Matlab8数值积分及数值微分.docx
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Matlab8数值积分及数值微分
Matlab数值积分与数值微分
Matlab数值积分
一重数值积分的实现方法
变步长辛普森法、高斯-克朗罗德法、梯形积分法
变步长辛普森法
Matlab供给了quad函数和quadl函数用于实现变步长辛普森法求数值积分.调用格式为:
[I,n]=Quad（@fname,a,b,tol,trace）
[I,n]=Quadl（@fname,a,b,tol,trace）
Fname是函数文件名，a,b分别为积分下限、积分上限；tol为精度控制，默以为×10-6，trace控制能否展
开积分过程，若为0则不睁开，非0则睁开，默认不睁开.
返回值I为积分数值；n为调用函数的次数.---------------------------------------------------------------------比如：
求的值.
先成立函数文件
functionf=fesin（x）f=exp（-0.5*x）.*sin（x+（pi/6））;
再调用quad函数
[I,n]=quad（@fesin,0,3*pi,1e-10）I=n=365---------------------------------------------------------------------比如：
分别用quad函数和quadl函数求积分的近似值，比较函数调用的次数.
先成立函数文件
functionf=fesin（x）f=exp（-0.5*x）.*sin（x+（pi/6））;formatlong
[I,n]=quadl（@fesin,0,3*pi,1e-10）
I=
n=
198
[I,n]=quad（@fesin,0,3*pi,1e-10）
I=
n=
365---------------------------------------------------------------------能够发现quadl函数调用原函数的次数比quad少，而且比quad函数求得的数值解更精准.
高斯-克朗罗德法
Matlab供给了自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来
求震荡函数的定积分，函数的调用格式为：
[I,err]=quadgk（@fname,a,b）
Err返回近似偏差范围，其余参数的意义与quad函数同样，积分上下限能够是-Inf或Inf，也能够是复数，若为复数则在复平面上求积分.---------------------------------------------------------------------
比如：
求积分的数值.
先编写被积函数的m文件
functionf=fsx（x）f=x.*sin（x）./（1+cos（x）.^2）;再调用quadgk函数I=quadgk（@fsx,0,pi）I=---------------------------------------------------------------------比如：
求积分的值.先编写被积函数的m文件functionf=fsx（x）f=x.*sin（x）./（1+cos（x）.^2）;再调用quadgk函数I=quadgk（@fsx,-Inf,Inf）
I=-9.0671e+017---------------------------------------------------------------------梯形分法
于一些不知道函数关系的函数，只有得的一
本点和本，由表格定的函数关系求定分
用梯形分法，其函数是trapz函数，用格式：
I=Traps（X,Y）
X,Y
等的两向量，着函数关系
Y=f（X）
X=（x
1,x
2,
⋯,x
n）（x
12<⋯n）,Y=（y
1,y
2,
⋯,y
n）
，
分区是
[x
1,x
n]
---------------------------------------------------------------------
比如：
已知某次物理得以下表所示的两本点.
x1.
1.
2.
3.
11.
13.
38
56
21
97
1
9
9
12
39
y3.
3.
5.
8.
11.
17.
24.
29,
32.
35
96
12
98
46
63
41
83
21
已知量x和量y足必定的函数关系，但此关系
未知，y=f（x），求分的数.
X=[1.38,1.56,2.21,3.97,5.51,7.79,9.19,11
.12,13.39];
29.83,32.21];
I=trapz（X,Y）
I=
---------------------------------------------------------------------
比如：
用梯形积分法求积分：
的数值.
x=1:
0.01:
2.5;
y=exp（-x）;
I=trapz（x,y）
I=
---------------------------------------------------------------------
2.
多重数值积分的实现
重积分的积分函数一般是二元函数
f（x,y,z）；形如：
f（x,y）
或三元函数
Matlab中有dblquad函数和triplequad函数来对上述
两个积分实现.调用格式为：
I=dblquad（@fun,a,b,c,d,tol）
I=triplequad（@fun,a,b,c,d,e,f,tol）
Fun
为被积函数，
[a,b]
为
x
的积分区间；
[c,d]
为
y
的积
分区间；
[e,f]
为
z
的积分区间
.
Dblquad
函数和
triplequad
函数不一样意返回调用的次数，
假如需要知道函数调用的次数，则在定义被积函数的
m文件
中增添一个计数变量，统计出被积函数被调用的次数.---------------------------------------------------------------------比如:
计算二重积分
的值.
先编写函数文件functionf=fxy（x,y）globalk;k=k+1;f=sqrt（x.^2+y.^2）;再调用函数dblquadglobalk;k=0;I=dblquad（@fxy,-pi/2,pi/2,-pi/2,pi/2,1.0e-10）I=kk=37656---------------------------------------------------------------------比如：
求三重积分的值.编写函数文件functionf=fxyz1（x,y,z）
globalj;j=j+1;f=4*x.*z.*exp（-z.*z.*y-x.*x）;调用triplequad函数editglobalj;j=0;I=triplequad（@fxyz1,0,pi,0,pi,0,1,1.0e-10）I=jj=1340978---------------------------------------------------------------------Matlab数值微分
数值微分与差商
导数的三种极限制义
上述公式中假定h>0，引进记号：
称上述、、为函数在x点处以h（h>0）为
步长的向前差分、向后差分、中心差分，当步长h足够小
时，有：
、、也分被称函数在x点以h（h>0）
步的向前差商、向后差商、中心差商.当h足小，函
数f（x）在x点的数靠近于在点的随意一种差商，微分靠近于在点的随意一种差分.
函数数的求法
用多式或条函数g（x）函数f（x）行迫近（插
或合），而后用迫近函数g（x）在点x的数作
f（x）在点的数.
用f（x）在点x的差商作其数.
数微分的方法
Matlab中，只有算向前差分的函数diff，其用格式
：
DX=diff（X）:
算向量X的向前差分，DX=diff（X,n）:
算向量X的n向前差分，比如
diff（X,2）=diff（diff（X））
DX=diff（A,n,dim）:
算矩A的n向前差分，
dim=1（默）按列算差分，dim=2按行算差分.
---------------------------------------------------------------------比如：
生成6阶范德蒙德矩阵，而后分别按行、按列计算
二阶向前差分A=vander（1:
6）A=111111321684212438127931D2A1=diff（A,2,1）D2A1=180501220057011018200255030230200D2A2=diff（A,2,2）D2A2=000084211083612457614436920004008016540090015025---------------------------------------------------------------------
比如：
设求函数f（x）的数值导数，并在同一坐标系中作出f’（x）
的图像.
已知函数f（x）的导函数以下：
编写函数文件和
functionf=fun7（x）
f=sqrt（x.^3+2*x.^2-x+12）+（x+5）.^（1/6）+5*x+2;functionf=fun8（x）f=（3*x.^2+4*x-1）/2./sqrt（x.^3+2*x.^2-x+12）+1/6./（x+5）.^（5/6）+5;x=-3:
0.01:
3;p=polyfit（x,fun7（x）,5）;用5次多项式拟合曲线dp=polyder（p）;对拟合多项式进行求导dpx=polyval（dp,x）;对dp在假定点的求函数值dx=diff（fun7（[x,3.01]））/0.01;直接对dx求数值导数gx=fun8（x）;求函数f的函数在假定点的导数plot（x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'）能够发现，最后获得的三条曲线基本重合.---------------------------------------------------------------------练习：
用高斯-克朗罗德法求积分的值并议论计算方法的精准度.（该积分值为π）functionf=fun9（x）f=1./（1+x.^2）;formatlong[I,err]=quadgk（@fun9,-Inf,Inf）I=err=
设函数用不一样的方法求该函数的数值导数，并在同一坐标系中作出
的图像.
已知
functionf=fun10（x）
f=sin（x）./（x+cos（2*x））;functionf=fun11（x）f=（x.*cos（x）+cos（x）.*cos（2*x）-sin（x）-2*sin（x）.*sin（2*x））/（x+cos（2*x））.^2;x=-3:
0.01:
3;p=polyfit（x,fun10（x）,5）;dp=polyder（p）;dpx=polyval（dp,x）;dx=diff（fun10（[x,3.01]））/0.01;gx=fun11（x）;plot（x,dpx,'r:
',x,dx,'.g',x,gx,'-k'）
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