中考代数综合第7讲以增减性为主导的综合问题.docx

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中考代数综合第7讲以增减性为主导的综合问题

2020年中考代数综合

第7讲：

以“增减性”为主导的综合问题

【案例赏析】

1.在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．

（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；

（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；

（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y

≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．

2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2的顶点C，过点B（0，t）作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E（x1，y1），点F（x2，y2）（x1＜x2）．

（1）求抛物线顶点C的坐标；

（2）当点C到直线l的距离为2时，求线段EF的长；

（3）若存在实数m，使得x1≥m﹣1且x2≤m+5成立，直接写出t的取值范围．

3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），与x轴交于A、B两点（点

A在点B的左侧）．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．

①在a＞0的条件下，当﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，求抛物线的表达式；

②若D点坐标（4，0），当PD＞AD时，求a的取值范围．

【专题突破】

4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x＝2．

（1）求b的值；

（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．

①当x2﹣x1＝3时，结合函数图象，求出m的值；

②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．

5.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q

（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．

（1）若a＝1，

①当m＝b时，求x1，x2的值；

②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；

（2）若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2≥c+7成立，求m的取值范围．

6.已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）

（1）该二次函数图象的对称轴是直线．

（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点

为N，点M的纵坐标为

，求点M和点N的坐标；

（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．

7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．

（1）当h＝﹣1时，求点D的坐标；

（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）

【参考答案】

1.在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．

（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；

（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；

（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y

≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．

【分析】

（1）利用x＝﹣

来求得a和b的关系，再将其代入原解析式；

（2）分a＞0和a＜0两种情况来讨论，结合图象作出判断；

（3）先求出抛物线的解析式，再求出y＝6时的x值，然后分最小值是顶点纵坐标和不是顶点纵坐标两种情况来讨论．

【解答】解：

（1）∵﹣

＝1，

∴b＝﹣2a．

∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+a﹣2，当x＝1时，y＝a﹣2a+a﹣2＝﹣2，

∴抛物线的顶点坐标为：

（1，﹣2）．

答：

b＝﹣2a；抛物线的顶点坐标为：

（1，﹣2）．

（2）若a＞0，抛物线与线段AB没有公共点；

若a＜0，当抛物线经过点B（2，﹣3）时，它与线段Ab恰有一个公共点，此时﹣3＝4a﹣4a+a﹣2，解得a＝﹣1．

∵抛物线与线段AB没有公共点，

∴结合函数图象可知，﹣1＜a＜0或a＞0．

（3）抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），代入y＝ax2﹣2ax+a﹣2得

0＝9a﹣6a+a﹣2，

∴a＝

，

∴抛物线为y＝

x2﹣x﹣

，

∵当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，

令y＝6得：

6═

x2﹣x﹣

，解得x＝﹣3（舍）或x＝5

∴由自变量的最小值为m与函数值的最小值也为m，由得

x2﹣4x﹣3＝0，

∴x＝2+

或x＝2﹣

＞﹣2，此时顶点（1，﹣2）包含在范围内，不符合要求，故舍去；

故满足条件的m，n的值为：

m＝2+，n＝5；或m＝﹣2，n＝5．

【点评】本题属于二次函数压轴题，综合性较强，需要数形结合来分析，并准确利用二次函数的性质来解题．

2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2的顶点C，过点B（0，t）作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E（x1，y1），点F（x2，y2）（x1＜x2）．

（1）求抛物线顶点C的坐标；

（2）当点C到直线l的距离为2时，求线段EF的长；

（3）若存在实数m，使得x1≥m﹣1且x2≤m+5成立，直接写出t的取值范围．

【分析】

（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，进而可得出顶点C

的坐标；

（2）由抛物线的开口方向及点C到直线l的距离为2，可得出直线l的解析式为直线y

＝4，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，进而可得出线段EF

的长；

（3）代入y＝t可求出点E，F的坐标，进而可得出线段EF的长，结合存在实数m，使得x1≥m﹣1且x2≤m+5成立，可得出关于t的不等式组，解之即可得出t的取值范围．

【解答】解：

（1）∵y＝x2﹣2ax+a2+2＝（x﹣a）2+2，

∴抛物线顶点C的坐标为（a，2）．

（2）∵1＞0，

∴抛物线开口向上，

又∵点C（a，2）到直线l的距离为2，直线l垂直于y轴，且与抛物线有交点，

∴直线l的解析式为y＝4．

当y＝4时，x2﹣2ax+a2+2＝4，解得：

x1＝a﹣，x2＝a+，

∴点E的坐标为（a﹣

，4），点F的坐标为（a+

，4），

∴EF＝a+

﹣（a﹣

）＝2

．

（3）当y＝t时，x2﹣2ax+a2+2＝t，解得：

x1＝a﹣

，x2＝a+

，

∴EF＝2

．

又∵存在实数m，使得x1≥m﹣1且x2≤m+5成立，

∴，

解得：

2＜t≤11．

【点评】本题考查了二次函数的三种性质、二次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及解不等式组，解题的关键是：

（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点E，F的坐标；（3）由线段EF长度的范围，找出关于t的不等式组．

3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），与x轴交于A、B两点（点

A在点B的左侧）．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．

①在a＞0的条件下，当﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，求抛物线的表达式；

②若D点坐标（4，0），当PD＞AD时，求a的取值范围．

【分析】

（1）解方程ax2﹣2xa﹣3a＝0即可得到A点和B点坐标；

（2）①由于抛物线的对称轴为直线x＝1，而﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，则n＝﹣4为二次函数的最小值，从而得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），然后把顶点坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3a中求出a即可得到抛物线解析式；

②利用D点坐标（4，0），PD⊥x轴得到点P的横坐标为4，从而得到P（4，5a），然后

利用PD＞AD得到|5a|＞5，从而解不等式得到a的范围．

【解答】解：

（1）把y＝0代入二次函数得：

a（x2﹣2x﹣3）＝0即a（x﹣3）（x+1）＝0，

∴x1＝3，x2＝﹣1，

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）①抛物线的对称轴为直线x＝1，

∵﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，

∴n＝﹣4为二次函数的最小值，m＝﹣2时，n＝5，

∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）

把（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得a﹣2a﹣3a＝﹣4，解得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

②∵D点坐标（4，0），PD⊥x轴，

∴点P的横坐标为4，

当x＝4时，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝5a，

∵D点坐标为（4，0），A点坐标为（﹣1，0）

∴AD＝5

∵PD＞AD

∴|5a|＞5，

∴a＞1或a＜﹣1．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：

对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：

抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：

△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x＝2．

（1）求b的值；

（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．

①当x2﹣x1＝3时，结合函数图象，求出m的值；

②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．

【分析】

（1）根据对称轴x＝﹣

，求出b的值；

（2）①先根据x2﹣x1＝3及对称轴方程，确定A、B中一个点的坐标，代入解析式求出

m的值．

②根据图象和x、y的取值范围，可求出m的值．

【解答】解：

（1）∵抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x＝2，

∴﹣

＝2，即﹣

＝2

∴b＝2．

（2）①∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3．

∵A（x1，y），B（x2，y），

∴直线AB平行x轴．

∵x2﹣x1＝3，

∴AB＝3．

∵对称轴为x＝2，

∴A（

，m）．

∴当

时，m＝﹣（

）2+4×

﹣3＝﹣

．

②当y＝m＝﹣4时，0≤x≤5时，﹣4≤y≤1；当y＝m＝﹣2时，0≤x≤5时，﹣2≤y≤4；

∴m的取值范围为﹣4≤m≤﹣2．

【点评】本题考查了二次函数的性质，图形的翻折变化等知识，解决本题的关键是l理解题意，充分的利用数形结合的思想．

5.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q

（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．

（1）若a＝1，

①当m＝b时，求x1，x2的值；

②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；

（2）若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2≥c+7成立，求m的取值范围．

【分析】由抛物线顶点在x轴上，即可得出b＝a2．

（1）当a＝1时，b＝1，由此可得出抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．①由m＝b＝1，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x1、x2的值；②设平移后的抛物线为y＝（x

﹣1）2+k，由平移后的抛物线与x轴的两个交点的距离为4，可得出（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点，将其代入y＝（x﹣1）2+k即可求出结论；

（2）解x2﹣2ax+a2＝m可得出PQ＝2

，由x1、x2的范围可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围．

【解答】解：

∵抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，

∴

，

∴b＝a2．

（1）∵a＝1，

∴b＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．

①∵m＝b＝1，

∴x2﹣2x+1＝1，

解得：

x1＝0，x2＝2．

②设平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2+k．

∵抛物线的对称轴是x＝1，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，

∴（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点，

∴（3﹣1）2+k＝0，即k＝﹣4，

∴变化过程是：

将原抛物线向下平移4个单位．

（2）∵x2﹣2ax+a2＝m，

解得：

x1＝a﹣

，x2＝a+

，

∴PQ＝2

．

又∵x1≤c﹣1，x2≥c+7，

∴2

≥（c+7）﹣（c﹣1）＝8，

∴m≥16．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是：

（1）①通过解一元二次方程求出x1、x2的值；②利用二次函数图象上点的坐标特征求出k值；

（2）通过解方程求出PQ＝2

．

6.已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）

（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝1．

（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点

为N，点M的纵坐标为

，求点M和点N的坐标；

（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．

【分析】

（1）利用对称轴公式计算即可；

（2）构建方程求出a的值即可解决问题；

（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得t的取值范围．

【解答】解：

（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0），

∴该二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣

＝1，故答案为：

x＝1；

（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，﹣1≤x≤5，

∴当x＝5时，y取得最大值，即M（5，

），

∴

，得a＝

，

∴该二次函数的表达式为y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣a﹣2＝

（x﹣1）2﹣

，即点N的坐标为（1，

）．

（3）当a＞0时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，

∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，

∴t≥3或t+1≤1﹣（3﹣1），解得，t≥3或t≤﹣2；

当a＜0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，

∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，

∴，

∴﹣1≤t≤2．

【点评】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．

（1）当h＝﹣1时，求点D的坐标；

（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）

【分析】

（1）把h＝﹣1代入y＝x2﹣2hx+h，化为顶点式，即可求出点D的坐标；

（2）先根据二次函数的性质得出x＝h时，函数有最小值h﹣h2．再分h≤﹣1，﹣1＜h

＜1，h≥1三种情况求解即可．

【解答】解：

（1）当h＝﹣1时，y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，则顶点D的坐标为（﹣1，﹣2）；

（2）∵y＝x2﹣2hx+h＝（x﹣h）2+h﹣h2，

∴x＝h时，函数有最小值h﹣h2．

①如果h≤﹣1，那么x＝﹣1时，函数有最小值，此时m＝（﹣1）2﹣2h×（﹣1）+h＝

1+3h；

②如果﹣1＜h＜1，那么x＝h时，函数有最小值，此时m＝h﹣h2；

③如果h≥1，那么x＝1时，函数有最小值，此时m＝12﹣2h×1+h＝1﹣h．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法．进行分类讨论是解题的关键．