第5讲行程问题四完整版.docx
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第5讲行程问题四完整版
第5讲行程问题四
内容概述
流水行船问题与环形问题。
流水行船问题中，注意水速对实际速度的影响，初步了解速度的相对性；环形问题中，注意相遇和追及的周期性。
兴趣篇
1．一艘船在某条河流中顺水速度是每小时30千米，逆水速度是每小时24千米，那么这条河的水速每小时多少千米？
答案：
每小时3千米
解析：
顺水速度与逆水速度的差是水速的2倍，因此水速是（30-24）÷2=3千米／时．
2．一条船顺流行驶40千米需要2小时．水流速度为每小时2千米，这条船逆流行驶40千米需要多少小时？
答案：
2.5小时
解析：
船顺流进行的速度为40÷2=20千米/时。
由于水速为每小时2千米，因为船在静水中的速度为20-2=18千米/时，在逆水中的速度为18-2=16千米/时。
所以船逆行40千米需要40÷16=2.5小时。
3．两地相距480千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流行驶一次需要16小时，逆流返回需要20小时，该轮船在静水中的速度是多少？
水流速度是多少？
答案：
27千米/时；3千米/时
解析：
船在顺水中的速度是480÷16=30千米/时，而在逆水中的速度是480÷20=24千米/时.
由于顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速。
利用和差问题的基本公式可得：
船在静水中速度为（30+24）÷2=27千米/时，水速为30-27=3千米/时.
4．A，B两港相距560千米，甲船在两港间往返一次需105小时，其中逆流航行比顺流航行多用了35小时．乙船的静水速度是甲船静水速度的2倍，乙船在两港间往返一次需要多少小时？
答案：
48小时
解析：
首先，甲船往返两港需105小时，逆流航行比顺流航行多用了35小时，根据和差关系，甲船逆水航行用了（105+35）÷2=70小时，顺水航行用了100-70=35小时.
甲船顺水航行的速度为560÷35=16千米／时，逆水航行的速度为560÷70=8千米／时，
再使用一次和差问题的方法，甲船的静水速度为（16+8）÷2=12千米／时，水速为16-12=4千米／时．
乙船的静水速度是甲船静水速度的2倍．所以乙船的静水速度为12×2=24千米／时．乙船的顺水速度为24+4=28千米／时，乙船的逆水速度为24-4=20千米／时。
所以，乙船往返需要560÷28+560÷20=48小时。
5．A，B两个码头间的水路为90千米，其中A码头在上游，B码头在下游．第一天，水速为每小时3千米，甲、乙两船分别从A，B两码头同时起航同向而行，3小时后乙船追上甲船。
已知甲船的静水速度为每小时18千米，那么乙船的静水速度是多少？
第二天由于涨水，水速变为每小时5千米，甲、乙两船分别从A，B两码头同时起航相向而行，出发多长时间后相遇？
答案：
48千米／时；
小时
解析：
流水速度对河七两个物体的相遇和追及没有影响．第一天乙用3小时追了90千米，乙比甲快了90÷3=30千米／时，又知甲船的静水速度为18千米／时，所以乙船的静水速度为18+30=48千米/时．
第二天两船共走了90千米，需要时间90÷（18+48）=
小时．
6．甲、乙两人在300米长的环形跑道上跑步，他俩同时同地同向出发，甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒3米，那么过多少时间后甲第二次追上乙？
答案：
300秒
解析：
甲第二次追上乙时多走了2圈，即300×2=600米，两人的速度差是5-3=2米／秒，所需时间是600÷（5-3）=300秒．
7．甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．这条公路长2400米，甲骑一圈需要10分钟．如果第一次相遇时甲骑了1440米．请问：
乙骑一圈需要多少分钟？
再过多久他们第二次相遇？
答案：
15分钟；6分钟
解析：
甲的速度是2400÷10=240米／分，相遇时甲行了1440米。
则相遇时间是1440÷240=6分钟．在这段时问内，乙行了2400-1440=960米。
所以乙的速度是960÷6=160米／分．那么，乙走一圈需要花2400÷160=15分钟．
相遇后继续前进，到第二次相遇还需要2400÷（240+160）=6分钟。
8．甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步．甲以每分钟300米的速度从起点跑出．1分钟后，乙从起点同向跑出．又过了5分钟，甲追上乙，请问：
乙每分钟跑多少米？
如果他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？
答案：
每分钟280米；20分钟
解析：
甲跑出1分钟后跑了300米，离起点还有100米，此时乙跑出，所以乙在甲前面100米。
甲追乙的追及距离就是100米，因为用了5分钟追上，所以甲和乙的速度差是100÷5=20米／分，乙每分钟可以跑300-20=280米。
甲第二次追上乙的时候，其实就是甲比乙又多跑了一圈，也就是说第二次的追及距离是400米．因此第二次的追及时间就是400÷20=20分钟．
9．甲、乙两人在环形跑道上训练，他们从同一地点同时出发，背向而行。
两人相遇后立即调头，继续前进．一开始甲的速度是每分钟160米，乙的速度是每分钟120米，调头后甲的速度提高了一半，乙的速度提高了三分之一。
若跑道长500米，甲、乙两人第一次相遇地点与第二次相遇地点相距多远？
（环形路线上两点的距离指沿跑道的最短距离）
答案：
200米
解析：
第一次相遇之后，甲速度提高了一半，变为160×（1+
）=240米／分，乙的速度提高
，是120×（1+
）=160米／分。
相遇的时候，其实就是甲乙一起跑了一圈，路程和是500米．
根据相遇问题的公式，两人相遇需要500÷（240+160）=
分钟，
那么两次相遇点的距离，就是乙所走的路程，即160×
=200米．
10．如图5-1，四边形ABCD是一个边长为100米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲沿逆时针方向每分钟行75米，乙沿顺时针方向每分钟行45米．请问：
两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？
图5-1
答案：
第7次
解析：
甲、乙的速度和为75+45=120米／分，总路程为100×4=400米，则他们第一次相遇的时间为400÷120=
分钟，此时甲走了75×
=250米，即走到了BC的中点．
从第一次到第二次相遇，和从出发到第一次相遇的情况相同．所以甲所走的路程应该还是250米．因此第二次相遇的地点就是D点．
同样计算下去，第三次相遇的地点在AB中点，第四次相遇的地点在C点，第五次相遇的地点在AD中点，第六次相遇的地点在B点，第七次相遇的地点在CD中点．
所以两人第一次在CD边上相遇，是出发以后的第7次相遇．
拓展篇
1．甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米．一艘船沿甲河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米．这艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小时？
答案：
6小时
解析：
船在甲河中顺水航行的速度是133÷7=19千米/时．而甲河水速是3千米／时，所以船速是19-3=16千米／时．
乙河水速是2千米／时，因此船在乙河中逆水航行的速度是16-2=14千米／时，所以航行84千米还需要84÷14=6小时．
2．一艘飞艇，顺风6小时行驶了900千米；在同样的风速下，逆风行驶600千米，也用了6小时．那么在无风的时候，这艘飞艇行驶1000千米要用多少小时？
答案：
8小时
解析：
飞艇的顺风速度为900÷6=150公里／时，逆风速度为600÷6=100公里／时．
根据和差关系，可求出飞艇的无风速度为（150+100）÷2=125公里／时，
所以无风时，它飞行1000公里需要1000÷125=8小时．
3．甲、乙两船分别从A港出发逆流而上驶向180千米外的B港，静水中甲船每小时航行15千米，乙船每小时航行12千米，水流速度是每小时3千米．乙船出发后两小时，甲船才出发，当甲船追上乙船的时候，甲已离开A港多少千米？
若甲船到达B港之后立即返回，则甲、乙两船相遇地点离刚才甲船追上乙船的地点多少千米？
答案：
72千米；90千米
解析：
（1）甲船的逆水速度是15-3=12千米／时，乙船的逆水速度是12-3=9千米／时，
两船的路程差即为乙船先出发2小时逆水行驶的距离，也就是9×2=18千米．
所以甲船追上乙船需要18÷（12-9）=6小时．这6小时内，甲船行驶了12×6=72千米．
因此甲船追上乙船时已经离开A港72千米．
（2）甲船追上乙船的地点与B港相距180-72=108千米，那么它行驶到B港还需要108÷12=9小时，
此时乙船又航行了9×9=81千米，距离B港108-81=27千米，
甲船返回后，与乙船相向而行．此时甲船顺水行驶，速度是每小时15+3=18千米．
因此两船还需要27÷（18+9）=1小时相遇，
甲、乙相遇地点与追及地点的距离正好是乙行驶的路程，为9×（9+1）=90千米．
4．一条小河流过A，B，C三镇。
其中A，B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米；B，C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米．已知A，C两镇水路相距45千米，水流速度为每小时1.5千米，某人从A镇上船顺流而下到B镇，吃午饭用去1小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用了7小时．请问：
A，B两镇间的距离是多少千米？
答案：
25千米
解析：
此人从A到B的速度是11+1.5=12.5千米时，从B到C的速度是3.5+1.5=5千米／时。
坐船的总时间是7-1=6小时，走的总距离是45千米．
运用鸡兔同笼的原理，从A到B用了（45-5×6）÷（12.5-5）=2小时，因此A，B间的距离是12.5×2=25千米．
5．轮船从A城行驶到B城需要3天，而从B城回到A城需要4天，请问：
在A城放出一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？
答案：
24天
解析：
假设从A城到B城的距离是1份，那么轮船顺水航行的速度是1÷3=
份／天，而逆水航行的速度是1÷4=
份／天．
由和差关系可得，水速是
份／天，这也就是木筏的漂流速度．
因此木筏从A城漂流到B城需要1÷
=24天．
6．一艘游艇装满油，能够航行180个小时。
已知游艇在静水中的速度为每小时24千米，水速为每小时4千米．现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且中途没有油料补给，请问：
这艘游艇最多能够开出多远？
答案：
2100千米
解析：
游轮顺水和逆水航行的速度分别是24+4=28千米／时，24-4=20千米／时。
根据题目要求，最远行驶的路程=顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间．
显然，如果游轮顺水航行的时间是20小时，逆水航行28小时，来回的路程恰好是相等的．这时，顺水与逆水的总时间是20+28=48小时．换句话说，如果
游轮航行48小时，那么它最远能航行20×28=560千米。
由于实际上一共航行了180小时，而180÷48=3.75倍，因此游轮最远能到560×3.75=2100千米的地方，此时它需要顺水航行20×3.75=75小时，而逆水航行28×3.75=105小时．
7．某人在河里游泳，逆流而上。
他在A处丢失一只水壶，向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到。
假定此人在静水中的游泳速度为每分钟60米，求水流速度．
答案：
50米／分
解析：
游泳者友现丢水壶之前，与水壶相背而行，游泳者的速度是静水速度一水速，水壶的速度就是水速，所以他们的速度和是游泳者的静水速度．
20分钟后，他返回追水壶时，游泳者的速度是静水速度十水速，而水壶的速度还是水速，二者的速度差仍然是游泳者的静水速度，所以他追上水壶的时间
还是20分钟．
水壶一共漂流了20+20=40分钟，漂流的路程是2千米，而水速就是水壶的漂流速度，因此水速就是2000÷40=50米／分．
8．黑、白两只小猫在周长为300米的湖边赛跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米．若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行．多少秒后两只小猫第一次相遇？
如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共相遇多少次？
答案：
25秒；4次
解析：
两只小猫的速度和是5+7=12米／秒．
第1次相遇时，两只小猫跑过的路程和是环形路线的周长，所以它们一共跑了300÷12=25秒．
第2次相遇时，两只小猫一共又跑了一个周长，所以它们又跑了300÷12=25秒．
依此类推，每25秒两只小猫相遇一次．
由于2分钟共120秒，120÷25=4…20，因此2分钟内两只小猫一共相遇4次.
9．在400米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，同向而行.4分钟后，甲第一次追上乙，又经过10分钟甲第二次追上乙，已知甲的速度是每秒3米，那么乙的速度是多少？
A，B两地相距多少米？
答案：
140米／分；160米
解析：
（1）甲第一次追上乙后，又用了10分钟第二次追上乙，那么在这10分钟内，两人的路程差是环形跑道的周长400米，因此两人的速度差是400÷10=40米／分，并且甲比乙快．
甲的速度是3米／秒，也就是180米／分，所以乙的速度是180-40=140米／分．
（2）考虑甲、乙分别从A，B出发同向而行，直至甲第一次追上乙的过程．
因为甲比乙每分钟多跑40米，所以4分钟就多跑了40×4=160米．
这段追及路程正好就是A，B的距离．所以A，B两点的距离就是160米．
10．有一个周长40米的圆形水池．甲沿着水池边散步，每秒钟走1米；乙沿着水池边跑步，每秒钟跑3.5米，甲、乙两人从同一地点同时出发，同向而行．当乙第8次追上甲时，他还需要跑多少米才能回到出发点？
答案：
32米
解析：
乙第8次追上甲时，比甲多跑了40×8=320米，两人的速度差是3.5-1=2.5米／秒，因此从出发；到乙第8次追上甲，一共经过了320÷2.5=128秒．
这段时间内乙一共跑了3.5×128=448米，‘
而由448÷40=11……8可知，乙一共跑了11圈还多8米，那么还要跑40-8=32米才能回到出发点．
11．甲、乙两人在一条圆形跑道上锻炼．他们分别从跑道某条直径的两端同时出发，相向而行。
当乙走了100米时，他们第一次相遇，相遇后两人继续前进，在甲走完一周前60米处第二次相遇，求这条圆形跑道的周长。
答案：
480米
解析：
如上图，从出发到第一次相遇，甲和乙一共走了AB这一段，正好是周长的一半；从第一次相遇到第二次相遇，甲和乙一共走了整个周长，后一阶段的总路
程是前一阶段的2倍，所花时间也应该是前一阶段的2倍，那么甲、乙两人分别走的路程也应该是前一阶段
的2倍．
也就是说，CD是BC的2倍，所以CD=100×2=200米．
那么乙一共走了100+100×2=300米
这段路程比场地的半周长多60米，那么场地的周长就是（300-60）×2=480米。
12.如图5-2，甲、乙两辆汽车在周长为360米的圆形道上行驶，甲车每分钟行驶20米，它们分别从相距90米的A，B两点同时出发，背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车经过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即调头前进，乙车经过B点继续行驶．请问：
再过多少分钟甲车与乙车再次相遇？
答案：
3分钟
解析：
如图，相遇前乙从B走到了C，相遇后乙从C走回了B．所以这两段路程乙所花的时间是相等的．同样，甲也应该在相遇前和相遇后花了相同的时间．
利用这一点，不难看出甲从出发到第一次相遇时，经过的路程是圆形道上周长的一半，即360÷2=180米．
所以，他在这段路上，共用了180÷20=9分钟．
而这9分钟网，乙车经过的路程是180-90=90米，所以乙车的速度是90÷9=10米／分．
两车分别返回A和B之后，相向而行．
两车的速度和是20+10=30米／分，而A，B相距90米，所以还需要90÷30=3分钟才能相遇．
13．如图5-3，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？
答案：
660米
解析：
当甲从A点跑到B点的时候，正好跑了大跑道的一半，而乙的速度比甲慢，所以他肯定还不到B点，假设他此时所在的点为C．
甲和乙第一次相遇在BC之间．考虑他们谁先回到A点。
甲绕大跑道跑了一圈，需要400÷6=
秒．而乙绕小跑道跑了一圈，需要300÷4=75秒．
也就是说，甲比乙先到A点，当甲到达A点时，乙还没有到A点．
于是当乙跑回A点的时候，甲又跑离A点（75-
）×6=50米．设甲跑到了D点。
那么甲再跑到B点时，乙也不可能到达B点，不妨设乙跑到了E点．因此第二次相遇在BE之间．
那么甲乙分别从D，A出发，到第二次相遇，共跑了400-50=350米，花了350÷（6+4）=35秒．
于是甲从最开始算起，一共跑了400+50+35×6=660米。
14．如图5-4，一个正方形房屋的边长为10米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺时针方向前进．甲每秒行5米，乙每秒行3米．问：
出发后经过多长时间甲第一次看见乙？
答案：
6秒
解析：
开始时甲落后乙10×2=20米，那么当甲落后乙10米时，甲追了20-10=10米．
甲比乙每秒钟多走5-3=2米，那么此时两人走了10÷2=5秒．于是甲走了5×5=25米，位于CD中点处，而乙走了3×5=15米，位于AD中点处．
由于甲比乙快，那么当甲走到左侧边的起点时，乙仍在左侧边上，这时甲第一次看见乙．那么甲从下底边的中点处再花1秒钟走5米，就能第一次看见乙。
由此可知，经过5+1=6秒，甲才能第一次看见乙．
超越篇
1．甲、乙两艘游船顺水航行的速度均是每小时7千米，逆水航行的速度均是每小时5千米．现在甲、乙两船从某地同时出发，甲先逆流而上再顺流而下，乙先顺流而下再逆流而上，1小时后它们都叵到了出发点．请问：
在这1小时内有多少分钟两船的行进方向相同？
答案：
10分钟
解析：
先考虑甲，因为甲顺流和逆流行驶的路程相等，达到的最远距离=顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间
所以时间的倍数关系等于速度的反倍数关系，设顺流时间是5份的话，逆流时间就是7份．
因为甲一共花了1小时，也就是60分钟，所以甲先逆流而上，花了60÷（7+5）×7=35分钟，然后又顺流而下，花了60÷（7+5）×5=25分钟．
类似地，可求出乙先顺流而下花了25分钟，然后逆流而上，又花了35分钟．
对比两人的行进过程可知，甲乙两人在出发25分钟后，有10分钟的行进方向相同，都是逆流而上．
2．甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上．相遇时，甲、乙两船的航程是相等的，相遇后两船继续前进，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来的路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米．如果从两船第一次相遇到第二次相遇间隔1小时20分，那么河水的流速为每小时多少千米？
答案：
每小时0.375千米
解析：
甲乙两船第1次相遇时路程相等，所以它们正好在AB的中点相遇．所以甲船的顺水速度与乙船的逆水速度相同，这段时间内两船共走了AB的全长．
从第1次相遇算起，因为甲乙的方向和速度不变，所以甲到达B地的时候，乙恰好到达A地．两人还是一共走了AB的全长．
甲乙转向直到第二次相遇时，甲逆流，速度变慢；乙顺流，速度变快．两船合起来还是走了AB的全长，注意到甲船由顺水变为逆水，速度减少了2倍的水
速；乙船由逆水变为顺水，速度增加了2倍的水速．所以此时两船的速度和不变，速度差正好是水速的4倍。
因此甲乙的运动过程可以分为三段，每段过程中，它们都一起走完AB的全长，速度均为
，每个阶段所用的时间相同．
而后两段过程所用时间之和恰好是从第一次相遇到第二次相遇的时间．所以甲、乙转向直到第二次相遇时，所花的时间为
小时．
再考虑甲、乙转向直到第二次相遇这一阶段．
根据之前的分析，这段时间甲、乙两船的速度差就是水速的4倍，而甲船比乙船少行1000米，、
所以它们的速度差为1000÷
=1500米／时，水速是1500÷4=375米／时，即0.375千米／时．
3．一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的上游50千米处．一艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同，客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物品距客船5千米．客船在行驶20千米后掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇，求水流的速度．
答案：
0.1千米／分
解析：
观察客船与物品．物品掉落10分钟后，此物品距客船5千米，也就是说物品和客船10分钟一共走了5千米，注意到物品速度就是水速，而客船逆流速度是静水速度减去水速，速度和正好就是静水速度．
于是就能得到客船的静水速度是5÷10=0.5千米／分，这也是货船的静水速度．
再观察货船和物品，因为它们的方向相反，速度和正好也是静水速度0.5千米／分，并且已知它们的路程和是50千米，所以它们从出发到相遇的时间是
50÷0.5=100分钟．
因为货船和物品从乙、甲两地同时相向出发，直到相遇的过程，也就是两船出发到客船追上物品的过程．所以从两船出发，到两船相遇所用的时间也是100
分钟．
如上图所示，客船逆流行进2C千米时，货船也逆流行进了20千米．所以此时两船的距离仍为50千米．随后客船掉头顺流行驶，货船依然逆流行驶，所以
它们的速度和为（0.5+水速）+（0.5-水速）=1千米／分。
从这时开始，直到相遇，它们以这个速度和一起走完了50千米．
所以从客船顺流行驶算起，直到与货船相遇，所用时间为50÷1=50分钟．
所以客船逆流行驶20千米所需时间为100-50=50分钟，逆水速度为20÷50=0.4千米／分．
则水速-0.5-0.4=0.1千米／分。
4．在一条圆形跑道上，甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，反向而行．6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇．则甲、乙两人绕跑道环行一周各需要多少分钟？
答案：
甲20分钟；乙30分钟
解析：
第一次相遇后，他们在4+8=12分钟后又经历了第二次相遇，这两次相遇之间他们恰好一共走了一周，这样，就知他们一起环行一周需要的时间是12
分钟．由于第一次相遇用了6分钟，恰好是走一周所用时间的一半，那么，第一次相遇一共走了半圈，于是A，B的距离恰好是圆形跑道的一半。
如上图所示，甲从A走到B一共花了6+4=10分钟。
而A，B之间的距离恰好是全长的一半，所以甲环行一周需要10×2=20分钟，
又注意到甲走4分钟的路程，乙走了6分钟．
所以甲走20分钟的路程，乙需要走20÷4×6=30分钟，也就是说乙环行一周需要30分钟．
5．有一条长度为4200米的环形车道，甲车从A点出发35秒后，乙车从A点反向出发，两车在B点第一次迎面相遇．如果乙车出发的时候变换方向，即出发的时候和甲车保持同向，那么乙车将在行驶完一圈之前追上甲车，并且追上甲车的地点恰好还在B点．乙车追上甲车之后立刻折返，甲车继续前进，那么两车会在距离A点300米的地方迎面相遇．求乙车的速度。
答案：
20米／秒
解析：
甲车从A点出发35秒后，假设他到达C点．第一次，乙从A点反向出发，甲乙在B点相遇；第二次，乙从A点同向出发，在B点追上甲。
这两次甲的运动过程都没有发生改变，所以经历的时间相同．对应的，乙所经历的时间也相同，于是乙从A沿两个方向到B的路程相等．也就是说，A到B
恰好是全程
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