的两条直线是异面直线．（×）

[感悟·提升]

1．一点提醒　做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如

（1）中两个不重合的平面还可把空间分成三部分．

2．两个防范　一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如

（2）；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如（4）．

3．一个理解　异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如（6）.

考点一　平面的基本性质及其应用

【例1】

（1）以下四个命题中，正确命题的个数是（　　）．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0B．1C．2D．3

（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是（　　）．

A．三角形B．四边形

C．五边形D．六边形

解析　

（1）①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．

（2）如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形．

同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.

∴截面为六边形PQFGRE.

答案　

（1）B　

（2）D

规律方法

（1）公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．

（2）画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．

【训练1】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．

解析　可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．

答案　①②③

考点二　空间两条直线的位置关系

【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

解析　把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.

答案　②③④

规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）．

解析　图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．

答案　②④

考点三　异面直线所成的角

【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

（1）求四棱锥的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

审题路线　

（1）找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积．

（2）取AB的中点F⇒作△PAB的中位线⇒找到异面直线DE与PA所成的角⇒计算其余弦值．

解　

（1）在四棱锥P－ABCD中，

∵PO⊥面ABCD，

∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，

∵BO＝AB·sin30°＝1，

∵PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝

，

∵底面菱形的面积S＝2×

×22＝2

.

∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝

×2

×

＝2.

（2）取AB的中点F，连接EF，DF，

∵E为PB中点，∴EF∥PA，

∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）．

在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝

＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝

，

∴EF＝

.

在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝

，

在△DEF中，由余弦定理，

得cos∠DEF＝

＝

＝

＝

.

即异面直线DE与PA所成角的余弦值为

.

规律方法

（1）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：

平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：

证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：

求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：

由异面直线所成的角的取值范围是

，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

【训练3】（·成都模拟）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为________．

解析　如图，连接B1D1，D1C，B1C.由题意知EF是△A1B1D1的中位线，所以EF∥B1D1.

又A1B∥D1C，所以A1B与EF所成的角等

于B1D1与D1C所成的角．

因为△D1B1C为正三角形，所以∠B1D1C＝

.

故A1B与EF所成角的大小为

.

答案　

1．证明线共点问题，常用的方法是：

先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．

2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：

（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余线（或点）均在这个平面内；

（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．

3．异面直线的判定方法

（1）判定定理：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；

（2）反证法：

证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．　　　　　　　　

思想方法7——构造模型判断空间线面的位置关系

【典例】（·上海卷）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则（　　）．

A．m与n异面

B．m与n相交

C．m与n平行

D．m与n异面、相交、平行均有可能

[解析]　在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．

[答案]　D

[反思感悟]这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．

【自主体验】

1．（·浙江卷）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（　　）．

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α

D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

解析　本题可借助特殊图形求解，画一个正方体作为模型（如图）．设底面ABCD为α，侧面A1ADD1为β.

①当A1B1＝m，B1C1＝n时，显然A不正确；

②当B1C1＝m时，显然D不正确；

③当B1C1＝m时，显然B不正确．故选C.

答案　C

2．对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题：

①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

解析　本题可借助特殊图形求解．画一个正方体作为模型（如图）设底面ABCD为α.

①当A1B1＝m，B1C1＝n，显然符合①的条件，但结论不成立；

②当A1A＝m，AC＝n，显然符合②的条件，但结论不成立；

③与底面ABCD相邻两个面可以两两垂直，但任何两个都不平行；

④由面面垂直的判定定理可知，④是正确的．

只有④正确，故选A.

答案　A

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．（·江西七校联考）已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（　　）．

A．相交或平行B．相交或异面

C．平行或异面D．相交、平行或异面

解析　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.

答案　D

2．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（　　）．

A．相交B．异面C．平行D．垂直

解析　如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．

答案　A

3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（　　）．

①P∈a，P∈α⇒a⊂α　②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β　③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α　④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②B．②③C．①④D．③④

解析　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，①错；a∩β＝P时，②错；

如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，

∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

答案　D

4．（·山西重点中学联考）已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：

若m⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q：

若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是（　　）．

A．p∧qB．p∨q

C．p∨（綈q）D．（綈p）∧q

解析　命题p中，m，n可能平行、还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题．所以綈p和綈q都为真命题，故p∨（綈q）为真命题．选C.

答案　C

5.

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为（　　）．

A．1B．2C．3D．4

解析　有2条：

A1B和A1C1.

答案　B

二、填空题

6．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．

解析　

如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线

＝24（对）．

答案　24

7.

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________（注：

把你认为正确的结论的序号都填上）．

解析　A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．

答案　③④

8．（·江西卷）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

解析　取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.

答案　4

三、解答题

9.

如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉

AD，BE綉

FA，G，H分别为FA，FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C，D，F，E四点是否共面？

为什么？

（1）证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉

AD.又BC綉

AD，∴GH綉BC，

∴四边形BCHG为平行四边形．

（2）解　由BE綉

AF，G为FA中点知，BE綉FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由

（1）知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：

点C1，O，M共线．

证明　如图所示，∵A1A∥C1C，

∴A1A，C1C确定平面A1C.

∵A1C⊂平面A1C，O∈A1C，

∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，

∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．

∵AC∩BD＝M，

∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C，

∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，

∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．

能力提升题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1．（·长春一模）一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（　　）．

A．AB∥CD　　B．AB与CD相交C．AB⊥CD　　D．AB与CD所成的角为60°

解析　如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．∴正确选项为D.图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°.

答案　D

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）．

A．不存在B．有且只有两条

C．有且只有三条D．有无数条

解析　法一

图1

在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面（如图1），这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．故选D.

法二　在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α（如图2），因CD与平面α不平行，

图2

所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．

答案　D

二、填空题

3.

（·安徽卷）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．

①当0＜CQ＜

时，S为四边形；②当CQ＝

时，S为等腰梯形；③当CQ＝

时，S与C1D1的交点R满足C1R＝

；④当

＜CQ＜1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为

.

图1

解析　如图1，当CQ＝

时，平面APQ与平面ADD1A1的交线AD1必平行于PQ，且D1Q＝AP＝

，

∴S为等腰梯形，∴②正确；

同理，当0＜CQ＜

时，S为四边形，

∴①正确；

图2

如图2，当CQ＝

时，将正方体ABCD－A1B1C1D1补成底面不变，高为1.5的长方体ABCD－A2B2C2D2.Q为CC2的中点，连接AD2交A1D1于点E，易知PQ∥AD2，作ER∥AP，交C1D1于R，连接RQ，则五边形APQRE为截面S.延长RQ，交DC的延长线于F，同时与AP的延长线也交于F，由P为BC的中点，PC∥AD，知CF＝

DF＝1，

由题意知△RC1Q∽△FCQ，∴

＝

，

∴C1R＝

，∴③正确；由图2知当

＜CQ＜1时，S为五边形，∴④错误；当CQ＝1时，点Q与点C1重合，截面S为边长为

的菱形，对角线AQ＝

，另一条对角线为

，∴S＝

，⑤正确．

答案　①②③⑤

三、解答题

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）求A1C1与B1C所成角的大小；

（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解　

（1）如图，连接AC，AB1，

由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，

所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．

由△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，

即A1C1与B1C所成角为60°.

（2）如图，连接BD，由

（1）知AC∥A1C1.

∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．

∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.

又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角为90°.

∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.