利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
∴x∈(k∈Z).
答案:
(k∈Z)
[通法在握]
定义法求三角函数的3种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值.
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
[演练冲关]
1.
如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cosα的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选D 因为点A的纵坐标yA=,且点A在第二象限,又因为圆O为单位圆,所以A点横坐标xA=-,由三角函数的定义可得cosα=-.
2.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
A.-B.-
C.D.
解析:
选B 设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点,则cosθ=.
当t>0时,cosθ=;当t<0时,cosθ=-.
因此cos2θ=2cos2θ-1=-1=-.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:
选B 因为点P在第三象限,所以所以α的终边在第二象限,故选B.
2.设角α终边上一点P(-4a,3a)(a<0),则sinα的值为( )
A. B.-
C. D.-
解析:
选B 设点P与原点间的距离为r,
∵P(-4a,3a),a<0,
∴r==|5a|=-5a.
∴sinα==-.
3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )
A.B.
C.D.2
解析:
选C 设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以r=αr,
所以α=.
4.在直角坐标系中,O是原点,A(,1),将点A绕O逆时针旋转90°到B点,则B点坐标为__________.
解析:
依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,
设点B坐标为(x,y),所以x=2cos120°=-1,y=2sin120°=,即B(-1,).
答案:
(-1,)
5.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=________.
解析:
因为sinθ==-,
所以y<0,且y2=64,所以y=-8.
答案:
-8
二保高考,全练题型做到高考达标
1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A.B.
C.-D.-
解析:
选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A、B不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的,即为-×2π=-.
2.(2016·福州一模)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=x,则tanα=( )
A.B.
C.-D.-
解析:
选D 因为α是第二象限角,所以cosα=x<0,
即x<0.又cosα=x=.
解得x=-3,所以tanα==-.
3.已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2,-2cos2),则sinα等于( )
A.sin2B.-sin2
C.cos2D.-cos2
解析:
选D 因为r==2,由任意三角函数的定义,得sinα==-cos2.
4.设θ是第三象限角,且=-cos,则是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析:
选B 由θ是第三象限角,知为第二或第四象限角,∵=-cos,∴cos<0,综上知为第二象限角.
5.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析:
选C 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围一样.
6.与2017°的终边相同,且在0°~360°内的角是________.
解析:
∵2017°=217°+5×360°,
∴在0°~360°内终边与2017°的终边相同的角是217°.
答案:
217°
7.已知α是第二象限的角,则180°-α是第________象限的角.
解析:
由α是第二象限的角可得90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),则180°-(180°+k·360°)<180°-α<180°-(90°+k·360°)(k∈Z),即-k·360°<180°-α<90°-k·360°(k∈Z),所以180°-α是第一象限的角.
答案:
一
8.一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的,面积等于圆面积的,则扇形的弧长与圆周长之比为________.
解析:
设圆的半径为r,则扇形的半径为,记扇形的圆心角为α,
则=,
∴α=.
∴扇形的弧长与圆周长之比为==.
答案:
9.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围为____________________.
解析:
如图所示,找出在(0,2π)内,使sinx=cosx的x值,sin=cos=,sin=cos=-.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈.
答案:
10.已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解:
设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
(1)由题意可得
解得或
∴α==或α==6.
(2)法一:
∵2r+l=8,
∴S扇=lr=l·2r≤2=×2=4,
当且仅当2r=l,即α==2时,扇形面积取得最大值4.
∴圆心角α=2,弦长AB=2sin1×2=4sin1.
法二:
∵2r+l=8,
∴S扇=lr=r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)2+4≤4,
当且仅当r=2,即α==2时,扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB=2sin1×2=4sin1.
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是( )
A.sinα+cosα<0B.tanα-sinα<0
C.cosα-tanα<0D.tanαsinα<0
解析:
选B ∵α是第三象限角,∴sinα<0,cosα<0,tanα>0,则可排除A、C、D.
2.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )
A.1 B.-1
C.3 D.-3
解析:
选B 由α=2kπ-(k∈Z)及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.
所以y=-1+1-1=-1.
3.已知sinα<0,tanα>0.
(1)求α角的集合;
(2)求终边所在的象限;
(3)试判断tansincos的符号.
解:
(1)由sinα<0,知α在第三、四象限或y轴的负半轴上;
由tanα>0,知α在第一、三象限,故α角在第三象限,
其集合为.
(2)由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
得kπ+<<kπ+,k∈Z,
故终边在第二、四象限.
(3)当在第二象限时,tan<0,
sin>0,cos<0,
所以tansincos取正号;
当在第四象限时,tan<0,
sin<0,cos>0,
所以tansincos也取正号.
因此,tansincos取正号.
第二节
同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1;
(2)商数关系:
tanα=.
2.诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+
α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cos_α
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cos_α
sinα
-sinα
组序
一
二
三
四
五
六
正切
tanα
tanα
-tanα
-tan_α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变,符号看象限
[小题体验]
1.已知sin=,α∈,则sin(π+α)=______.
答案:
-
2.若sinθcosθ=,则tanθ+的值为________.
答案:
2
1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:
去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
[小题纠偏]
1.已知α是第二象限角,sinα=,则cosα=________.
答案:
-
2.
(1)sin=________,
(2)tan=________.
答案:
(1)
(2)
[题组练透]
1.化简sin(-1071°)sin99°+sin(-171°)sin(-261°)的结果为( )
A.1 B.-1
C.0D.2
解析:
选C 原式=(-sin1071°)·sin99°+sin171°·sin261°
=-sin(3×360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)·sin(270°-9°)=sin9°cos9°-sin9°cos9°=0.
2.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}
C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}
解析:
选C 当k为偶数时,A=+=2;
k为奇数时,A=-=-2.
3.已知tan=,则tan=________.
解析:
tan=tan
=tan
=-tan=-.
答案:
-
4.(易错题)设f(α)=,则f=________.
解析:
∵f(α)=
==
=,
∴f====.
答案:
[谨记通法]
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是:
“负化正,大化小,化到锐角就好了.”
2.利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形;
(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值,如“题组练透”第4题.
[典例引领]
1.已知=5,则sin2α-sinαcosα的值为( )
A.- B.-
C.D.
解析:
选D 依题意得:
=5,
∴tanα=2.
∴sin2α-sinαcosα
=
===.
2.若α是三角形的内角,且tanα=-,则sinα+cosα的值为________.
解析:
由tanα=-,得sinα=-cosα,
将其代入sin2α+cos2α=1,
得cos2α=1,∴cos2α=,易知cosα<0,
∴cosα=-,sinα=,
故sinα+cosα=-.
答案:
-
[由题悟法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦
互化
主要利用公式tanθ=化成正弦、余弦,或者利用公式=tanθ化成正切
表达式中含有sinθ,cosθ与tanθ
“1”的
变换
1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan=(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化
表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ
[即时应用]
1.若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选D 法一:
因为α为第四象限的角,故cosα===,
所以tanα===-.
法二:
因为α是第四象限角,且sinα=-,所以可在α的终边上取一点P(12,-5),则tanα==-.故选D.
2.已知sinθ+cosθ=,θ∈,则sinθ-cosθ的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选B 因为(sinθ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sinθ·cosθ=1+2sinθcosθ=,所以2sinθcosθ=,则(sinθ-cosθ)2=sin2θ+cos2θ-2sinθ·cosθ=1-2sinθcosθ=.
又因为θ∈,所以sinθ所以sinθ-cosθ=-.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.若α∈,sinα=-,则cos(-α)=( )
A.- B.
C.D.-
解析:
选B 因为α∈,sinα=-,所以cosα=,即cos(-α)=.
2.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于( )
A.-B.-
C.D.
解析:
选D ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),
∴-sinθ=-cosθ,∴tanθ=.∵|θ|<,∴θ=.
3.(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos的值为( )
A.B.-
C.2D.-
解析:
选A 由题意可得tanα=2,
所以cos=sin2α===.故选A.
4.已知α∈,sinα=,则tanα=________.
解析:
∵α∈,∴cosα=-=-,
∴tanα==-.
答案:
-
5.如果sin(π+A)=,那么cos的值是________.
解析:
∵sin(π+A)=,∴-sinA=.
∴cos=-sinA=.
答案:
二保高考,全练题型做到高考达标
1.已知tan(α-π)=,且α∈,则sin=( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选B 因为tan(α-π)=,所以tanα=.
又因为α∈,所以α为第三象限的角,
sin=cosα=-.
2.已知sin=,则cos=( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选D ∵cos=sin
=sin=-sin=-.
3.已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,若f(2016)=5,则f(2017)的值是( )
A.2B.3
C.4D.5
解析:
选B ∵f(2016)=5,
∴asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)+4=5,
即asinα+bcosβ=1.
∴f(2017)=asin(2017π+α)+bcos(2017π+β)+4=-asinα-bcosβ+4=-1+4=3.
4.(2017·广州模拟)当θ为第二象限角,且sin=时,的值是( )
A.1B.-1
C.±1D.0
解析:
选B ∵s