变限积分的性质.docx

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变限积分的性质

变限积分的性质

摘要

变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。

本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。

通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

关键词:

变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用

引言

随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越

来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。

下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。

1.变限积分的概念与理解

1.1变限积分的定义

[,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也

可积，于是，由

x,,,（）（）,[,]xftdtxab

（1）,a

定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x

限函数.类似地，又可定义变下限的定积分:

b,,,（）,（）,[,].xftdtxab

（2）,x

与统称为变限积分;变量复合函数定义为:

,

uxbux（）（）ftdtftdtftdt（）,（）,（）,,,,avxvx（）（）

[,],,,[,]abux（）vx（）ux（）vx（）其中、是定义在上的函数且，.

xfxdx（）注:

在变限积分

（1）与

（2）中，不可再把积分变量写成（例如），x,a

以免与积分上、下限的混淆。

x

1.2对变限积分基本概念的理解

x2sin;xdxsin;xdx例题，计算

（1）

（2）（3）并由此说明不sin.xdx,,,0o

定积分、定积分、变上限积分三者之间的联系。

（,）xcsincos;xdxxc,,，解:

（1）=I1,

xxIxxdxcosxxx（）sincos0cos1cos;,,,,,,,

（2）20,0

,,22Ixdx,,,,,,sincoscos0cos1.（3）30,02

xsinxdxsinxsinxdx不定积分表示的含有任意常数的原函数;积分是,,0

2sinx上限变量的函数，也是的一个原函数;而定积分表示xsinxdx,0

sinxx,0一个数，它是的任意一个原函数在与两点处函数值之x,2

差。

笼统地说，定积分是数，变上限积分是一个函数，而不定IIx（）32

c,1积分是一族函数。

即为;此处取可得，;Ixc（,）III,Ixc（），111221

取时，，三者既有联系又有区别。

x,II,232

2.变限积分的性质

2.1连续性:

fx（）[,]ab若在上可积，则

xbFxftdtGxftdt（）（）,（）（）,,,,ax

[,]ab在都连续.

2.2可微性（原函数存在定理）

fx（）[,]abFxGx（）,（）[,]ab若在上连续，则2.1中的在上可导且

xd,（）（）（）,[,]Fxftdtfxxab,,,,adx

bd,.（）（）（）,[,]Gxftdtfxxab,,,,,xdx

[,]ab[,]abffG这就是说:

函数是在上的一个原函数;函数是在上的一F

个原函数。

注:

2.2建立了导数、积分这两个看起来似乎毫不相关的概念之间的内在联

xftdt（）系，它证明了“连续函数必有原函数”的基本结论，而且说明了,a

f是的一个原函数。

此2.2的这个结论在微积分学中具有十分重要的地位，

被称为“微积分基本定理”.

2.2.1推论

fx（）[,]ab[,],,x,[,],,uxab（）[,],ux（）若在连续，在上可导且，，

ux（）[,],,Hxftdt（）（）,则在上可导，且,a

,Hxfuxux（）（（））（）,.

2.2.2推论

fx（）[,]ab[,],,x,[,],,ux（）vx（）ux（）若在连续，、在上可导且，、

ux（）vxab（）[,],[,],,Hxftdt（）（）,，则在上可导，且,vx（）

,,Hxfuxuxfvxvx（）（（））（）（（））（）.,,

2.2.3牛顿-莱布尼茨公式

由微积分基本定理，我们还能得出一个重要的公式，即牛顿-莱布尼茨公式:

[,]abFx（）fx（）[,]abf若函数在上连续，且是在上的一个原函数，则

bbfxdxFbFaFx（）（）（）（）,,,a,a

例1下列计算是否正确,若有错，请订正.

x22,dtx,,

（1）;,edte,0dx

sinx22d,,txsin

（2）;,edte,0dx

024d,,tx2.x（3））,edte2,xdx

x22t,,tfte（）,edt解

（1）正确.因被积函数是连续函数，变上限定积分,0

2,tfte（）,对上限变量求导数，就等于被积函数在上限变量x处的值，即

x22,,txedte,.，，,0

sinx

（2）错误.因为上限是的函数，需要利用复合函数求导公式，x

sinsinxx22dddxsin,,,ttxsin,,edtedtexcos.，，,,00dxdxdxsin

2x（3）错误.因为下限是的函数，需转化为变上限函数积分求导x

问题

20x224dd,,,ttx,,,,2.edtedtxe2,,x0dxdx

x12,,,gx（）fxfx（）,（）.例2设函数连续，且，试求fxxtgtdt,,（）（）（）,a2

fx（）分析由于的变上限积分表示式的被积函数中出现了积分

xd,fx（）上限变量，故不能直接利用公式来求导数.,,（）（）,xtdtx,adx

fx（）需先将改写成积分的被积表达式中只含积分变元t的形式，在对其求导.

x12解fxxtgtdt,,（）（）（）,02

2xxxx12=gtdtxtgtdttgtdt（）（）（）,,，,,,00022

2xx,（）（）（）fxxgtdtgx,，,02

2xx2（）（）（）-tgtdtxgxgx,，,02

xx=xgtdttgtdt（）（）,,,,00

xx，，,,fxgtdtxgxxgxgtdt（）（）（）（）（）.,，,,,,0,,o，，

如果忽略了被积函数中含有积分上限变量这一事实，而硬套变上限

积分求导公式，就会酿成错误结果:

xd11,,22,fxxtgtdtxtgt（）（）（）（）（）0.,,,,,,,,tx,0dx22,,

1dy2fx（）例3设连续，（cos）,求yfxtdt,,2,xsindx

2解:

令则因此uxtdtdu,,,,cos,.

2xx,1cos1cos22fxtdtfudufudu（cos）（）（）（）,,,,2222,,,xxxx,,sincossinsin

cos2xyfudu,（）.故2,,sinx

dy22,,从而））,fx（cos2）（cos2）（sin）xfx,,（sin）,xdx

2=-2sin2（cos2）（sin）2sincosxfxfxxx，,

2，，fxfx（sin）2（cos2）,,sin2x=），，

1xdtdtxFx（）（）（0）例4设Fxx,，,,求.22,,0011，，tt

1xddtddt111x,,Fx（）,，,，解:

?

（）222,,001dxtdxtx111，，，x1，2x

111=，?

（）0,,2211，xx1，2x

FxC（）,所以（C为常数）

11dtdt,1而Ft

（1）2arctan,，,,0,,2200112，，tt

所以Fx（）,2

2.3奇偶性

xfx（）[,],aa[,],aa若在上可积且为偶（奇）函数，则Fxftdt（）（）,是上,0

奇（偶）函数.

xfx（）[,]ab证明:

设Fxftdt（）（）,，其中函数在区间上可积.,0

fx（）[,]ab若函数为上的奇函数，由变量替换有:

xxxFxftdtfudufuduFx（）（）（）（）（）（）,,,,,,,,,,,000

Fx（）即为偶函数;

fx（）[,]ab若函数为上的偶函数，由变量替换有:

xxxFxftdtfudufuduFx（）（）（）（）（）（）,,,,,,,,,，,,,000

Fx（）即为奇函数。

fx（）（,）,,，,例设函数在连续，且

xFxxtftdt（）

（2）（）,,,,0

fxfx（）（）,,FxFx（）（）,,证明

（1）若，则;

fx（）Fx（）

（2）若非增（即:

<时，），则非fxfx（）（）,xx1212

减.

xFxxtftdt（）

（2）（）,,,,证明:

（1）,0

x令tuxufudu,,,,,,,[2（）]（）（）,0

x

（2）（）（）.xufuduFx,,=,0

xxd,

（2）（）[（）2（）]Fxxftdttftdt,,,,00dx

xxftdtxfxftfxdt（）（）（（）（））.,,,=,,00

fx（）（?

）当>0时，由非增可知:

x

ftfx（）（）0,,tx,[0,]，

因此

x,Fxftfxdt（）（（）（））0,,,;,0

ftfx（）（）0,,tx,[0,],因此（?

）当x<0时，有

0,Fxfxftdt（）（（）（））0.,,,,x

xFx,,,，,,（,）,（）0.再利用拉格朗日中综上所述，对任意的

值定理，当<时，有xx12

FxFxFxx（）（）（）（）0,,,,,,2121

Fx（）则非减.

2.4单调性

xfx（）[,]abfx（）（[,]）,,xab[,]abFxftdt（）（）,若在上可积且>0，则在上,a

是单调递增函数.

xfx（）[,]abfx（）（[,]）,,xab[,]abFxftdt（）（）,若在上可积且<0,则在上,a

是单调递减函数.

证明:

2.4.1积分第二中值定理

由变限积分的可微性及单调性我们又可得到积分第二中值定理

[,]abf设函数在上可积，则

[,]ab,,[,]abgx（）0,

（1）若函数在上单调减少，且，则存在，g

使得

b,fxgxdxgafxdx（）（）（）（）,;,,aa

[,]ab,,[,]abgx（）0,

（2）若函数g在上单调增加，且，则存在，

使得

bbfxgxdxgbfxdx（）（）（）（）,.,,,a

2.4.1.1推论

[,]ab,,[,]abf设函数在上可积，若g为单调函数，则存在，

使得

bb,fxgxdxgafxdxgbfxdx（）（）（）（）（）（）.,，,,,aa,

2.5周期性

fx（）以T为周期的连续函数的原函数以T为周期的充分必要条件是

Tfxdx（）0.,,0

x0gx（）（,）,,，,例设是在内以T为周期的连续函数，则gtdtgtdt（）（）,,,,0x

也以T为周期。

证明:

由周期函数积分性质得:

xTxxTxT，，gtdtgtdtgtdtgtdtgtdt（）（）（）（）（）.,，,，,,,,,0000x

000,xTgtdtgtdtgtdtgtdtgtdt（）（）（）（）（）.,，,，,,,,,,,,,,,xTxxTx0

Tx0因gtdt（）不一定为零，所以gtdt（）与gtdt（）不一定以T,,,0,xo

为周期，而

xTx，00gtdtgtdtgtdtgtdt（）（）（）（）,,,，,,,,00,,,xTx

x0gtdtgtdt（）（）,所以以T为周期.,,,0x

3、变限积分的应用

学习数学最重要的就是对数学思想的不断积累并逐渐内化，将数学的精华转化为自己的各种能力。

积分变限函数这类重要的函数，除了能拓展我们对函数概念的理解外，它又是连接积分学和微分学的重要工具，它在许多场合都有重要的应用。

3.1变限积分在求函数极限时的应用

例1求下列极限

32x2tdtx21,2t0lim

（1）tedt

（2）;lim;2x,x0x,0,，,xxetttdt（sin）,,o

xxx,sinxf（3）（其中为连续函数）（4）lim.lim（）ftdt,xx,0,axa1,3xaln

（1），tdt,0t

222xx2xex112t,,limlim.解:

（1）tedt=lim2222,xx2x,，,,，,xx0,，,x，122x，exe2xe

32x243tdt22xx,0lim,limlim

（2）=x0x,xx,,00,,xxxxx（sin）sintttdt（sin）,,o

2266xx=,,limlim12.2xx,,00,1cos2xx

xxftdt（）x,a，，lim（3）方法一=lim（）（）（）.ftdtxfxafa，,,,xa,,,axa，，,xa

方法二由积分中值定理可知

xax,,,,ftdtfxa（）（）（）,,,,,a

于是

xxxfxaxfafa（）（）lim（）（）.,,,,,=?

lim（）limftdt,xa,,xa,axa,,xaxa

21cos21,xxxx,sinlimlim,,（4）=limxxx,,00x,01112333ln

（1）.，xxln

（1），tdt,0xxt

233x,0（这里用到了等价无穷小代换:

当时，）1cos2,ln

（1）.,，xxxx3.2变限积分在研究函数性态中的应用

[0,），,f例1设是上的连续凸函数，证明:

x1Fxftdt,（）（）,0x

（0,），,也是内的凸函数.

[0,），,f证明:

由于是上的连续凸函数，所以有恒有,,,,,（0,1）,,0,xx12

，fxxfxfx（

（1））（）

（1）（）,,,,，,,，,1212

于是Fxx（

（1））,,，,12

,xx，,

（1）112ftdt（）=,0,,，,xx

（1）12

1txxxfxxxdx,，,，,（

（1））（（

（1）））,,,,1212,0

11fxxxxdxfxxfxxdx（（）

（1）（））[（）

（1）（）],,,,，,,，,=1212,,00

11xx,,1,12fxxdxfxxdxftdtftdt（）

（1）（）（）（），,,，=,,12,,,,0000xx12

=，,,FxFx（）

（1）（），,12

（0,），,所以F是内的凸函数.

x（,）,,，,fFxxtftdt（）

（2）（）,,例2设是内的连续奇函数，且单调增加，，,0

证明:

[0,），,

（1）F是奇函数;

（2）F是内的单调减函数.

xx证

（1）Fxxtftdttuxufudu（）

（2）（）

（2）（）,,,,,,,,，,,,00

x=,,,,

（2）（）（）xufuduFx，,0

所以F为奇函数.

xx

（2）Fxxftdttftdt（）（）2（）,,，故,,00

x,,Fxftdtxfxxfxfx（）（）（）（）（）,,,,,（介于零与之间）x,0

xffx[（）（）]0,,,=，

[0,），,内的单调减函数.所以F为

（这里用到了积分第一中值定理.）

[,]abfx（）0,f例3设函数在上连续，且，若

xx1Fxftdtdt,，，（）（）,,abft（）

[,]ab证明:

（1）F为上的严格单调增函数;

Fx（）0,（,）ab

（2）方程在内有且只有一个根.

证

（1）因为

2,,11,，Fxfxfx（）（）（）22,，,,，,,,,,fx（）fx（）,,

[,]ab所以F在上严格单调增加.

ab11

（2）因为Fadtdt,,,,（）0,,bafxft（）（）

bFbftdt（）（）0,,，,a

Fx（）0,（,）ab所以由闭区间上连续函数的根的存在性定理可知，方程在

[,]ab内至少存在一个根，又由于F在上严格单调增加，所以方程

Fx（）0,（,）ab在内只能由一个根.

例4证明:

连续奇函数的一切原函数均为偶函数，连续偶函数的原函数中只有

一个为奇函数.

ff证设为连续的奇函数，则的一切原函数可以表示为

xFxftdtC（）（）.,，,0

tu,,,xxFxftdtCfuduC（）（）（）,,，,,,，由于,,00

x=fuduCFx（）（），,，,0

f的一切原函数均为偶函数.所以

ff设为连续的偶函数，的一切原函数可以表示为

xFxftdtC（）（）.,，,0

tu,,,xxFxftdtCfuduC（）（）（）,,，,,,，由于,,00

xx=,,，fuduC（）,,，，,,，ftdtCCFxC（）2（）2，，,,00

FxFx（）（）,,,f2C要使，必须=0，即C=0.所以的一切原函数中只有

xFxftdt（）（）,是奇函数.,0

f例5设为定义在R上的一个连续周期函数，周期为T，证明:

xT11ftdtftdt,lim（）（）.,,00,，,xxT

解于是,,，,,,，xnNxTxnTx0,[0,）,.及使得00

xnTxnTnTx，，11100，，ftdtftdtftdtftdt,,，（）（）（）（）.,,,,,,000nT，，xnTxnTx，，00

nTTftdtnftdt（）（）,,由于,,00

nTxx，00ftdtftdt（）（）,,,,0nT

xTx11n0ftdtftdtftdt（）（）（）,，所以,,,000xnTxnTx，，00

T1（），,ftdtn,,（）,0T

xT11从而有ftdtftdt,lim（）（）.,,00,，,xxT

3.3变限积分在证明定积分不等式中的应用

[,]abf例1设函数在上连续且单调增加，证明:

bbab，（）（）.xfxdxfxdx,,,aa2b

xxax，，证令（）（）（）,[,]Fxtftdtftdtxab,,,,,aa2

Fa（）0.,则有由于

xx11axxa，,,Fxxfxftdtfxfxftdt（）（）（）（）（）（）,,,,,,,aa2222

xa,1fxa（）（）,,ax,,,=（）fx（）,22

1=，,,,,（）[（）（）]0xafxf2

[,]abFbFa（）（）0,,所以F在上单调增加.于是有，从而bbab，（）（）.xfxdxfxdx,,,aa2

[,]abfa（）0,f例2设在上有连续的导函数，，证明:

bb1222,fxdxbafxdx,,（）（）[（）].,,aa2

ffa（）0,证由于连续且，于是有

x,xab,[,]fxftdt（）（）,,.,a

由施瓦兹不等式可得

22xxxx222，，，，,,,fxfxdtfxdtdtftdx（）（）1（）1（）,,,,,,,,,,,,,,aaaa，，，，

xb22,,（）xa,ftdt（）,,（）（）.xaftdt=,,,,,,aa

ab到对上述不等式从积分可得

bb1222,fxdxbaftdt,,（）（）（）.,,,,aa2

3.4变限积分在证明的存在性中的应用

,（,）ab例1设函数上连续，证明:

存在，使得fab在[,]

bfxdxfba（）（）（）.,,,,a

xFxftdtxab（）（）,[,],,证设.,a

[,]ab,,（,）ab由题设知，F在上满足拉格朗日中值定理的条件，因此存在，使得

FbFaFbafba（）（）（）（）（）（）,,,,,,,，

b即有fxdxfba（）（）（）.,,,,a

[,]abgx（）0,,,（,）ab例2设函数均在上连续，且，证明:

存在使得fg和

bbgfxdxfgxdx（）（）（）（）.,,,,,aa

xbxb证方法一设Fxgtdtftdtftdtgtdt（）（）（）（）（）,,，则有,,,,aaaa

FaFb（）（）0.,,,,（,）abF（）0,,由罗尔定理可知，存在，使得，即有

bbgfxdxfgxdx（）（）（）（）.,,,,,aa

xxFxftdtGxgtdtxab（）（）,（）（）,[,],,,,方法二设,,aa

[,]ab在上利用柯西中值定理，有

FbFbFaFf（）（）（）（）（）,,,，,,,,GbGbGaGg（）（）（）（）（）,,,

gFbfGb（）（）（）（）,,,即有

bbgfxdxfgxdx（）（）（）（）.,,,于是,,aa

4.结语

本文主要介绍了变限积分的概念，举例来理解变限积分的概念。

即变限积分是通过定积分定义上限x在区间[a,b]上任意变动的函数，它与我们接触的其他函数不一样，它的特殊结构决定了它有许多特殊的性质。

通过借助于对定积分的认识，研究了变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，并通过举例，更加深刻的理解这些。

最后我们研究了变限积分在求函数极限中、在研究函数性态中、在证明定积分不等式中和证明存在性问题中的应用。

参考文献

[1]华中科技大学数学系编微积分学习辅导与习题选解高等数学出版社，2004[2]朱正佑、秦成林编数学分析（上册）上海大学出版社，2006.1[3]周誓达编著微积分（经济类与管理类）中国人名大学出版社2005[4]韩玉良隋亚莉李宏艳王雅芝编微积分学习指导清华大学出版社2006.9[5]齐民友主编杨丽华孟新焕编微积分学习指导武汉大学出版社2008.5

谢辞

时间总是在不知不觉中流逝，转眼间，我的大学生活即将结束，论文的完成也将给我的大学生活的画上一个完美的句号。

本论文是在我的论文指导老师李琨的悉心指导下完成的，在本论文的写作过程中，李琨老师对我的帮助特别大。

李琨老师优秀的科学修养，深厚的数理功底，严谨的治学态度都给我留下了深刻的印象，也成了我努力奋斗的榜样。

在我思考并列提纲的过程中，经历了苦恼和彷徨，而李琨老师对我的疑问一一作出了解答，而且对我的提纲做出了悉心的指导，严格的把关，循循善诱，让我对我的论文重拾了信心。

从论文的开题报告、搜集材料、列提纲，李老师给了我很多的建议和帮助，在此我对我的指导老师表示衷心的感谢，感谢老师对我的耐心指导和帮助。

临近毕业之际，借此机会还要感谢大学四年学习生活期间，给我诸多帮助的各位在这

老师和导员，你们给我的悉心指导和衷衷教诲我会永记在心中。

感谢你们，是各位代课老师，认真负责的态度感染我，是各位老师，我才能很好的掌握和运用专业知识完成我的毕业论文。

最后我还要感谢陪我度过大学生活的同学们，谢谢你们给我的大学生活留下了美好的回忆。