九年级数学上册知识点归纳.docx

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九年级数学上册知识点归纳

22.1一元二次方程

知识点一一元二次方程定义

等号两边都是整式，只具有一种未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只具有一种未知数；②未知数最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程普通形式

普通形式：

ax²+bx+c=0（a≠0）.其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程根

使一元二次方程左右两边相等未知数值叫做一元二次方程解，也叫做一元二次方程根。

方程解定义是解方程过程中验根根据。

22.2降次——解一元二次方程

22.2.1配办法

知识点一直接开平办法解一元二次方程

（1）如果方程一边可以化成含未知数代数式平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

普通地，对于形如x²=a（a≥0）方程，依照平方根定义可解得x1=,x2=.

（2）直接开平办法合用于解形如x²=p或（mx+a）²=p（m≠0）形式方程，如果p≥0，就可以运用直接开平办法。

（3）用直接开平办法求一元二次方程根，要对的运用平方根性质，即正数平方根有两个，它们互为相反数；零平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平办法解一元二次方程环节是：

①移项；②使二次项系数或具有未知数式子平方项系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程根。

知识点二配办法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程办法，叫做配办法，配方目是降次，把一种一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配办法普通环节可以总结为：

一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号右边；⑵方程两边都除以二次项系数；⑶方程两边都加上一次项系数一半平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程解。

22.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

（1）普通地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），如果b²-4ac≥0，那么方程两个根为x=

，这个公式叫做一元二次方程求根公式，运用求根公式，咱们可以由一元二方程系数a,b,c值直接求得方程解，这种解方程办法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式推导过程，就是用配办法解普通形式一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）过程。

（3）公式法解一元二次方程详细环节：

①方程化为普通形式：

ax²+bx+c=0（a≠0），普通a化为正值②拟定公式中a,b,c值，注意符号；③求出b²-4ac值；④若b²-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac值代入公式即可求解，若b²-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根鉴别式

式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0（a≠0）根鉴别式，通惯用希腊字母△表达它，即△=b²-4ac.

△＞0，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根

一元二次方程△=0，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根

根鉴别式

△＜0，方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实数根

22.2．3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程一边化为0，而另一边分解成两个一次因式积，进而转化为求两个求一元一次方程解，这种解方程办法叫做因式分解法。

（2）因式分解法详细环节：

①移项，将所有项都移到左边，右边化为0；②把方程左边分解成两个因式积，可用办法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一种因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程解。

知识点二用适当办法解一元一次方程

办法名称理论根据合用范畴

直接开平办法平方根意义形如x²=p或（mx+n）²=p（p≥0）

配办法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配办法所有一元二次方程

因式分解法当ab=0，则a=0或b=0一边为0，另一边易于分解成两个一次因式积一元二次方程。

22.2.4一元二次方程根与系数关系

若一元二次方程x²+px+q=0两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=-b/a，,x1x2=c/a

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题普通环节：

（1）审：

是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间等量关系。

（2）设：

是指设元，也就是设出未知数。

（3）列：

就是列方程，这是核心环节,普通先找出可以表达应用题所有含义一种相等含义，然后列代数式表达这个相等关系中各个量，就得到具有未知数等式，即方程。

（4）解：

就是解方程，求出未知数值。

（5）验：

是指检查方程解与否保证明际问题故意义，符合题意。

（6）答：

写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题几种常用类型

（1）数字问题三个持续整数：

若设中间一种数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。

三个持续偶数（奇数）：

若中间一种数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数表达办法：

设百位、十位、个位上数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.

（2）增长率问题设初始量为a，终结量为b，平均增长率或平均减少率为x，则通过两次增长或减少后等量关系为a（1

）²=b。

（3）利润问题利润问题惯用相等关系式有：

①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率

（4）图形面积问题依照图形面积与图形边、高等有关元素关系，将图形面积用具有未知数代数式表达出来，建立一元二次方程。

二次函数

1.定义：

普通地，如果y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，

），那么y叫做x二次函数.

2.二次函数y=ax²性质

（1）抛物线y=ax²顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数y=ax²图像与符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数y=ax²+bx+c图像是对称轴平行于（涉及重叠）y轴抛物线.

4.二次函数y=ax²+bx+c用配办法可化成：

y=a（x-h）²+k形式，其中h=-b/2a,k=4ac-b²/4a.

5.二次函数由特殊到普通，可分为如下几种形式：

①y=ax²；②y=ax²+k；③y=a（x-h）²；④y=a（x-h）²+k；⑤y=ax²+bx+c.

6.抛物线三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线开口方向：

当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；

相等，抛物线开口大小、形状相似.

②平行于y轴（或重叠）直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线位置.几种不同二次函数，如果二次项系数a相似，那么抛物线开口方向、开口大小完全相似，只是顶点位置不同.

8.求抛物线顶点、对称轴办法

（1）公式法：

，∴顶点是

，对称轴是直线

.

（2）配办法：

运用配办法将抛物线解析式化为

形式，得到顶点为（h,k），对称轴是

.

（3）运用抛物线对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴轴对称图形，因此对称轴连线垂直平分线是抛物线对称轴，对称轴与抛物线交点是顶点.

★用配办法求得顶点，再用公式法或对称性进行验证，才干做到万无一失★

9.抛物线

中，a,b,c作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与

中a完全同样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴位置.由于抛物线

对称轴是直线

故：

①b=0时，对称轴为y轴；

②

（即a、b同号）时,对称轴在y轴左侧；③

（即a、b异号）时,对称轴在y轴右侧.

（3）c大小决定抛物线

与y轴交点位置.

当x=0时，y=c，∴抛物线

与y轴有且只有一种交点（0，c）：

1c=0，抛物线通过原点；②c＞0,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线对称轴在y轴右侧，则

.10.几种特殊二次函数图像特性如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

x=0（y轴）（0,0）

当a＞0时x=0（y轴）（0,k）

开口向上x=h（h,0）

当a＜0时x=h（h,k）

开口向下

11.用待定系数法求二次函数解析式

（1）普通式：

.已知图像上三点或三对x、y值，普通选取普通式.

（2）顶点式：

.已知图像顶点或对称轴，普通选取顶点式.

（3）交点式：

已知图像与x轴交点坐标x1、x2，普通选用交点式：

.

12.直线与抛物线交点

（1）y轴与抛物线

得交点为（0,c）

（2）与y轴平行直线x=h与抛物线

有且只有一种交点（h，

）.

（3）抛物线与x轴交点

二次函数

图像与x轴两个交点横坐标x1、x2，是相应一元二次方程

两个实数根.抛物线与x轴交点状况可以由相应一元二次方程根鉴别式鉴定：

①两个交点

抛物线与x轴相交；

2一种交点（顶点在x轴上）

抛物线与x轴相切；

③没有交点

抛物线与x轴相离.

（4）平行于x轴直线与抛物线交点

同（3）同样也许有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标

是两个实数根.

（5）一次函数

图像l与二次函数

图像G交点，由方程组

解数目来拟定：

①方程组有两组不同解时

l与G有两个交点；

3程组只有一组解时

l与G只有一种交点；

4程组无解时

l与G没有交点.

（6）抛物线与轴两交点之间距离：

若抛物线

与x轴两交点为

，由于

、

是方程

两个根，故

13．二次函数与一元二次方程关系：

（1）一元二次方程

就是二次函数

当函数y值为0时状况．

（2）二次函数

图象与x轴交点有三种状况：

有两个交点、有一种交点、没有交点；当二次函数图象

与x轴有交点时，交点横坐标就是当

时自变量x值，即一元二次方程

根．

（3）当二次函数

图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程

有两个不相等实数根；当二次函数

图象与x轴有一种交点时，则一元二次方程

有两个相等实数根；当二次函数图象与x轴没有交点时，则一元二次方程

没有实数根

14.二次函数应用：

（1）二次函数惯用来解决最优化问题，此类问题事实上就是求函数最大（小）值；

（2）二次函数应用涉及如下方面：

分析和表达不同背景下实际问题中变量之间二次函数关系；运用二次函数知识解决实际问题中最大（小）值．

15.解决实际问题时基本思路：

（1）理解问题；

（2）分析问题中变量和常量；（3）用函数表达式表达出它们之间关系；（4）运用二次函数关于性质进行求解；（5）检查成果合理性，对问题加以拓

第二十三章旋转

23.1图形旋转

知识点一旋转定义

在平面内，把一种平面图形绕着平面内某一点O转动一种角度，就叫做图形旋转，点O叫做旋转中心，转动角叫做旋转角。

咱们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转三要素。

知识点二旋转性质

旋转特性：

（1）相应点到旋转中心距离相等；

（2）相应点与旋转中心所连线段夹角等于旋转角；（3）旋转先后图形全等。

理解如下几点：

（1）图形中每一种点都绕旋转中心旋转了同样大小角度。

（2）相应点到旋转中心距离相等，相应线段相等，相应角相等。

（3）图形大小和形状都没有发生变化，只变化了图形位置。

知识点三运用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：

（1）任意一对相应点与旋转中心所连线段夹角等于旋转角；

（2）相应点到旋转中心距离相等，它是运用旋转性质作图核心。

环节可分为：

①连：

即连接图形中每一种核心点与旋转中心；

②转：

即把直线按规定绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

③截：

即在角另一边上截取核心点到旋转中心距离，得到各点相应点；

④接：

即连接到所连接各点。

23.2中心对称

知识点一中心对称定义

中心对称：

把一种图形绕着某一种点旋转180°，如果它可以与另一种图形重叠，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意如下几点：

中心对称指是两个图形位置关系；只有一种对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形可以完全重叠。

知识点二作一种图形关于某点对称图形

要作出一种图形关于某一点成中心对称图形，核心是作出该图形上核心点关于对称中心对称点。

最后将对称点按照原图形形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三中心对称性质

有如下几点：

（1）关于中心对称两个图形上相应点连线都通过对称中心，并且都被对称中心平分；

（2）关于中心对称两个图形可以互相重叠，是全等形；

（3）关于中心对称两个图形，相应线段平行（或共线）且相等。

知识点四中心对称图形定义

把一种图形绕着某一种点旋转180°，如果旋转后图形可以与本来图形重叠，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它对称中心。

知识点五关于原点对称点坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。

第二十四章圆

24.1圆

24.1.1圆

知识点一圆定义

圆定义：

第一种：

在一种平面内，线段OA绕它固定一种端点O旋转一周，另一种端点A所形成图形叫作圆。

固定端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。

第二种：

圆心为O，半径为r圆可以当作是所有到定点O距离等于定长r点集合。

比较圆两种定义可知：

第一种定义是圆形成进行描述，第二种是运用集合观点下定义，但是都阐明拟定了定点与定长，也就拟定了圆。

知识点二圆有关概念

（1）弦：

连接圆上任意两点线段叫做弦，通过圆心弦叫作直径。

（2）弧：

圆上任意两点间某些叫做圆弧，简称弧。

圆任意一条直径两个端点把圆提成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3）等圆：

等够重叠两个圆叫做等圆。

（4）等弧：

在同圆或等圆中，可以互相重叠弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重叠弧才是等弧，而不是长度相等弧。

24.1.2垂直于弦直径

知识点一圆对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它对称轴。

知识点二垂径定理

（1）垂径定理：

垂直于弦直径平分弦，并且平分弦所对两条弧。

垂径定理推论：

平分弦（不是直径）直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧注意：

由于圆两条直径必要互相平分，因此垂径定理推论中，被平分弦必要不是直径，否则结论不成立。

24.1.3弧、弦、圆心角

知识点弦、弧、圆心角关系

（1）弦、弧、圆心角之间关系定理：

在同圆或等圆中，相等圆心角所对弧相等，所对弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所相应别的各组量也相等。

（3）注意不能忽视同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，虽然圆心角相等，所对弧、弦也不一定相等，例如两个同心圆中，两个圆心角相似，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4圆周角

知识点一圆周角定理

（1）圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角一半。

（2）圆周角定理推论：

半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°圆周角所对弦是直径。

（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对圆周角与圆心角大小关系。

“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”，否则就不成立了，由于一条弦所对圆周角有两类。

知识点二圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：

如果一种多边形所有顶点都在同一种圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形外接圆。

圆内接四边形性质：

圆内接四边形对角互补。

24.2点、直线、圆和圆位置关系

24.2.1点和圆位置关系

知识点一点与圆位置关系

（1）点与圆位置关系有：

点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

（2）用数量关系表达：

若设⊙O半径是r，点P到圆距离OP=d，则有：

点P在圆外

d＞r；点p在圆上

d=r；点p在圆内

d＜r。

知识点二过已知点作圆

（1）通过一种点圆（如点A）以点A外任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，这样圆可以作无数个。

（2）通过两点圆（如点A、B）以线段AB垂直平分线上任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，这样圆可以作无数个。

（3）通过三点圆

①通过在同一条直线上三个点不能作圆

②不在同一条直线上三个点拟定一种圆，即通过不在同一条直线上三个点可以作圆，且只能作一种圆。

如通过不在同一条直线上三个点A、B、C作圆，作法：

连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）长为半径作圆即可，这样圆只能作一种。

知识点三三角形外接圆与外心

（1）通过三角形三个顶点可以作一种圆，这个圆叫做三角形外接圆。

（2）外接圆圆心是三角形三条边垂直平分线交点，叫做这个三角形外心。

知识点四反证法

（1）反证法：

假设命题结论不成立，通过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不对的，从而得到原命题成立，这种证明命题办法叫做反证法。

（2）反证法普通环节：

①假设命题结论不成立；②从假设出发，通过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾结论；③由矛盾鉴定假设不对的，从而得出原命题对的。

24.2.2直线和圆位置关系

知识点一直线与圆位置关系

（1）直线与圆位置关系有：

相交、相切、相离三种。

（2）直线与圆位置关系可以用数量关系表达若设⊙O半径是r，直线l与圆心0距离为d，则有：

直线l和⊙O相交

d＜r；直线l和⊙O相切

d=r；直线l和⊙O相离

d＞r。

知识点二切线鉴定和性质

（1）切线鉴定定理：

通过半径外端并且垂直于这条半径直线是圆切线。

（2）切线性质定理：

圆切线垂直于过切点半径。

（3）切线其她性质：

切线与圆只有一种公共点；切线到圆心距离等于半径；通过圆心且垂直于切线直线必过切点；必过切点且垂直于切线直线必通过圆心。

知识点三切线长定理

（1）切线长定义：

通过园外一点作圆切线，这点和切点之间线段长，叫做这点到圆切线长。

（2）切线长定理：

从圆外一点可以引圆两条切线，它们切线长相等，这一点和圆心连线平分两条切线夹角。

（3）注意：

切线和切线长是两个完全不同概念，必要弄清晰切线是直线，是不能度量；切线长是一条线段长，这条线段两个端点一种是在圆外一点，另一种是切点。

知识点四三角形内切圆和内心

（1）三角形内切圆定义：

与三角形各边都相切圆叫做三角形内切圆。

这个三角形叫做圆外切三角形。

（2）三角形内心：

三角形内切圆圆心叫做三角形内心。

（3）注意：

三角形内心是三角形三条角平分线交点，因此当三角形内心已知时，过三角形顶点和内心射线，必平分三角形内角。

24.2.3圆和圆位置关系

知识点一圆与圆位置关系

（1）圆与圆位置关系有五种：

①如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，涉及外离和内含两种；

②如果两个圆只有一种公共点，就说这两个圆相切，涉及内切和外切两种；

③如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

（2）圆与圆位置关系可以用数量关系来表达：

若设两圆圆心之间距离为d，两圆半径分别是r1r2,且r1＜r2，则有

两圆外离

d＞r1+r2两圆外切

d=r1+r2两圆相交

r2-r1＜d＜r1+r2两圆内切

d=r2-r1两圆内含

d＜r2-r1

24.3正多边形和圆

知识点一正多边形外接圆和圆内接正多边形

正多边形与圆关系非常密切，把圆提成n（n是不不大于2自然数）等份，顺次连接各分点所得多边形是这个圆内接正多边形，这个圆就是这个正多边形外接圆。

正多边形中心：

一种正多边形外接圆圆心叫做这个正多边形中心。

正多边形半径：

外接圆半径叫做正多边形半径。

正多边形中心角：

正多边形每一条边所对圆心角叫做正多边形中心角。

正多边形边心距：

中心到正多边形一边距离叫做正多边形边心距。

知识点二正多边形性质

（1）正n边形半径和边心距把正多边形提成2n个全等直角三角形。

（2）所有正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形中心；当正n边形边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形中心就是对称中心。

（3）正n边形每一种内角等于，中心角和外角相等，等于。

24.4弧长和扇形面积

知识点一弧长公式l=

在半径为R圆中，360°圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR，因此n°圆心角所对弧长计算公式l=

×2πR=

。

知识点二扇形面积公式

在半径为R圆中，360°圆心角所对扇形面积就是圆面积S=πR²，因此圆心角为n°扇形面积为S扇形=

。

比较扇形弧长公式和面积公式发现：

S扇形=

知识点三圆锥侧面积和全面积

圆锥侧面积是曲面，沿着圆锥一条母线将圆锥侧面展开，容易得到圆锥侧面展开图是一种扇形。

设圆锥母线长为l，底面圆半径为r，那么这个扇形半径为l，扇形弧长为2πr，因而圆锥侧面积

。

圆锥全面积为

。

25.1随机事件与概率

25.1.1随机事件

知识点一必然事件、不也许事件、随机事件

在一定条件下，有些事件必然会发生，这样事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样事件称为不也许事件；在一定条件下，也许发生也也许不会发生事件称为随机事件。

必然事件和不也许事件与否会发生，是可以事先拟定，因此它们统称为拟定性事件。

知识点二事件发生也许性大小

必然事件也许性最大，不也许事件也许性最小，随机事件发生也许性有大有小。

不同随机事件发生也许性大小有也许不同。

25.1.2概率

知识点概率

普通地，对于一种随机事件A，咱们把刻画其发生也许性大小数值，称为随机事件A发生概率，记作P（A）。

普通地，如果在一次实验中，有n种也许成果，并且它们发生也许性都相等，事件A包括其中m种成果，那么事件A发生概率P（A）=

。

由m和n含义可知0≤m≤n，因而0≤

≤1，因而0≤P（A）≤1.

当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不也许事件时，P（A）=0.

25.2用列举法求概率

知识点一用列举法求概率

普通地，如果在一次实验中，有n种也许成果，并且它们发生也许性都相等，事件A包括其中m种成果，那么事件A发生概率P（A）=

。

知识点二用列表发求概率

当一次实验要涉及两个因素并且也许浮现成果数目较多时，为不重不漏地列出所有也许成果，通惯用列表法。

列表法是用表格形式反映事件发生各种状况浮现次数和方式，以及某一事件发生也许次数和方式，并求出概率办法。