中考数学复习第2讲 代数式及整式的运算测解析版.docx
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中考数学复习第2讲代数式及整式的运算测解析版
第一单元数与式
第2讲代数式及整式的运算
一、选择题
1．（2018•金华）计算（﹣a）3÷a结果正确的是（ ）
A．a2B．﹣a2C．﹣a3D．﹣a4
【思路点拨】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别化简求出答案
【答案】解：
（﹣a）3÷a＝﹣a3÷a＝﹣a3﹣1＝﹣a2，
故选：
B．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（2018•温州）计算a6•a2的结果是（ ）
A．a3B．a4C．a8D．a12
【思路点拨】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算．
【答案】解：
a6•a2＝a8，
故选：
C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法的计算法则．
3．（2019•仙居县模拟）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a3+2a2＝5a6B．y2•y2+y4＝2y4
C．a4•a2＝a8D．（ab2）3＝ab6
【思路点拨】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
【答案】解：
A、3a3+2a2，无法计算，故此选项错误；
B、y2•y2+y4＝2y4，正确；
C、a4•a2＝a6，故此选项错误；
D、（ab2）3＝a3b6，故此选项错误．
故选：
B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2018•柯桥区一模）如果
a3xby与﹣a2yb3同类项，则（ ）
A．x＝﹣2，y＝3B．x＝2，y＝3C．x＝﹣2，y＝﹣3D．x＝2，y＝3
【思路点拨】由同类项的定义可知3x＝2y，y＝3，从而可求得x、y的值．
【答案】解：
∵
a3xby与﹣a2yb3是同类项，
∴
，
则x＝2、y＝3，
故选：
B．
【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
5．（2019•衢州）下列计算正确的是（ ）
A．a6+a6＝a12B．a6×a2＝a8C．a6÷a2＝a3D．（a6）2＝a8
【思路点拨】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【答案】解：
A、a6+a6＝2a6，故此选项错误；
B、a6×a2＝a8，故此选项正确；
C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
D、（a6）2＝a12，故此选项错误；
故选：
B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2019•下城区一模）因式分解：
a2﹣4＝（ ）
A．（a﹣2）（a+2）B．（2﹣a）（2+a）
C．（a﹣2）2D．（a﹣2）（﹣a+2）
【思路点拨】直接利用平方差公式分解因式即可．
【答案】解：
a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故选：
A．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
7．（2018•绍兴）下面是一位同学做的四道题：
①（a+b）2＝a2+b2，②（﹣2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【思路点拨】直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【答案】解：
①（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
②（﹣2a2）2＝4a4，故此选项错误；
③a5÷a3＝a2，正确；
④a3•a4＝a7，故此选项错误．
故选：
C．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．（2019•鹿城区模拟）对于代数式ax2﹣2bx﹣c，当x取﹣1时，代数式的值为2，当x取0时，代数式的值为1，当x取3时，代数式的值为2，则当x取2时，代数式的值是（ ）
A．1B．3C．4D．5
【思路点拨】根据x＝﹣1，代数式的值为2，x＝0，代数式的值为1，x＝3，代数式的值为2，可知a、b、c的数量关系．
【答案】解：
根据题意可知：
当x＝﹣1时，
a+2b﹣c＝2
当x＝0时，
﹣c＝1
当x＝3时，
9a﹣6b﹣c＝2，
联立
∴解得：
∴代数式为
﹣
x+1
当x＝2时，
原式＝
﹣
+1＝1
故选：
A．
【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
9．（2019•慈溪市模拟）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为l1，图③中两个阴影部分图形的周长和为l2，若
，则m，n满足（ ）
A．m＝
nB．m＝
nC．m＝
nD．m＝
n
【思路点拨】可先求出两个图形中阴影部分的周长，观察到图②中的可得阴影部分的周长与长方形ABCD的周长相等，再根据长方形周长计算可求出l1，对于图③可设小卡片的宽为x，长为y，则有y+2x＝m，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解l2，因若
，即可求m、n的关系式．
【答案】解：
图②中通过平移，可将阴影部分的周长转换为长为m，宽为n的长方形的周长，即图②中阴影部分的图形的周长l1为2m+2n
图③中，设小长形卡片的宽为x，长为y，则y+2x＝m
所求的两个长方形的周长之各为：
2m+2（n﹣y）+2（n﹣2x），
整理得，2m+4n﹣2m＝4n
即l2为4n
∵
，
∴2m+2n＝
×4n
整理得，
故选：
C．
【点睛】此题主要通过长方形周长计算公式来考查整式加减的运算，灵活运用长方形周长计算公式即可解题．
10．（2019•萧山区一模）如图，记图①中阴影部分面积为S甲，图②中阴影部分面积为S乙，设k＝
（a＞b＞0），则（ ）
A．0＜k＜
B．
＜k＜1C．1＜k＜
D．
＜k＜2
【思路点拨】根据题意和图象，可以表示出用含a、b的代数式表示k，从而可以得到k的取值范围，本题得以解决．
【答案】解：
由图可得，
k＝
＝
＝
＝1﹣
，
∵a＞b＞0，
∴
，
故选：
B．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
二、填空题
11．（2018•杭州）计算：
a﹣3a＝ ﹣2a ．
【思路点拨】直接利用合并同类项法则分别计算得出答案．
【答案】解：
a﹣3a＝﹣2a．
故答案为：
﹣2a．
【点睛】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
12．（2018•温州）分解因式：
a2﹣5a＝ a（a﹣5） ．
【思路点拨】提取公因式a进行分解即可．
【答案】解：
a2﹣5a＝a（a﹣5）．
故答案是：
a（a﹣5）．
【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
13．（2018•金华）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：
x*y＝
+
．若1*（﹣1）＝2，则（﹣2）*2的值是 ﹣1 ．
【思路点拨】根据新定义的运算法则即可求出答案．
【答案】解：
∵1*（﹣1）＝2，
∴
＝2
即a﹣b＝2
∴原式＝
＝
（a﹣b）＝﹣1
故答案为：
﹣1
【点睛】本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．
14．（2019•台州）分解因式：
ax2﹣ay2＝ a（x+y）（x﹣y） ．
【思路点拨】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【答案】解：
ax2﹣ay2，
＝a（x2﹣y2），
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：
a（x+y）（x﹣y）．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
15．（2019•金华）当x＝1，y＝﹣
时，代数式x2+2xy+y2的值是
．
【思路点拨】首先把x2+2xy+y2化为（x+y）2，然后把x＝1，y＝﹣
代入，求出算式的值是多少即可．
【答案】解：
当x＝1，y＝﹣
时，
x2+2xy+y2
＝（x+y）2
＝（1﹣
）2
＝
＝
故答案为：
．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
16．（2018•下城区二模）已知香蕉，苹果，梨的价格分别为a，b，c（单位：
元/千克），用20元正好可以买三种水果各1千克；买1千克香蕉，2千克苹果，3千克梨正好花去42元，若设买b千克香蕉需w元，则w＝ ﹣2c2+26c﹣44 ．（用含c的代数式表示）
【思路点拨】根据“用20元正好可以买三种水果各1千克；买1千克香蕉，2千克苹果，3千克梨正好花去42元”列出关于a、b、c的方程组，据此用c表示出a、b，继而根据w＝ab可得答案．
【答案】解：
根据题意知
，
解得：
∴设买b千克香蕉需的钱数w＝ba＝（22﹣2c）（c﹣2）＝﹣2c2+26c﹣44，
故答案为：
﹣2c2+26c﹣44．
【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意列出方程组，并得出用c表示出a、b．
17．（2019•衢州）已知实数m，n满足
则代数式m2﹣n2的值为 3 ．
【思路点拨】根据平方差公式解答即可．
【答案】解：
因为实数m，n满足
，
则代数式m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n）＝3，
故答案为：
3
【点睛】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式解答．
三、解答题
18．（2019•高新区一模）已知多项式A＝2x2+2xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求m+n的值．
【思路点拨】把A与B代入A﹣2B中，去括号合并得到最简结果，由题意确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【答案】解：
∵A＝2x2+2xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，
∴A﹣2B＝2x2+2xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2+（m﹣2）y﹣22，
由结果不含x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0，
解得：
m＝2，n＝﹣1，
则m+n＝1．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2019•宁波）先化简，再求值：
（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中x＝3．
【思路点拨】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
【答案】解：
（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣4﹣x2+x
＝x﹣4，
当x＝3时，原式＝x﹣4＝﹣1．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．（2019•湖州）化简：
（a+b）2﹣b（2a+b）．
【思路点拨】根据单项式与多项式相乘的运算法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．进行求解即可．
【答案】解：
原式＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
＝a2．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，解答本题的关键在于熟练掌握单项式与多项式相乘的运算法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
21．（2019•江北区模拟）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．
【思路点拨】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．
【答案】解：
∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，
∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，
∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，
∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0
得：
a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，
即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用，还涉及到了分解因式、等腰三角形的有关知识．
22．（2018•余杭区一模）已知A＝4x2+2x，B＝2x+1，回答下列问题：
（1）求A+B，并将它因式分解．
（2）若A＝B，求满足条件的x的值．
【思路点拨】
（1）直接利用合并同类项法则计算得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出x的值．
【答案】解：
（1）∵A＝4x2+2x，B＝2x+1，
∴A+B＝4x2+2x+2x+1＝（2x+1）2；
（2）A＝B即4x2+2x＝2x+1，
则4x2＝1，
解得：
x＝±
．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
23．（2019•嘉兴一模）若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：
1＝12﹣02，7＝42﹣32，因此1和7都是“和谐数”．
（1）判断11是否为“和谐数”，并说明理由；
（2）下面是某个同学演算后发现的两个命题，请选择其中一个命题，判断真假，并说明理由．
命题1：
数2n﹣1（n为正整数）是“和谐数”，
命题2：
“和谐数”一定是奇数．
【思路点拨】
（1）利用11＝62﹣52即可说明11是“和谐数”；
（2）由2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，根据“和谐数”的定义判断命题1即可；
设两个连续自然数为n，n+1（n为自然数），则“和谐数”＝（n+1）2﹣n2，利用平方差公式展开得到（n+1+n）（n+1﹣n）＝2n+1，然后利用整除性可说明“和谐数”一定是奇数．
【答案】解：
（1）11是“和谐数”．理由如下：
11＝62﹣52；
（2）命题1：
数2n﹣1（n为正整数）是“和谐数”，是真命题．理由如下：
∵2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，
而当n为正整数时，数2n﹣1是正整数，n与n﹣1是两个连续自然数，
∴数2n﹣1（n为正整数）是“和谐数”；
命题2：
“和谐数”一定是奇数，是真命题．理由如下：
设两个连续自然数为n，n+1（n为自然数），则“和谐数”＝（n+1）2﹣n2，
∵（n+1）2﹣n2＝（n+1+n）（n+1﹣n）＝2n+1，
当n为自然数时，2n+1是正整数，且为奇数，
∴“和谐数”一定是奇数．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用：
利用平方差公式把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．
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