中考九年级证明圆的切线例题方法解析.docx

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中考九年级证明圆的切线例题方法解析

切线证明法

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：

EF与⊙O相切.

证明：

连结OE，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=BC，

∴∠3=∠4.

∴BD=DE，∠1=∠2.

又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=900.

∴EF与⊙O相切.

说明：

此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：

PA与⊙O相切.

证明一：

作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：

延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：

此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.

例3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：

DM与⊙O相切.

证明一：

连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD，

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.

∴OD∥AC.

D

∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD.

∴DM与⊙O相切

证明二：

连结OD，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=AC,

∴∠1=∠2.

∵DM⊥AC，

∴∠2+∠4=900

C

∵OA=OD，

∴∠1=∠3.

∴∠3+∠4=900.

即OD⊥DM.

∴DM是⊙O的切线

说明：

证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

例4如图，已知：

AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.

求证：

DC是⊙O的切线

证明：

连结OC、BC.

∵OA=OC，

∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600.

又∵OC=OB，

∴△OBC是等边三角形.

∴OB=BC.

∵OB=BD，

∴OB=BC=BD.

∴OC⊥CD.

∴DC是⊙O的切线.

说明：

此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.

例5如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.

求证：

PC是⊙O的切线.

证明：

连结OC

∵OA2=OD·OP，OA=OC，

∴OC2=OD·OP，

.

又∵∠1=∠1，

∴△OCP∽△ODC.

∴∠OCP=∠ODC.

∵CD⊥AB，

∴∠OCP=900.

∴PC是⊙O的切线.

说明：

此题是通过证三角形相似证明垂直的

例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：

CE与△CFG的外接圆相切.

分析：

此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：

取FG中点O，连结OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）

∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900.

即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：

“作垂直；证半径”

例7如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：

AC与⊙D相切.

证明一：

连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB.

∵DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=900.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DF=DE.

∴F在⊙D上.

∴AC是⊙D的切线

证明二：

连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切，

∴DE⊥AB.

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠1=∠2.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF.

∴F在⊙D上.

∴AC与⊙D相切.

说明：

证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.

例8已知：

如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.

求证：

CD是⊙O的切线.

证明一：

连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.

∵AC，BD与⊙O相切，

∴AC⊥OA，BD⊥OB.

∵AC∥BD，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.

∵∠COD=900，

∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.

∵∠4+∠5=900.

∴∠1=∠5.

∴Rt△AOC∽Rt△BDO.

∴

.

∵OA=OB，

∴

.

又∵∠CAO=∠COD=900，

∴△AOC∽△ODC，

∴∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD,

∴OE=OA.

∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线.

证明二：

连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.

∵AC，BD与⊙O相切，

∴AC⊥OA，BD⊥OB.

∵AC∥BD，

∴∠F=∠BDO.

又∵OA=OB，

∴△AOF≌△BOD（AAS）

∴OF=OD.

∵∠COD=900，

∴CF=CD，∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD，

∴OE=OA.

∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线.

证明三：

连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.

∵AC与⊙O相切，

∴AC⊥AO.

∵AC∥BD，

∴AO⊥BD.

∵BD与⊙O相切于B，

∴AO的延长线必经过点B.

∴AB是⊙O的直径.

∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，

∴OF∥AC，

∴∠1=∠COF.

∵∠COD=900，CF=DF，

∴

.

∴∠2=∠COF.

∴∠1=∠2.

∵OA⊥AC，OE⊥CD，

∴OE=OA.

∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线

说明：

证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.

此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.

以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.

切线的性质定理:

圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１:

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

切线的性质定理的推论２:

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线的判定定理:

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线长定理:

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：

DC是⊙O的切线．

思路：

要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．

证明：

连接OC，BC．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．

∵∠CAB＝30º，∴BC＝

AB＝OB．

∵BD＝OB，∴BC＝

OD．∴∠OCD＝90º．

∴DC是⊙O的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：

CD是⊙O的切线．

思路：

本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．

证明：

连接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，

∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．

∴DC是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：

AC平分∠DAB．

思路：

利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．

证明：

连接OC．

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．

∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．

∴AC平分∠DAB．

【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．

　　【例4】　如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？

为什么？

　　解：

AC是⊙O的切线．

　　理由：

连接OC，

　　∵OC=OB，

　　∴∠OCB=∠B．

　　∵∠COD是△BOC的外角，

　　∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．

　　∵∠ACD=2∠B，

　　∴∠ACD=∠COD．

　　∵CD⊥AB于D，

　　∴∠DCO+∠COD=90°．

　　∴∠DCO+∠ACD=90°．

　　即OC⊥AC．

　　∵C为⊙O上的点，

∴AC是⊙O的切线．

【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：

DE是⊙O的切线．

　　证明：

连接OC，则OA=OC，

　∴∠CAO=∠ACO，

　　∵AC平分∠EAB，

　　∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，

　　∴AE∥CO，

　　又AE⊥DE，

　　∴CO⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径

　　【例6】　如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

　　证明:

连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．

　　∵AB=AC,OB=OC．

∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO

∵⊙O与AB相切于点D，

∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO

　　∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．

　　∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．

　　∴⊙O与AC边相切．

【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：

EF与⊙O相切.

证明：

连结OE，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=BC，

∴∠3=∠4.

∴BD=DE，∠1=∠2.

又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=900.

∴EF与⊙O相切.

说明：

此题是通过证明三角形全等证明垂直的

【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：

PA与⊙O相切.

证明一：

作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：

延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：

此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：

DM与⊙O相切.

证明一：

连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD，

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.

∴OD∥AC.

D

∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD.

∴DM与⊙O相切

证明二：

连结OD，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=AC,

∴∠1=∠2.

∵DM⊥AC，

∴∠2+∠4=900

C

∵OA=OD，

∴∠1=∠3.

∴∠3+∠4=900.

即OD⊥DM.

∴DM是⊙O的切线

说明：

证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

【例10】如图，已知：

AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.

求证：

DC是⊙O的切线

证明：

连结OC、BC.

∵OA=OC，

∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600.

又∵OC=OB，

∴△OBC是等边三角形.

D

∴OB=BC.

∵OB=BD，

∴OB=BC=BD.

∴OC⊥CD.

∴DC是⊙O的切线.

说明：

此题解法颇多，但这种方法较好.

【例12】如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.

求证：

PC是⊙O的切线.

证明：

连结OC

∵OA2=OD·OP，OA=OC，

∴OC2=OD·OP，

.

又∵∠1=∠1，

∴△OCP∽△ODC.

∴∠OCP=∠ODC.

∵CD⊥AB，

∴∠OCP=900.

∴PC是⊙O的切线.

说明：

此题是通过证三角形相似证明垂直的

【例13】如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：

CE与△CFG的外接圆相切.

分析：

此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：

取FG中点O，连结OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）

∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900.

即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：

“作垂直；证半径”

【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：

AC与⊙D相切.

证明一：

连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB.

∵DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=900.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DF=DE.

∴F在⊙D上.

∴AC是⊙D的切线

证明二：

连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切，

∴DE⊥AB.

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠1=∠2.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF.

∴F在⊙D上.

∴AC与⊙D相切.

说明：

证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.

【例15】已知：

如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.

求证：

CD是⊙O的切线.

证明：

连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.

∵AC，BD与⊙O相切，

∴AC⊥OA，BD⊥OB.

∵AC∥BD，

∴∠F=∠BDO.

又∵OA=OB，

∴△AOF≌△BOD（AAS）

∴OF=OD.

∵∠COD=900，

∴CF=CD，∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD，

∴OE=OA.

∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线.