第十二章121122全等三角形三角形全等的判定.docx
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第十二章121122全等三角形三角形全等的判定
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等、对应角相等,全等三角形的周长相等、面积相等,全等三角形的对应边上的中线相等,对应角的平分线相等,对应边上的高相等。
【典例精析】
例题1如图,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为()
A.20°B.30°C.35°D.40°
思路导航:
要想求∠ACA′的度数,应先把它转化为三角形中的角,那就是∠ACB,由△ACB≌△A′CB′,可知∠ACB=∠A′CB′,两边同时减去∠BCA′,就得到了要求的角和已知角的关系了,进而可求得∠ACA′的度数。
答案:
根据全等三角形对应角相等的性质,由△ACB≌△
,得∠ACB=∠A′CB′,所以∠ACB-∠BCA′=∠A′CB′-∠BCA′,即∠ACA′=∠BCB′=30°。
所以应选B。
例题2(盐城)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠B=50°。
现将△ADE沿DE折叠,点A落在三角形所在平面内的点A1,则∠BDA1的度数为________。
答案:
80°。
由折叠可知△ADE≌△A1DE,根据三角形全等的性质得到∠ADE=∠A1DE。
已知DE∥BC,根据两直线平行,同位角相等推知∠ADE=∠B=50°,所以∠BDA1=180°-2∠B=80°。
例题3如图所示,已知△ABE≌△CDF,求证:
AB∥CD,AE∥CF。
答案:
证明:
∵△ABE≌△CDF,∴∠ABE=∠CDF,∠AEB=∠CFD(全等三角形的对应角相等),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
而∠AED=180°-∠AEB,∠CFB=180°-∠CFD,∴∠AED=∠CFB(等角的补角相等),则AE∥CF。
微课程2:
全等三角形的判定方法
【考点精讲】
1.一般三角形全等的判定
(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(SSS);
(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(SAS);
(3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(ASA);
(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(AAS)。
2.直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)
3.证明三角形全等的思路
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角找任意一边
注:
1.判定三角形全等必须有一组对应边相等;
2.判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定。
【典例精析】
例题1如图所示,
,
,
,结论:
①
;②
;③
;④
。
其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
思路导航:
因为
,
,所以∠EAB=∠FAC,又因为
,所以△AEB≌△AFC,所以AC=AB。
在△ACN和△ABM中,因为
,AB=AC,∠CAB=∠CAB,所以△ACN≌△ABM,④正确;因为∠EAB=∠FAC,所以∠EAB-∠CAB=∠FAC-∠CAB,即∠EAM=∠FAN,③正确;在△EAM和△FAN中,∠EAM=∠FAN,
,
,所以△EAM≌△FAN,所以
,①正确;由已知条件不能判断出
,故正确的个数是3个。
答案:
C
例题2如图,一个含45°角的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由。
答案:
AE=EF。
∵△HBE是一含45°角的直角三形,
∴∠H=∠HEB=45°,HB=EB,
又∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=∠DCB=∠DCE=90°,AB=CB。
∴HB-AB=EB—CB,即HA=CE。
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°=∠B,
∵∠HAE=∠B+∠AEB,∠CEF=∠AEF+∠AEB,
∴∠HAE=∠CEF,
又∵CF平分∠DCE
∴∠ECF=
∠DCE=45°=∠H,
∴△HAE≌△CEF(ASA)。
∴AE=EF。
例题3如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB。
(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;
(2)求证:
CF=EF。
答案:
(1)△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF。
(2)证法一:
如图,连接CE。
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE。
∴∠ACE=∠AEC。
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴∠ACB=∠AED。
∴∠ACE-∠ACB=∠AEC-∠AED。
即∠BCE=∠DEC。
∴CF=EF。
证法二:
如图。
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB,即∠CAD=∠EAB。
∴△ACD≌△AEB。
∴CD=EB,∠ADC=∠ABE。
又∵∠ADE=∠ABC,
∴∠CDF=∠EBF。
又∵∠DFC=∠BFE,
∴△CDF≌△EBF。
∴CF=EF。
证法三:
如图,连接AF。
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AB=AD,BC=DE,∠ABC=∠ADE=90°。
又∵AF=AF,
∴Rt△ABF≌Rt△ADF。
∴BF=DF。
又∵BC=DE,
∴BC-BF=DE-DF。
即CF=EF。
(答题时间:
60分钟)
全等三角形的有关概念
一、选择题
1.已知△ABC≌△DEF,∠A=50°,∠B=75°,则∠F的大小为()
A.50°B.55°C.65°D.75°
*2.如图,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是()
A.5B.4C.3D.2
**3.如图所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF。
如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为( )
A.24cm²B.25cm²C.26cm²D.27cm²
二、填空题
*4.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于________。
*5.如图,D是AB边上的中点,将△ABC沿过点D的直线折叠,使点A落在BC边上的F处,若∠B=50°,则∠BDF=________。
*6.如图,D在AB上,AC,DF交于E,AB∥FC,DE=EF,AB=15,CF=8,则BD=。
三、解答题
7.如图,已知:
点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF。
能否由上面的已知条件证明AB∥ED?
如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使AB∥ED成立,并给出证明。
供选择的三个条件(请从其中选择一个):
①AB=ED;
②BC=EF;
③∠ACB=∠DFE。
*8.支撑高压电线的铁塔如图,其中AM=AN,∠DAB=∠EAC,AB=AC,问AD与AE能相等吗?
为什么?
全等三角形的判定方法
一、选择题
1.如图,在△ABC和△DCB中,若∠ACB=∠DBC,则不能证明两个三角形全等的条件是()
A.∠ABC=∠DCBB.∠A=∠D
C.AB=DCD.AC=DB
2.如图,AB=AD,BC=DC,则图中全等三角形共有()
A.2对B.3对C.4对D.5对
二、填空题
*3.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是三角形全等,则判定三角形全等的依据是________________。
*4.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:
①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使△ABC≌△AED的条件有()个。
**5.如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE=___________度。
三、解答题
6.如图所示,AB=AD,BC=CD,AC,BD交于E,由这些条件你能推出哪些结论(不再添加辅助线,不再标注其他字母,不写推理过程,只要求你写出四个你认为正确的结论)。
**7.一个风筝如图,两翼AB=AC,横骨BE⊥AC于E,CF⊥AB于F。
问其中骨AD能平分∠BAC吗?
为什么?
**8.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
那么在什么情况下,它们会全等?
(1)阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等(证明略)。
对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:
已知:
△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1Cl,∠C=∠Cl。
求证:
△ABC≌△A1B1C1。
(请你将下列证明过程补充完整。
)
证明:
分别过点B,B1作BD⊥CA于D,
B1D1⊥C1A1于D1。
则∠BDC=∠B1D1C1=90°,
∵BC=B1C1,∠C=∠C1,
∴△BCD≌△B1C1D1,
∴BD=B1D1。
(2)归纳与叙述:
由
(1)可得到一个正确结论,请你写出这个结论。
**9.两个大小不同的等腰直角三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC,
(1)请找出图②中的全等三角形,并给予说明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)试说明:
DC⊥BE。
全等三角形的有关概念
1.B解析:
∠F与∠C是全等三角形的对应角,所以∠F=∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-75°=55°。
2.A解析:
由△ABC≌△DEF,可得AB=DE,则DE=AB=BE+AE=5。
3.C解析:
三角形ABC和三角形DEF全等,它们的面积相等,三角形HEC是两三角形重合的部分,两个三角形都减去重合的部分,剩下的部分是相等的,也就是HDFC与ABEH面积是相等的。
那么只要求出ABHE的面积就可知阴影部分的面积了,即:
(5+8)×4/2=26。
4.60°解析:
因为OA=OB,OD=OC,∠O=∠O,所以△OAD≌△OBC,得到∠C=∠D=35°。
由三角形的内外角关系可得,∠EAC=∠O+∠D=50°+35°=85°,所以∠AEC=180°-∠EAC-∠C=60°
5.80°解析:
由折叠得△ADE≌△FDE,所以AD=DF,又AD=BD,∴BD=DF,又∠B=50°,∴∠BDF=180°-50°×2=80°。
6.7解析:
由题易得△ADE≌△CEF,所以BD=AB-AD=AB-CF=15-8=7
7.解:
由上面两条件不能证明AB//ED。
有两种添加方法。
第一种:
FB=CE,AC=DF添加①AB=ED
证明:
因为FB=CE,所以BC=EF,又AC=DF,AB=ED,所以△ABC≌△DEF
所以∠ABC=∠DEF所以AB//ED
第二种:
FB=CE,AC=DF添加③∠ACB=∠DFE
证明:
因为FB=CE,所以BC=EF,又∠ACB=∠DFEAC=EF,所以△ABC≌△DEF
所以∠ABC=∠DEF所以AB//ED
8.AD=AE解:
∵AM=AN∠MAC=∠NABAB=AC∴△MAC≌△NAB(SAS)∴∠C=∠B
∵∠DAB=∠EAC∴∠DAB+∠BAC=∠EAC=∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵∠C=∠B,AB=AC
△DAC≌△EAB(ASA)∴AD=AE
全等三角形的判定方法
1.C解析:
SSA不能判定三角形全等。
2.B解析:
△ADE≌△ABE,△ADC≌△ABC,△DEC≌△BEC
3.SSS解析:
由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,依据SSS可判定△COD≌△C'O'D',则∠COD≌∠C'O'D',即∠A'O'B'=∠AOB(全等三角形的对应角相等)。
4.3解析:
增加①AB=AE,则△ABC≌△AED(SAS);增加③∠C=∠D,则△ABC≌△AED(ASA);增加④∠B=∠E,则△ABC≌△AED(AAS)。
5.90解析:
∵∠CAB=∠EDF=90°,∴△ABC与△DEF为直角三角形,又∵EF=BC,AC=DF,△ABC≌△DEF,∴∠ABC+∠DFE=∠ABC+∠ACB=90°
6.
(1)△ADC≌△ABC;
(2)AC平分∠DCB;(3)AC平分∠DAB;(4)DE=EB;(5)DB⊥AC;
7.AD能平分∠BAC;解:
由∠1=∠2,得∠B=∠C,又AB=AC,故△ABE≌△ACF,从而AE=AF,又AD=AD,故Rt△ADF≌Rt△ADE,得∠FAD=∠EAD
8.
(1)证明:
分别过点B,B1作BD⊥CA于D
B1D1⊥C1A1于D1
则∠BDC=∠B1D1C1=90°
∵BC=B1C1,∠C=∠C1
∴△BCD≌△B1C1D1
∴BD=B1D1又∵AB=A1B1∠BDC=∠B1D1C1=90°∴△ABD≌△A1B1D1∴∠A=∠A1又∵AB=A1B1,∠C=∠C1∴△ABC≌△A1B1C1
(2)归纳与叙述:
由
(1)可得到一个正确结论,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个同类三角形(同为锐角、直角、钝角三角形)一定全等
9.△BAE≌△CAD解:
①∵△ABC,△DAE是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°
∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE,
在△BAE和△DAC中
AB=AC∠BAE=∠DACAE=AD
∴△BAE≌△CAD(SAS)
②由①得△BAE≌△CAD
∴∠DCA=∠B=45°
∵∠BCA=45°
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°
∴DC⊥BE