概率论与数理统计大纲.docx
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概率论与数理统计大纲
14.《概率论与数理统计》课程教学大纲
（地理科学周学时2）
课程编号：
472003
学时：
32学分/周学时：
2/2
适用对象：
地理科学专业（师范方向）
课程类型：
学科基础课（必修）
考核要求：
考试
使用教材及主要参考书：
1．盛骤，谢式千，潘承毅编，《概率论与数理统计》（第四版），高等教育出版社，2008；
2．茆诗松等编，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，2004.
一、课程性质和任务
概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的应用数学学科，是理工科本科各专业的一门重要基础理论课。
对于地理科学专业的学生，通过本课程的学习，学生应系统掌握概率论的基本原理，透过现代数学的观点和内容，以开阔学生的眼界，启迪他们的思维。
特别使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。
还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
二、课程的教学目的和要求
培养学生对随机现象的理解及概率的直觉，注重数学观念和概念的理解；提高学生的数学修养及严密的思维能力；通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法。
从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
并能初步结合自身专业，用概率统计的方法解决一些实际的问题。
三、教学时数及课时分配
地理科学专业的学生应具有宽厚的基础理论、专业知识和与技术，同时还需要具备良好的数学和物理的基础。
概率论与数理统计作为数学的一个重要分支，在课程设置中作为专业基础课程。
本门课程开设在第三学期，周学时为2，在多维随机变量部分应减少部分课时，特别对于多维连续型随机变量，条件分布等内容应简单介绍即可；在第四章随机变量的数字特征中只需要重点学习期望、方差及协方差即可。
具体学时分配如下：
表1学时分配表
章节
课程内 容
学 时
1
概率论的基本概念
8
2
随机变量及其分布
8
3
多维随机变量及其分布
4
4
随机变量的数字特征
4
5
大数定律及中心极限定理
2
6
样本及抽样分布
4
7
参数估计
2
8
假设检验
选学
9
方差分析及回归分析
选学
10
Bootstrap方法
选学
11
在数理统计中应用Excel软件
选学
12
随机过程及其统计描述
选学
13
马尔科夫链
选学
14
平稳随机过程
选学
合计学时
32
四、教学中应注意的问题
1、本课程与《高等数学》、《线性代数》有着密切的关系，它是一门理论性很强的课，只有学好了《高等数学》和《线性代数》才能更好地学习《概率论与数理统计》，因此学生应该首先学习《高等数学》和《线性代数》；
2、概率论部分应使学生掌握随机现象的统计规律的一些具体模型的建立方法及其性质的推导方法。
并会利用这些模型分析解决一些实际问题，为学习数理统计部分奠定理论基础。
数理统计是以概率论的内容为基础，应着重讲授数理统计理论及其实际建模方法，为开展数学实验与数学建模奠定所需理论与方法基础。
3、本课程对于地理科学专业的教学中应注意与专业的联系。
4、对于第8章至第14章节的内容，可以适当介绍，但不设置课时。
五、教学内容
第一章概率论的基本概念
1．基本内容:
1）、随机试验
2）、样本空间、随机事件
3）、频率与概率
4）、等可能概型（古典概型、几何概型）
5）、条件概率
6）、独立性
2.教学基本要求：
1）、理解样本空间的概念,理解随机事件的概念,熟练掌握事件之间的关系与运算。
2）、理解概率的定义.（频率概率、古典概率、几何概率,概率的频率的定义和概率的公理化定义）。
掌握概率的性质并且会应用性质进行概率的计算。
3）、理解条件概率的概念,掌握概率的乘法公式,全概率公式和贝叶斯（Bayes）公式并会用这些公式进行概率计算.
4）、理解事件独立性的概念,熟练掌握贝努里概型并会应用它进行概率计算.
3．教学重点与难点：
教学重点：
概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式。
教学难点：
随机事件的概率的确定方法，乘法公式、全概率公式、Bayes公式的定义及应用。
4.教学建议：
1）、概率论与数理统计作为一门数学学科，应有其严格的逻辑基础，本章从概率的统计定义、概率的古典定义和概率的几何定义入手，建立了概率的公理化结构；
2）、以中学概率知识为起点，由浅入深，采用启发式教学，并通过对比加深学生印象。
第二章随机变量及其分布
1．基本内容:
1）、随机变量
2）、离散型随机变量及其分布律
3）、随机变量的分布函数
4）、连续型随机变量及其概率密度
5）、随机变量的函数的分布
2.教学基本要求：
1）、理解随机变量的概念、离散型随机变量及分布列的概念和性质、连续型随机变量及概率密度函数的概念和性质。
2）、理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率。
3）、掌握二项分布、泊松（Poisson）分布、正态分布、均匀分布与指数分布。
4）、会求简单随机变量函数的分布。
3．教学重点与难点：
教学重点：
离散型随机变量分布列及其性质、连续型随机变量概率密度函数及其性质、随机变量分布函数及其性质、常见随机变量分布与随机变量函数的分布。
教学难点：
不同类型的随机变量用适当的概率方式的描述，求随机变量函数的分布。
4.教学建议：
1）、强调随机变量使随机试验的结果数量化，可以用代数分析方法来研究随机现象的统计规律性。
通过描述这种规律性的函数是分布函数，通过它可以求出各种事件的概率。
2）、可以用例子引进概率论中一个重要的概念——随机变量。
在此基础上，介绍随机变量——离散型与连续型及其分布的理论。
指出有代表性的典型分布；二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布。
再介绍随机变量函数的分布。
第三章多维随机变量及其分布
1．基本内容:
1）、二维随机变量
2）、边缘分布
3）、条件分布
4）、相互独立的随机变量
5）、两个随机变量的函数的分布
2.教学基本要求：
1）、理解多维随机变量的概念与分类，了解二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合概率密度函数的定义和性质，并会计算有关事件的概率。
2）、理解二维随机变量的边缘分布及条件分布。
了解随机变量的独立性概念。
3）、会求两个独立随机变量的函数（和、积、商、最大值、最小值等）的分布。
知道多项分布、二维均匀分布、二维正态分布。
3．教学重点与难点：
教学重点：
二维随机变量联合分布及其性质、二维随机变量联合分布函数及其性质、二维随机变量的边缘分布和条件分布、随机变量的独立性和随机变量的简单函数的分布。
教学难点：
多维随机变量的描述方法、多维随机变量函数的分布的求解
4.教学建议：
1）、以一维随机变量为基础，由浅入深，由具体到抽象，由易而难，循序渐进，使学生掌握本章的主要知识与方法。
2）、介绍二维随机变量及其分布理论。
特别是二维正态分布、随机变量的独立性以及数理统计中三个重要分布的由来。
第四章随机变量的数学特征
1．基本内容:
1）、数学期望
2）、方差
3）、协方差及相关系数
4）、矩、协方差矩阵
2.教学基本要求：
1）、理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算。
会计算随机变量函数函数的数学期望与方差。
2）、掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布与指数分布的数学期望与方差。
3）、掌握协方差、相关系数和矩的概念,掌握他们的性质与计算方法；了解协方差矩阵定义。
3．教学重点与难点：
教学重点：
随机变量的数学期望与方差的概念与性质，随机变量矩、协方差和相关系数。
教学难点：
各种数字特征的概念及算法。
4.教学建议：
1）、从随机变量的各数字特征代表的意义出发，提出数学期望来刻划随机变量取值的平均位置或集中位置的数学期望、进一步定义中位数和众位数等概念；用于刻划取值分散程度的方差和变异系数；用于刻划两个随机变量之间内在相关性的相关系数以及矩等。
2）、可以根据中学概率论知识求平均数、中位数的概念，由浅入深，采用启发式教学，逐步加深学生对随机变量数字特征的理解和掌握。
第五章大数定律及中心极限定理
1．基本内容:
1）、大数定律
2）、中心极限定理
2.教学基本要求：
1）、了解Chebyshev不等式、Chebyshev大数定律、Bernoulli大数定律、辛钦大数定律、*Markov大数定律。
2）、了解独立同分布的中心极限定理、Liapunov中心极限定理定理、棣莫弗（Demoiver）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理定理。
3）、了解应用棣莫弗（Demoiver）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理来计算相关问题。
3．教学重点与难点：
教学重点：
三个大数定理与三个中心极限定理。
教学难点：
依概率收敛的概念、独立同分布的中心极限定理的应用。
4.教学建议：
1）、为了很好学习本章内容，需要对学生强调在什么条件下一个随机变量序列的算术平均值收敛于某数——大数定理；在什么条件下大量的随机变量之和近似于正态分布——中心极限定理。
2）、进一步通过回忆第一章引进事件概率的统计定义——描述性定义，在数学上不严格，事实上“频率稳定于概率”的意思不明确，贝努利大数定理从数学上讲清了这个问题。
第六章样本及抽样分布
1．基本内容:
1）、随机样本
2）、直方图与箱线图
3）、抽样分布
2.教学基本要求：
1）、理解样本的定义以及简单随机取样方法，了解总体、个体、容量等概念。
2）、掌握统计量定义，
统计量、
统计量、
统计量等定义及其分布
3）、了解经验分布函数的定义、数据的整理与显示（直方图与箱线图）。
4）、掌握样本均值与样本方差的重要结果。
5）、掌握总体服从正态分布时的几个重要的有关抽样分布的定理及其推论。
3．教学重点与难点：
教学重点：
统计量及其分布，特别，
统计量、
统计量、
统计量及其分布
教学难点：
总体服从正态分布时的几个重要的有关抽样分布的定理及其推论。
4.教学建议：
1）、本章理论较强，基本以理论为主，应强调学生的记忆与理论推导能力的提高。
2）、强调数据的整理与显示。
第七章参数估计
1．基本内容:
1）、点估计
2）、基于截尾样本的最大似然估计
3）、估计量的评选标准
4）、区间估计
5）、正态总体均值与方差的区间估计
6）、（0-1）分布参数的区间估计
7）、单侧置信区间
2.教学基本要求：
1）、掌握参数的点估计方法：
矩估计与最大似然估计
2）、了解基于截断样本的参数最大似然估计
3）、掌握估计量的无偏性，有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性。
4）、掌握参数的区间估计的定义与方法。
5）、掌握正态总体均值与方差和（0-1）分布参数的区间估计。
6）、了解单侧置信区间定义与计算。
3．教学重点与难点：
教学重点：
矩估计法、极大似然估计法、参数的区间估计、单个正态整体均值、方差的置信区间、单侧置信上下限和两个正态整体均值差、方差比的置信区间、单侧置信上下限。
教学难点：
截断样本的参数最大似然估计、估计量的优良性；参数的置信区间与单侧置信上下限的求解
4.教学建议：
1）、首先利用例子引入本章主要内容，介绍数理统计的基本概念，主要对未知分布的估计、未知参数的点估计和区间估计，然后介绍方法，给予判定标准；
2）、通过分类，了解怎么求出单个正态整体均值、方差的置信区间、单侧置信上下限和两个正态整体均值差、方差比的置信区间、单侧置信上下限。
第八章假设检验（选学）
1．基本内容:
1）、假设检验
2）、正态总体均值的假设检验
3）、正态总体方差的假设检验
4）、置信区间与假设检验之间的关系
5）、样本容量的选取
6）、分布拟合检验
7）、秩和检验
8）、假设检验问题的p值法
2.教学基本要求：
1）、理解假设检验的基本思想，知道假设检验的可能产生的两类错误，掌握处理参数的假设检验问题的基本步骤。
2）、掌握一个正态总体均值与方差和两个正态总体均值差与方差比的假设检验方法。
3）、了解置信区间与假设检验之间的关系
4）、掌握样本容量选取的确定方法
5）、掌握关于总体分布检验方法—
检验与偏度、峰度检验
6）、了解分布的秩和检验以及假设检验中的p值检验问题
3．教学重点与难点：
教学重点：
显著性检验的基本思想、一个正态总体的参数的检验方法、总体分布检验方法—
检验与偏度、峰度检验。
教学难点：
两个正态总体的参数的检验方法、分布的秩和检验以及假设检验中的p值检验。
4.教学建议：
1）、培养学生理解假设检验的基本思想。
归结出假设检验是通过样本对总体的某种假设（如总体均值、方差等于多少，总体服从什么分布等）进行检验的方法。
2）、加大例题讲解，是学生明白在做假设检验时，需要注意检验问题执行的步骤。
3）、加强课堂操作时间，结合统计软件的使用，让学生了解本章的理论与实际意义。
第九章方差分析及回归分析（选学）
1．基本内容:
1）、单因素实验的方差分析
2）、双因素试验的方差分析
3）、一元线性回归
4）、多元线性回归
2.教学基本要求：
1）、了解方差分析与回归分析的基本思想。
2）、掌握单因素方差分析的基本方法与分析步骤，了解因子、水平、因子平方和、误差平方和、方差分析表等相关的重要概念。
3）、了解双因素方差分析的基本方法与分析步骤。
4）、掌握一元线性回归分析的基本方法与分析步骤，了解一元线性回归模型、回归系数的最小二乘估计、回归方程的显著性检验、估计与预测，了解正规方程、最小二乘解、回归方程、误差平方和、回归平方和等相关的重要概念。
5）、了解多元线性回归分析的基本方法与分析步骤。
3．教学重点与难点：
教学重点：
了解回归分析与方差分析的基本思想，掌握单因素方差分析的基本方法与一元线性回归分析的基本方法。
教学难点：
单因素方差分析及一元回归分析的基本方法的掌握及多因素方差分析与多元线性回归分析的方法。
4.教学建议：
1）、培养学生理解回归分析与方差分析的基本思想。
2）、加大例题讲解，使学生明白在做回归分析与方差分析时，需要注意回归分析与方差分析问题执行的步骤。
3）、加强课堂操作时间，结合统计软件的使用，让学生了解本章的理论与实际意义。
第十章bootstrap方法（选学）
1．基本内容:
1）、非参数bootstrap方法
2）、参数bootstrap方法
2.教学基本要求：
1）、了解bootstrap方法的理论背景。
2）、了解非参数bootstrap方法。
3）、了解参数bootstrap方法
3．教学重点与难点：
教学重点：
了解bootstrap方法的理论背景及方法的使用。
教学难点：
非参数bootstrap方法与参数bootstrap方法的应用。
4.教学建议：
1）、加强学生对bootstrap方法理解。
2）、加强例题讲解，使学生明白bootstrap方法的使用。
3）、结合统计软件的使用，让学生了解本bootstrap方法的理论与实际意义。
第十一章在数理统计中应用Excel软件（选学）
1．基本内容:
1）、概述
2）、箱线图
3）、假设检验
4）、方差分析
5）、一元线性回归
6）、bootstrap方法、宏、VBA
2.教学基本要求：
1）、了解Excel软件。
2）、掌握利用Excel软件在数理统计中分析相关问题（如箱线图、假设检验、方差分析、一元线性回归等）。
3）、了解在Excel软件中如何实现bootstrap方法。
3．教学重点与难点：
教学重点：
Excel软件在数理统计中分析相关问题。
教学难点：
Excel软件的使用。
4.教学建议：
1）、加强学生对Excel软件的了解。
2）、通过例题讲解与自己使用软件，使学生明白Excel软件怎么在数理统计中使用。
第十二章随机过程及其统计描述（选学）
1．基本内容:
1）、随机过程的概念
2）、随机过程的统计描述
3）、泊松过程及维纳过程
2.教学基本要求：
1）、了解随机过程的概念。
2）、掌握随机过程的统计描述与泊松过程及维纳过程的定义。
3．教学重点与难点：
教学重点：
随机过程的概念、随机过程的统计描述。
教学难点：
随机过程的统计描述、泊松过程及维纳过程的使用。
4.教学建议：
1）、举例说明，使学生明白随机过程的概念。
2）、结合概率论内容，讨论随机过程的统计性质。
第十三章马尔科夫链（选学）
1．基本内容:
1）、马尔可夫过程及其概率分布
2）、多步转移概率的确定
3）、遍历性
2.教学基本要求：
1）、了解马尔可夫过程的概念。
2）、掌握马尔可夫链的概念及其概率分布。
3）、掌握如何确定马尔可夫链的多步转移概率。
4）、判断马尔可夫链的遍历性
3．教学重点与难点：
教学重点：
马尔可夫链的概念以及概率分布的确定、求马尔可夫链的多步转移概率与马尔可夫链的遍历性的判断。
教学难点：
马尔可夫链的多步转移概率的计算与马尔可夫链的遍历性的判断。
4.教学建议：
1）、举例说明，使学生明白马尔可夫过程与马尔可夫链的概念。
2）、通过例题训练，掌握马尔可夫链的概率分布确定、马尔可夫链的多步转移概率的计算、马尔可夫链的遍历性的判断。
第十四章平稳随机过程（选学）
1．基本内容:
1）、平稳随机过程的概念
2）、各态历经性
3）、相关函数的性质
4）、平稳随机过程的功率谱密度
2.教学基本要求：
1）、了解平稳随机过程的概念。
2）、掌握各态历经性定义、判定以及相关结论。
3）、掌握相关函数的性质。
4）、了解平稳随机过程的功率谱密度及谱密度性质、互谱密度及性质。
3．教学重点与难点：
教学重点：
平稳随机过程的定义、各态历经性定义、判定以及相关结论、相关函数的性质。
教学难点：
平稳随机过程的功率谱密度及互谱密度。
4.教学建议：
1）、举例说明，使学生理解概念。
2）、本章暂时只能作为学生了解内容。
六、执行大纲说明
1．本大纲根据地理科学专业对《概率论与数理统计》课程的基本要求所编写，执行时应注意学校实际情况（如，课时，学生基础，实验条件等），可适当消减或增添相关内容；
2.鉴于本校地理科学专业的实际情况，每周为2学时，建议讲解第一～—七章内容，其他为选修内容。
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