maple绘图汇总.docx
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maple绘图汇总
和别的语言不同，当我们利用Maple进行二维或者三维绘图时，Maple可以自动地决定所需的点数、坐标轴的位置、标尺的数字、图形的颜色等等繁杂的设置，在默认状态下就可以绘制出令人满意的图形。
当然，你也可以自己设定各种不同的绘图设置，比如更改绘图的坐标系（以画出极坐标、球坐标、或柱坐标下的图形），或者绘图的点数。
下面，我们就由浅入深地介绍Maple中的绘图方法。
6.1二维基本图形绘制
在Maple中，单变量函数曲线的绘制可以使用函数plot。
例如，我们需要绘制函数
在区间[-2，2]上的图形，我们可以这样来实现。
首先用箭头操作符定义函数：
然后，调用plot函数。
键入命令后，所绘制的图形会立即出现在同一个可执行块中。
MapleVRelease5也支持把图形单独绘制在一个窗口中，如图6.1所示，只需要在菜单Option|PlotDisplay选择Window即可。
一般地，函数plot的调用格式为plot（f,a..b,options）。
其中，f是需要绘制的函数，a..b是自变量的变化范围，options是可选参数，用它可以控制图形的绘制，我们将在下一节中详细介绍。
除了可以绘制函数的图形外，plot也可以绘制表达式表示的函数图形，调用格式为plot（expr,x=a..b,options）。
其中，expr是表达式（相信读者一定知道表达式和函数间的区别了），x是表达式中的自变量，因为表达式中没有自变量的信息（甚至可以是多变量的表达式），所以必须指定自变量，并用等式形式给出自变量的变化范围。
图6.1在窗口中绘图
这些基本的绘图功能，Maple和其他的树脂绘图工具（比如Matlab、Origin等）并没有什么区别。
但是，作为符号代数系统，Maple具有其更为强大的功能，它甚至可以在无穷区间上绘图。
例如，我们希望在整个实数轴上绘制上面的函数f的图形：
显然，现在的x轴并不具有均匀的标尺（否则我们将什么也看不到）。
为了显示所有实数轴上的图形，Maple作了一个映射，它将整个实数轴映射到（-1,1）区间上。
这个映射可以近似地表示为
。
我们可以用Maple在整个实数域上绘制这个映射函数，得到的结果接近于一条直线，可见，Maple绘图中使用的从（–∞,∞）到（-1,1）的映射和这个表达式相近。
在Maple中，可以同时绘制几个图形，也就是把几个函数图形绘制在同一张图上。
对于每一个不同的函数或表达式，Maple会自动地选择一种不同的颜色来绘制图形，以加以区别。
绘制多个函数的plot的用法和前面的相近，只是第一个参数是一个函数或表达式的集合（用一对花括弧“{}”括起来）。
Maple的绘图不仅可以在屏幕上进行，还可以输出到不同的设备。
例如，可以输出到打印机文件——PostScript格式的描述文件。
它可以用来直接打印，也可以插入到其他支持PostScript格式的程序中去，例如TEX。
用以上的形式调用interface函数后，图形便会以PostScript格式输出到文件名为plotfile的文件中去了。
如果需要将图形输出重新定向为默认的格式，可以用plotfile=default或者plotfile=inline为参数调用interface。
6.2plot函数的可选参数
在默认情况下，Maple的plot函数会自动地选择各种绘图参数。
例如，它可以自动选择绘图的区间，采样点数，标尺的刻度等等。
Maple选择这些参数的依据是，使最常用的图形绘制尽可能简单易行，而且具有可以认可的质量。
当然，为了绘制某些特殊要求的图形，我们也可以人为地确定这些绘图参数。
我们已经知道，对于单变量函数曲线的绘制，plot的第二个参数是横坐标（自变量）的取值范围；如果要限制纵坐标的取值范围，就需要在调用plot时将它作为第三个参数。
在上面这个例子中，我们在自变量取值区间（-6,6）上绘制表达式
的图像，而且设定了纵坐标的范围[0,1]，这样，图像在[0,1]以外的部分就被切除了。
通常情况下这一参数好像并没有必要，但有的时候，函数在我们关心的区域内有奇点，或者有远大于其他地方函数值的极值点。
这时在使用默认的参数绘图，就会得到一些具有“尖峰”的函数图形，而其他地方的函数特征都被掩盖掉了。
比如我们要绘制正切函数的图像，在默认情况下得到的曲线是这样的：
为了得到可以恰当地反映函数特征的曲线，这时就必须限制纵坐标的显示区间。
比如对于正切函数的图像，我们在[-10,10]的纵坐标范围中对其进行绘制，得到的曲线就比较令人满意：
关于绘图的比例问题，默认情况下，Maple自动调整横纵坐标的比例，使横纵坐标上的最值都可以被正常显示（如果函数在给定区间里有最值的话）。
这样，横纵坐标的显示比例往往是不相同的，如果要使横纵坐标以相同的比例显示，可以加入控制参数scaling=constrained。
如果所要绘制的函数具有单变量的子程序形式，那么第二个参数可以略写为自变量的取值范围，而无须指定自变量名称，如前例中正切函数的曲线绘制所示。
这样，横纵坐标上都只有刻度，而没有名称。
如果在限制取值范围的同时，还指定了自变量和函数名称，那么坐标轴上也将分别标上它们的名称。
而且，在plot中，我们还可以指定图像的标题，只需要在plot中加入可选参数title=标题，当然标题当中一般都含有特殊字符，例如空格、括弧等等，所以需要用反向撇号“``”将它括起来（也可以用一对双引号括起来，作为字符串）。
在上面的例子中，我们还使用了两个附加参数，xtickmarks=8和ytickmarks=4，它们分别指定了横、纵坐标上刻度值的个数。
上面这种绘图方法，一气呵成，把所有要加的东西都一次加上，这样当然方便；但有时我们需要逐步的在图像中加入各种元素，然后一同显示。
这时，我们可以把图形对象赋值给一个变量（这个变量的类型是函数型的）。
把我们需要的图形元素依次赋给不同的变量，然后调用plots工具包中的函数display就可以将它们显示在一张图上了。
我们还可以用textplot在图形的任意位置进行标注。
plots[textplot]函数的第一个参数是一个有序表的集合，其中每个有序表表示一个标注。
有序表由三个元素组成，前两个表示标注点的坐标，第三个是需要标注的数值、变量或者字符串（不管什么类型，输出时都会转换成为字符串输出）。
plots[textplot]的第二个参数align=t是可选参数，它确定标注的字符串相对于给定坐标的对齐方式，其中t可以是BELOW，RIGHT，ABOVE，LEFT中的一个或几个的集合，在默认情况下，plots[textplot]将字符串的中心位置和给定坐标对齐。
plots[display]函数可以用来显示图形对象，它可以显示一个图形或者几个图形的集合。
在绘图时，Maple首先计算曲线上的一些点的坐标（点的个数可以用参数“numpoints=点数”人为地设定），然后，在默认情况下，Maple用直线段把这些离散的点连成一条曲线。
但有时需要绘制离散的点构成的图形，可以设置参数style=point（默认情况下为style=line）。
对于多边形，还可以将绘图方式style设成为patch，这时绘制的是经过填充的多边形。
在用point方式绘制曲线时，Maple会用一些以函数点为圆心的小圆圈来绘图，例如：
除了绘制函数或者表达式的曲线外，plot还可以用于对给定的离散数据绘图，这时同样也可以选择point的绘图方式。
例如，我们要在图上绘制前9个素数，可以把这9个素数及其序号组成的有序表作为第一个参数传给plot：
用已知数据绘图往往用在图形不能够显式地写成解析表达式的情况，比如在下面这个例子中，我们需要绘制以1.0为初值对余弦函数进行迭代的图形。
首先，需要生成一个点的有序表：
[[1.0,cos（1.0）],[cos（1.0）,cos（1.0）],[cos（1.0）,cos（cos（1.0））],[cos（cos（1.0））,cos（cos（1.0））],[cos（cos（1.0））,cos（cos（cos（1.0）））],…]。
这样的有序表，最简便的生成方法是利用函数符合操作符@：
这里，trunc函数是向下取整函数，它是用来获得cos的复合次数的；而cos@@（num）则表示cos函数复合运算num次。
得到了这些数据对之后，就可以绘制图形了，为了使整个迭代过程更加清楚，我们同时还要绘制两个函数的图形——y=x和y=cos（x）。
我们将它们分别保存在不同的变量中。
由于图形是分别绘制的，所以Maple不对它们取不同的颜色；为了加以区别，我们用colour参数设置绘图的颜色。
Maple中对于常用的颜色都有相应的名称，请参考再线帮助plot,colour。
最后，我们用plots工具包中的函数display绘制这些图形，并且加上标题。
6.3二维图形对象的结构
为了能清楚地知道Maple绘图的可靠性，我们必须了解它的绘图机制。
Maple中的绘图是分两步走的：
其一，计算出所有的绘图点，再将它存入到图形对象——PLOT中；其二，在屏幕或者其他输出设备中进行图形的绘制。
在这一小节中，我们把介绍的重点放在第一步中。
Maple的图形对象实际上是一个函数调用，plot函数实际上就是生成了一个这样的函数——PLOT。
PLOT函数有多个参数，分别确定了绘图所需的点的坐标，绘图的方式，坐标轴的模式等等。
我们也可以直接调用PLOT函数生成图形对象，例如，可以画一个一致三个顶点的三角形：
我们提供了该函数的部分参数——CURVES（…）和AXESSTYLE（…），分别表示曲线的点，坐标轴的模式。
其余的参数，例如COLOUR（绘图的颜色）、VIEW（绘图范围）、AXESTICKS（标尺刻度）等，Maple都自动选择了默认的情况。
那用plot函数所生成的图形对象是不是和它有所不同呢？
作为例子，我们来看一看函数
的图像在Maple中的结构。
（由于点的数据过多，在这里予以省略）
不难发现，除了特殊的绘图要求需要有较多参数外，这个数据结构和前面的是相同的。
在Maple中只要再次输入它，就可以得到它所表示的图形：
调用绘图函数plot时，Maple首先对表达式或函数求值，然后在采样点上求它的数值结果。
为了提高运算速度，Maple在这里使用的是硬件浮点（详见第一章）。
为了提高图形的质量，Maple在选择采样点的时候采用的是逐步求精的方法。
首先，计算绘图区间中几乎等距的49个采样点上的函数值；然后，Maple会检验这些点之间的连续程度，检验时用的算法很好理解，想象这些点依次用直线段相连，相邻的两条直线段之间会形成一定的夹角，如果夹角过大，也就是在这里的连续性不好，Maple会适当增加附近的采样点数，以提高图形的质量。
但作为一个成熟的计算机软件，Maple决不会无限制地把采样点数增加下去。
图形的最高分辨率由选项resolution确定，resolution的默认值是200。
也就是说，默认情况下，采样点数总是介于49~200之间。
实际上，在上一个例子的图形中，Maple已经在局部增加了采样点数。
这在完整的图形上几乎看不出来。
但是可以利用plots工具包中的函数replot将图形在局部放大，就可以清楚地看到这一点——图形的许多个采样点之间间距不同（如下图所示），这就是利用了上面的逐步求精算法的结果。
但有时，对于一些局部连续性不是太好的函数，Maple自动取的采样点仍不能使我们满意。
例如，表达式
在区间（-5,5）上的图像：
这时，人为地增加采样点数，可以提高图形的质量。
采样点数可以在plot函数中用参数“numpoints=预定的采样点数”给出。
前面我们所作的绘图参数的改变，都是对于单个图形对象而言的，如果需要改变默认的绘图参数，可以调用函数setoptions。
6.4特殊二维图形的绘制
6.4.1参数曲线的绘制
在Maple中，对于笛卡尔系下的参数曲线
，
调用plot函数的标准格式是plot（[f（t）,g（t）,t=a..b],options），其中a..b是绘图的范围，options是可选参数，它的可选参数和绘制一般平面图形式相同的。
作为例子，我们来画一条平面螺线：
当所需绘制的图形是用函数而非表达式给定时，就不能再给定它的自变量了，例如：
6.4.2极坐标下的绘图
Maple的极坐标绘图和二维参数曲线的绘制极其相似，函数调用格式相同，所不同的是需要增加一个控制参数coords=polar，极坐标绘图的一般格式为：
plot（[r（t）,φ（t）,t=t0..t1],coords=polar,options）。
其中r（t）和φ（t）分别是向径和辐角的函数。
例如，我们用它在极坐标下绘制蜗线（cochleoid）：
绘制极坐标图形，不仅可以通过在plot中加参数的方法实现，还可以直接调用plots工具包中的函数polarplot，它的调用格式和输出结果都是和上面的调用相同的。
作为例子，我们来看一个有趣的图形，它看起来有点像Maple的商标图案——一片枫叶。
6.4.3平面代数曲线的绘制
在Maple的plots工具包中，还有一个函数implicitplot，利用它可以绘制用一个二元方程隐式定义的二维平面曲线。
例如：
在Maple内部，这样的隐函数f（x,y）=0的图形被视为一个空间曲面（由方程所定义的二维函数f（x,y））和z平面的交线，函数implicitplot的算法就是基于这一点的。
由于求交算法会用到二维曲面的梯度，所以这一算法在函数的奇点附近，也就是
的点附近，会遇到无法逾越的障碍。
最典型的一个例子是由方程：
所定义的曲线，它有两个奇点，（0,0）和（0,1）。
即使试用很高的分辨率（用grid参数设置），implicitplot仍然不能正确地画出它的图形，而且计算所需的时间和资源是令人无法忍受的。
这个算例是在Pentium200上进行的，它运行了将近两分钟，还占据了20M的内存（可以在窗口的状态条上看出）。
然而，得到的图形还是不理想，尤其在原点附近。
所以，我们不能过分依赖于Maple的implicitplot；如果可以将表达式写成显式的或者参数形式的，就不要直接用隐式表达式画图。
例如，上面这个例子就可以在极坐标中写成为显式的表达式。
有了显式表达式，就可以用polarplot在极坐标中绘制图形了：
相比之下，这个图形比前面的要好得多，而且绘图速度也有极大的提高。
6.4.4对数坐标下的绘图
在Maple的plots工具包中，还有对数坐标下的绘图函数logplot和双对数坐标下的绘图函数loglogplot。
它们的用法都和plot类似，也都可以用于绘制表达式，函数和离散数据。
在这里，就不一一详细介绍了，以一个简单的例子来说明它们的使用。
对数坐标绘图往往用在数据处理上，因为在对数坐标上可以看出函数的指数关系。
作为例子，我们用统计工具包中的随机函数random生成一组具有正态扰动的数据。
然后，用logplot来绘制图形：
双对数坐标绘图函数loglogplot的使用也与此类似，这里不再赘述。
6.4.5共形映射的图形绘制
Maple的绘图工具包plots中还有一个共形映射（保角变换，conformalmapping）的绘图函数conformal。
它可以绘制复平面上的一个矩形区域经过给定变换后的图形，还可以在中间绘制网格。
作为例子，我们来看一个常用的变换ez，它把复平面上一个矩形区域映射成一个半环形的区域。
可以用conformal获得变换后的网格图形：
6.5二维绘图的注意事项
6.5.1图形走样
前面曾经说过，Maple在绘图是采用的是逐步求精的算法，逐渐增加采样点数。
但它仅仅在采样点明显不足时——也就是图形不连续时才增加采样点数。
这样，有时难免会损失绘图的局部精度。
因为根据采样定理，采样率必须高于最高频率的两倍，否则会发生频率混淆。
而如果Maple第一次采样就低于最高频率，而且因为频率混淆是图形呈现出虚假的“连续”，这时走样就难于避免了。
例如，我们用默认采样点数绘制x+sin（2πx）在区间（0,50）上的图形，就会损失大部分的局部细节：
当然，这里我们知道图形的本来面目，所以发生了走样可以察觉；但有时并也不清楚所绘制图形的特征，这时就需要格外小心，必要时可以适当增加采样点数（用numpoints作为附加参数）。
6.5.2常见的错误
对于用plot（f（x）,x=xmin..xmax）形式调用的函数f的图形绘制，Maple首先把f（x）化成为x的表达式，然后才对其进行数值计算。
在一般情况下，这样的调用是不会有问题的，但如果f是一个分段函数，或者数值函数，这样的调用就会发生问题。
例如下面这个分段函数：
因为函数中有分支结构存在，Maple不能把它化成为符号表达式，所以无法继续进行下去。
解决这个问题的方法之一是在它外面加上单引号——延迟它的求值：
不过，对于单变量函数，最方便的方法还是用函数名的直接调用：
plot（f,xmin..xmax）。
6.6基本三维图形的绘制
在Maple中，绘制由二元函数确定的三维空间中的曲面，和绘制一元函数的图形同样方便，只需要调用plot3d，并且确定变量的范围就可以了。
例如，绘制曲面cos（x,y）在-3上面的命令是以下的标准调用格式的一个例子。
一般地，对于二元函数或者表达式f（x,y），绘制它所确定的曲面，plot3d的调用格式如下：
plot3d（f（x,y）,x=a..b,y=c..d,options）;
其中，a..b和c..d分别是自变量x和y的绘图取值范围，而options是可选参数，它指定绘图的选项，对它的详细介绍将在下一节中进行。
和plot一样，plot3d也有函数的调用形式。
对于函数f确定的曲面，标准调用形式为：
plot3d（f,a..b,c..d,options）;
下面，我们再用函数形式的调用绘制前面的图形，而且在调用时提供了一些绘图参数：
6.7三维绘图的选项
如同二维绘图一样，三维绘图也有许多的选项，使用户能够自定输出图形的形式。
所有这些选项，都可以通过在plot3d中附加绘图参数实现。
在MapleVRelease5forWindows中，也可以用鼠标选中绘制好的图形，然后在窗口的菜单中相应的选项中进行改动；在图形上单击鼠标右键弹出的菜单中也可作相同的改动。
在这一节中，我们将对于常用的绘图选项分别加以介绍。
6.7.1style选项
style选项决定着图形的样式，可以在函数调用中用“style=样式名称”指定，也可以在菜单Style中选择相应的样式。
对于三维绘图，默认的样式是PATCH，也就是经过填充后的曲面图形。
对于三维曲面，它表现为有一些四边形的小面片组成的近似曲面。
对于其他的绘图样式，我们列表加以说明：
表6.1三维图形的样式
样式名称
对应的菜单项
对应的样式
PATCH
Patch
填充后的面片
PATCHNOGRID
Patchw/ogird
无线框的填充面图
PATCHCONTOUR
Patchandcontour
带等高线的填充面图
POINT
Point
离散点图
WIREFRAME
或LINE
Wireframe
线框图
HIDDEN
Hiddenline
消隐后的线框图
CONTOUR
Contour
等高线图
在菜单Style下，还可以设置点、线的样式，线宽，和网格形状，分别对应着菜单项Symbol，LineStyle，LineWidth，GridStyle。
其中，点的样式和线的样式分别在绘制点图和线图时才会起作用。
6.7.2着色选项
在Maple的曲面图形中，着色方式可以用“shading=着色方式”在调用plot3d时加入；对于已经绘制好的图形，也可以在菜单Color中选择。
着色方式的含义，及对应的菜单项请见下表：
表6.2三维图形的着色方式
着色方式
对应的菜单项
方式的具体含义
XYZ
XYZ
对X+Y+Z相等的点采用相同的色彩
XY
XY
对X+Y相等的点采用相同的色彩
Z
Z
根据高度（Z）不同着色（红蓝色）
ZGREYSCALE
Z（Grayscale）
根据高度（Z）用灰度着色
ZHUE
Z（Hue）
根据高度（Z）用全彩色着色
NONE
NoColoring
不着色
注：
shading=NONE和style=PATCH联合使用可以生成单色的线框图。
6.7.3坐标轴选项
使用axes选项或者菜单Axes可以确定绘图时坐标轴的绘制方式。
Maple中有四种坐标轴绘制方式：
BOXED，NORMAL，FRAME，NONE。
对于三维图形，默认的选项是NONE，也就是不绘制坐标轴。
BOXED是绘制框式的坐标轴，将图形绘制在一个立方体框中；NORMAL是通常我们在数学中使用的坐标轴，它绘制于图形的中部，接近原点的地方，但对于三维图形，这样的坐标轴会影响图形的显示。
一般而言，FRAME是比较好的选择，它只在图形边缘绘制坐标轴，完全不影响图形本身。
zφ
视线
0y
x
θ
图6.1空间朝向的确定
6.7.4
空间朝向和投影
在Maple中，三维图形的空间朝向是用视线和空间笛卡尔坐标系的两个夹角θ和φ确定的，如图6.2所示。
可以在调用plot3d时用选项orientation=[θ,φ]设置。
角θ控制着图形在水平方向的转动，而角φ控制着图形的俯仰角度，φ越大，视线相对于图形就越低。
φ=90（度）时，就意味着从水平方向观察图形。
图形的朝向控制没有菜单选项，但是可以利用鼠标直接进行调整。
只需在图形上按住鼠标左键，朝所需转动的方向拖动，图形的朝向就会相应地改变，操作十分方便。
6.7.5透视投影
三维空间的图形，要显示在平面上，必须采用一定的投影方式。
在Maple中，我们可以用绘图选项projection确定图形的投影方式。
Projection必须设定成一个介于0和1之间的数值，数值的大小表示视点距离物体的远近，0表示非常贴近被观察物体，绘图的效果类似于鱼眼镜头的摄影效果，透视效果非常明显；1表示距离被观察物体无穷远，也就是平行投影，没有透视效果。
Maple中有三个预设的投影效果FISHEYE，NORMAL，ORTHOGONAL，分别对应着取0，0.5，1的情况。
在菜单Projection中也有相应的选项NoPerspective（无透视），NearPerspective（近距透视），MediumPerspective（中距透视），FarPerspective（远透视）对应着不同的投影方式。
为了体会不同投影方式的效果，我们来看同一个曲面在不同透视距离时的图形（注意图形朝向也就是视角并未发生改变）：
（a）无透视（NoPerspective）（b）近距透视（NearPerspective）
（c）中距透视（MediumPerspective）（d）远透视（FarPerspective）
图6.2曲面的不同透视效果
6.7.6网格大小
和二维绘图不同，在三维绘图中Maple没有相应的逐步求精采样算
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