名校必备关于上海春季高考数学题的再研究.doc

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天兵下北荒，

胡马欲南饮。

横戈从百战，

直为衔恩甚。

握雪海上餐，

拂沙陇头寝。

何当破月氏，

然后方高枕

关于2008年上海春季高考数学22题的再研究

华东师大二附中施洪亮201210

华东师大二附中08届1班温彦斌201210

2008上海春季高考作为秋季高考的风向标，历来受到学校、教师与学生的关注。

本次春考数学卷第22题因为其关注研究性学习能力的考察引起了大家的高度重视和研究兴趣，笔者对该问题进行了探究。

原题描述：

已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为.

（1）若在直线上，求证：

在圆：

上；

（2）给定圆：

（，），则存在唯一的线段满足：

①若在圆上，则在线段上；②若是线段上一点（非端点），则在圆上.写出线段的表达式，并说明理由；

（3）由

（2）知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中是

（1）中圆的对应线段）.

线段与线段的关系

的取值或表达式

所在直线平行于所在直线

所在直线平分线段

线段与线段长度相等

原题略解：

22.[证明]

（1）由题意可得，解方程，得

，

点或，

将点代入圆的方程，等号成立，

在圆：

上.

（2）[解法一]当，即时，解得，

点或，

由题意可得，整理后得，，，

.

线段为：

，.

若是线段上一点（非端点），则实系数方程为

.

此时，且点、在圆上.

[解法二]设是原方程的虚根，则，

解得

由题意可得，.③

解①、②、③得.以下同解法一。

[解]（3）表一

线段与线段的关系

的取值或表达式

所在直线平行于所在直线

，

所在直线平分线段

，

线段与线段长度相等

在原问题的基础上，我们可以从不同角度深入研究：

1、将原题

（1）的直线方程一般化。

命题一已知z是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为

.若在直线上，落在一个圆上。

解：

令，由一元二次方程的根与系数关系及虚根共轭性，可知

①

又在直线上，即②

①代入②中，得

即在圆上

特别的，当时，即为原题第一小题，其中落在圆

上（见图一）。

若，同样得到在直线上运动时，对应在另一个圆（见图二）上。

图一图二

2、我们通过原题1的求解以及原题2的计算与证明发现，一条开线段（不包括两端点的线段）对应一个圆，一个圆确定后，对应的开线段也能确定。

原题3从两条线段（一定一动）的位置关系，研究了动线段对应的圆的相关参数关系。

事实上从两圆（一定一动）的位置关系，也可以研究了动圆对应的线段的相关参数关系。

命题二若⊙1与⊙2相外切（且不妨设⊙2在⊙1右侧，，如图三），则有（其中⊙1为，⊙2为若在开线段上移动时方程的虚根在直角坐标平面上的对应点为的轨迹）。

解：

设

有⊙2即轨迹，为

⊙1：

由⊙1与⊙2相外切，则（*）

图三

命题三若⊙1与⊙2相内切（如图四，），则也有

解：

设

有⊙2即轨迹，为

⊙1：

由⊙1与⊙2相内切，则（**）

图四

读者不妨思考：

命题二与命题三的结论的相似之处说明了什么？

在此，笔者只是做了一个已知圆与未知圆的相切关系，至于两圆相交或相离，也只需在（*）和（**）式中做不等式即可。

而若两圆都未知，留给读者自己思考。

（提示：

方法类似，只需改变未知数）

3、若在其他曲线上运动，会落在什么形态的曲线上？

反之又会如何？

命题四若在抛物线上，所在的轨迹在一条二次曲线（除圆）上

解：

由在抛物线上，可知③

①代入③中，得

即在二次曲线上，特别地，时，所在的轨迹在一条抛物线上

命题五若在一条二次曲线（除圆）上，那么，的轨迹在一条抛物线上。

显然，要是用直角坐标系来解答这个问题有些许繁琐，读者可自行完成。

在此，笔者仅用极坐标的方法简要解决这个命题。

我们观察①式，即，那么一般表示什么呢？

是点到原点的距离的平方。

正是！

那表示什么呢？

正是！

那不正建立了对应到极坐标中的的关系吗？

为此下面引入极坐标。

则由命题一中的①式可知，④

解：

设的轨迹在极坐标的表示为⑤

④式代入⑤，得

⑥

容易看出这是一条焦点在y轴的抛物线。

（右图仅为简要地做出抛物线的大致图像）

图五

后续研究：

笔者发现由于是一个一元二次方程的虚根，那么点就可对应两点（即），如果将原方程的次数加以升高，使成为一个一元三次方程的虚根，探讨的轨迹可以对应到的点（即）的轨迹。

研究思路1、简化三次方程。

设一元三次实系数方程为；将（为一任意常数）代入方程中，得

考察其关于的二次项系数，为；则只要取，即可使关于的二次项系数为零。

通过上述证明，我们可以取适当的，使一元三次实系数方程简化为一个二次项为0的一元三次实系数方程。

2、讨论一种较简单的情况。

设一元三次实系数方程为⑴，设其三个根分别为，其中为共轭的两个虚根，已知z是一元三次实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为，讨论一元三次实系数方程的各项系数与轨迹的关系由，不妨令⑵，则⑶

由根与系数关系，知⑷

⑸

⑹

由⑵⑶⑷知⑺

将⑵⑶和⑺代入⑸⑹得⑻

⑼

由此可见，⑻和⑼确立了一个从点到点，从而一个点的轨迹就可简略确定点的轨迹。

下面笔者举一个简单的实例：

若在一条直线上，不妨假设为即

将⑻⑼代入，有⑽

为一个三次图像。

右图为时⑽的图像

（此图象近似于叶形线）

图六

2008-1-5

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