大工13秋《数字电路与系统》辅导资料汇总三.docx

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大工13秋《数字电路与系统》辅导资料汇总三

数字电路与系统辅导资料三

主题：

第三章逻辑代数基础（第1-2节）

学习时间：

2013年10月14日－10月20日

内容：

第三章逻辑代数基础

第一节逻辑代数运算法则

一、逻辑代数的基本定律

在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路。

在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义，这里的0和1只表示两个对立的逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。

【基本逻辑】

1.最基本的逻辑关系只有三种，即：

与或非

2.比如要办成一件事的条件：

每个人都完成才算完成---与

3.任一人完成即算完成------或

4.完成的反面是没完成------非

【基本逻辑关系】

（1）“与”逻辑：

A、B、C条件都具备时，事件F才发生。

（2）“或”逻辑：

A、B、C只有一个条件具备时，事件F就发生。

（3）“非”逻辑：

A条件具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。

（4）几种常用的逻辑关系“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示

组合起来的逻辑－－简单记忆

与逻辑：

逻辑乘P=A•B“有0则0”

或逻辑：

逻辑加P=A+B“有1则1”

非逻辑：

逻辑非P=/A“求反”

与非逻辑P=A•B“全高出低、一低出高”

或非逻辑P=A+B“全低出高、一高出低”

组合起来的逻辑－－简单记忆

与或非逻辑P=A•B+C•D

异或逻辑P=A⊕B=AB+AB“不同为1”

同或逻辑P=AB=AB+AB“相同为1”

总结逻辑函数的表达式

一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种示形式。

（1）与或表达式

（2）或与表达式

（3）与非-与非表达式

（4）或非-或非表达式

（5）与或非表达式

一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。

尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。

【例题3.1】已知函数Y的逻辑图如图所示，写出函数Y的逻辑表达式。

【基本规律】

A+0=AA+1=1

A·0=0·A=0A·1=A

A+A=1A+A=A

A·A=0A·A=A

A=A

二、逻辑代数的基本规则

【例题3.2】化简下式

吸收法

A.原始变量的吸收

A+AB=A

证明：

A+AB=A（1+B）=A•1=A

化简：

B.反变量的吸收

【例题3.3】化简下式

C.混合变量的吸收

【例题3.4】化简下式

D.反演定律

利用真值表证明

几种规则小节

【例题3.5】求下式的对偶和反函数

第二节逻辑函数的标准形式

A真值表：

将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。

设A、B、C为输入变量，F为输出变量。

B逻辑表达式

与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式

把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。

若表达式的乘积项中包含了所有输入变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项，上式中每一项都是最小项。

一、数逻辑函数的最小项及其性质

（1）最小项：

如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。

　　3个变量A、B、C可组成8个最小项：

（2）最小项的表示方法：

通常用符号mi来表示最小项。

下标i的确定：

把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。

3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：

【最小项的定义】

最小项是标准乘积项，设A，B，C，D…是n个逻辑变量，P是n个变量的一个乘积，如果在P中，每个变量都以原变量或者反变量的形式出项一次，且仅出现一次，则称P为这n个逻辑变量的一个最小项。

N个变量的最小项有个。

例如：

对A，B，C三变量而言，其最小项有：

最小项的编号；把使最小项的值为1的一组变量的取值作为编号，对上而言，即m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7

三变量最小项列表如下：

表3-1三变量函数的最小项及编号

【最小项性质】

每一个最小项与变量的一组取值相对应。

只有该组取值才能使其值为1，其余组下该最小项的值均为0。

变量相同的任意两个最小项的乘积为0。

全体最小项的和为1。

标准与或表达式

逻辑函数表达式为一组最小项之和的形式。

标准与或表达式是表明逻辑变量取何值时，该逻辑函数等于1。

【求逻辑函数标准与或式的方法】

从真值表求标准与或表达式：

找出使逻辑函数F为1的变量组合；

写出使F为1的变量取值对应的最小项；

将这些最小项相或。

【例题3.6】逻辑函数真值表如图，求其标准与或式。

逻辑函数的最小项表达式

任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式

对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式和A（B+C）＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。

如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。

将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。

【例题3.7】请指出下式的最小项

二、函数的最大项

同样地，对或-与式来说，其标准形式是最大项之积。

如：

F（A，B，C）=（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）最大项意指取值为1的机会最大。

如果一个逻辑函数有n个变量，则它有个最小项，也有个最大项。

例如：

F（A，B，C）有3个变量，有8个最小项，8个最大项

每个最大项、最小项由原反变量组合而成，不好写，也不好记，我们为它们编一个号码，最小项用小写m，最大项用大写M，再加一个下标，下标的取值规律是：

变量按顺序排好，原变量为1，反变量为0，取其2进制值

【最大项的定义】

最大项是标准或项，设A，B，C，D…是n个逻辑变量，M是n个变量的和，如果在M中，每个变量都以原变量或者反变量的形式出项一次，且仅出现一次，则称M为这n个逻辑变量的一个最大项。

N个变量的最大项有2N个。

例如：

对A，B，C三变量而言，其最大项有：

最大项的编号；把使最大项的值为0的一组变量的取值作为编号，对上而言，即

m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7

三变量最大项列表如下：

三变量最大项真值表如下：

【最大项的性质】

（1）、每一个最大项与变量的一组取值相对应。

只有该组取值才能使其值为0，其余组下该最大项的值均为1。

例如：

对应于0、1、0，此时M2=0

（2）、变量相同的任意两个最大项之和为1。

（3）、全体最大项的乘积为0

标准或与表达式

标准或与表达式：

每个或项都是最大项的或与表达式

求标准或与表达式的方法

从真值表：

（a）、找出真值表中F=0的行；

（b）、对F=0的行，写出对应的最大项；

（c）、所有最大项相与。

【例题3.8】求如图对应的标准或与式

最大项与最小项之间的关系

【例题3.9】求出下式的最大、最小项

Y（A,B,C）=AB+BC

解：

本周要求掌握的内容如下：

掌握逻辑代数的运算法则、基本规则以及采用公式；了解逻辑函数的标准形式。

习题：

一、选择题

1、有一逻辑变量Z的定义为“运算结果为0”，则Z=1表示_______。

A.结果等于0B.结果不等于0C.结果等于1D.结果无法确定

2、F=（A+/B）（A+/C）的对偶式是__________。

A./A•B+/A•CB.A/B+A/CC.（/A+B）•（/A+C）D.（/A+/B）•（/A+/C）

3、F（A,B,C）=A•B•C+/A•B•C+A•/B•C=_________。

A.∑m（0，2，4）B.∑m（3，5，7）C.∑m（1，3，5）D.∑m（4，5，7）

二、填空题

1、函数[（A/B+C）D+/E]F的对偶式是反演式是。

答：

[（A+/B）C+D]/E+F[（/A+B）/C+/D]E+/F