二次函数应用题归类.docx
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二次函数应用题归类
二次函数应用题归类
二次函数应用题归类
【基本思想】
一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。
1、方案设计最优问题:
费用最低?
利润最大?
储量最大?
等等。
2、面积最优化问题:
全面观察几何图形的结构特征,挖掘出相应的内在联系,列出包含函数,自变量在内的等式,转化为函数解析式,求最值问题。
二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。
1、建立图像模型:
自主建立平面直角坐标系,构造二次函数关系式解决实际问题。
2、方程模型和不等式模型:
根据实际问题中的数量关系,列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。
3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。
三、运动思想————图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。
四、分类讨论的思想————二次函数与其他知识的综合题时经常用到。
【最值的确定方法】
1.二次函数在没有范围条件下的最值:
二次函数的一般式
(
)化成顶点式
,如果自变量的取
值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).
2.二次函数在有范围条件下的最值:
如果自变量的取值范围是
,如果顶点在自变量的取值范围
内,则当
,
,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性
〖2012年中考第23题分类汇总分析〗
一、分段函数型
1.【2010四月调考】某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件.
(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围;
(2)设每月的销售利润为W,请直接写出与的函数关系式;
(3)每件商品的售价定位多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
二、与不等式结合型
2.【2009四月调考】某商场将进货价为30元的书包以40元售出,平均每月能售出600个。
调查表明:
这种书包的售价每上涨1元,其销售量就减少10个。
(1)请写出每月售出书包的利润y(元)与每个书包涨价x(元)间的函数关系式;
(2)设某月的利润为10000元,此利润是否为该月的最大利润,请说明理由;
(3)请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元?
3.某商品的进价为每件40元,售价为每件60元时,每个月可卖出100件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
(3)当售价的范围是是多少时,使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元?
三、前期投入,亏损、盈利型
4.【2011年四月】杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品,此外,生产每件该产品还需要成本60元。
按规定,该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件,该产品销售量
(万件)与产品售价
(元)之间的函数关系如图所示。
(1)求
与
之间的函数关系式,并写出
的取值范围;
(2)第一年公司是盈利还是亏损?
求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价;
(3)在
(2)的前提下,即在第一年盈利最大或者亏损最小时,第二年公司重新确定产品售价,能否使两年共盈利达1340万元,若能,求出第二年产品售价;若不能,请说明理由。
四、面积有关问题
5.【2010年中考】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成。
已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。
(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围;
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值;
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围。
五、二次函数与建模(2012高频型)
6.〖2012四月调考〗要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根2.25m的水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m.
(1)建立适当的平面直角坐标系.,使水管顶端的坐标为(0,2.25),水柱的最高点的坐标为
(1,3),求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式(不要求写取值范围);
(2)如图;在水池底面上有一些同心圆轨道,每条轨道上安装排水地漏,相邻轨道之间的宽度为0.3m,最内轨道的半径为rm,其上每0.3m的弧长上安装一个地漏,其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同,水柱落地处为最外轨道,其上不安装地漏,求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多?
六、细节变化、陷阱题
9.中百超市每天购进一种水产品300千克,其进货成本(含运输费)是每千克3元,根据超市规定,这种水产品只能当天销售,并且每千克的售价不能超过10元,一天内没有销售完的水产品只能按2元处理给食品深加工公司,而且这种水产品每天的损耗率是10%,根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y(单位:
千克,y≥0)与每千克的销售价x(元)之间的函数关系如下图所示:
(1)求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式;
(2)根据题中的分析:
每天销售利润w最多是多少元?
(3)请你直接回答:
当每千克销售价为多少元时,每天的销售利润不低于960元?
二次函数应用题练习
1.九·五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场,黄有商铺30间,据预测,当每间的年租金为10万元时,可全部租出;每间的年租金每增加5000元,少租出商铺一间,该公司要为租出的商铺每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。
(1)当租金为13万元时,能租出多少间商铺?
(2)当每间商铺的年租金定为多少时,该公司的年收益最大?
(3)若公司要求收益不低于275万元,则年租金定在什么范围?
2.一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系:
.设经销商每月获得利润为w(元)
(1),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
最大利润是多少元?
(2)如果经销商想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果经销商想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?
3.如图,足球场上守门员在处开出一高球,球从离地面1米的处飞出(在轴上),运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.
(2)足球第一次落地点距守门员多少米?
(取
)
(3)运动员乙要抢到第二个落点,他应再向前跑多少米?
(取
)
4.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式.
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q-收购总额)?
5.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润
与投资量
成正比例关系,如图12-①所示;种植花卉的利润
与投资量
成二次函数关系,如图12-②所示(注:
利润与投资量的单位:
万元)
(1)分别求出利润
与
关于投资量
的函数关系式;
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?
他能获取的最大利润是多少?
6.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示),求抛物线的解析式;
(2)求支柱
的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?
请说明你的理由.
7.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积。
8.用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,CD长表示窗框的宽,EF=0.5米.(铝合金条的宽度忽略不计)
(1)求窗框的透光面积S(平方米)与窗框的宽x(米)之间的函数关系式;
(2)如何设计才能使窗框的透光面积最大?
最大面积是多少?
(3)当窗框的面积不小于10平方米时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.