高考数学复习考点题型归类解析50二项分布与超几何分布.docx

高考数学复习考点题型归类解析50二项分布与超几何分布.docx

《高考数学复习考点题型归类解析50二项分布与超几何分布.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习考点题型归类解析50二项分布与超几何分布.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学复习考点题型归类解析50二项分布与超几何分布

高考数学复习考点题型归类解析

专题50二项分布与超几何分布

一、关键能力

了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,理解两点分布及超几何分布，并能解决一些简单的实际问题.

二、教学建议

（1）考查两点分布、n次独立重复试验的模型及其应用.

（2）离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式．

三、必备知识

1．条件概率及其性质

（1）条件概率的定义

对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率．

（2）条件概率的求法

求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P（B|A）＝

.

2．相互独立事件

（1）对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立．

（2）若A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）．

（3）若A与B相互独立，则A与

，

与B，

与

也都相互独立．

（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A，B相互独立．

3．二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝C

pk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B（n，p）．

4．二项分布的均值、方差

（1）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，V（X）＝p（1－p）．

（2）若X～B（n，p），则E（X）＝np，V（X）＝np（1－p）．

5.两点分布：

若随机变量

服从两点分布，即其分布列为

0

1

其中

，则称离散型随机变量

服从参数为

的两点分布．其中

称为成功概率．

6．超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M（M≤N）件次品．从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么

P（X＝r）＝

（r＝0,1,2，…，l）．

即

X

0

1

…

l

P

…

其中l＝min（M，n），且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

四、高频考点+重点题型

考点一.条件概率

例1．

（1）（2019·合肥模拟）将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P（A|B）＝__________，P（B|A）＝________.

（2）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）＝________.

对点练1.将外形相同的球分做装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母

，3个球标有字母

；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：

先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母

的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母

的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．

对点练2.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为

，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（）

A．

B．

C．

D．

对点练3.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

对点练4.在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．

考点二.相互独立事件的概率

例1．某次知识竞赛规则如下：

在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则

（1）该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.

（2）该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.

（3）该选手回答了5个问题（5个问题必须全部回答）就结束的概率为________.

对点练1.　某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是

，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是

，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．

（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．

对点练2.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为

，

，

.

（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

考点三.独立重复实验

例3-1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为（　　）

A.0.32　　　　　　　　B.0.18

C.0.50D.0.0576

考点四.二项分布及应用

例4-1.九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：

质量/g

[5,15）

[15,25）

[25,35）

[35,45）

[45,55]

数量

4

12

11

8

5

（1）若购进这批九节虾35000g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量（所得结果保留整数）；

（2）以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25）间的九节虾的数量为X，求X的分布列.

例4-2.某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：

参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：

“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？

”主持人答：

“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是

.”

（1）求抽奖者获奖的概率；

（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的概率分布和均值．

例4-3.（2019·天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：

30之前到校的概率均为

.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用

表示甲同学上学期间的三天中7：

30之前到校的天数，求随机变量

的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设

为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：

30之前到校的天数比乙同学在7：

30之前到校的天数恰好多2”，求事件

发生的概率.

例4-4.（2020·浙江）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：

从装有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：

若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：

从装有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.

（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；

（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

例4-5.一款击鼓小游戏的规则如下：

每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为

，且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？

考点五.　超几何分布的应用

例5-1.某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部（其中男生5名，女生3名）中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的概率分布及均值．

例5-2.　PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示：

PM2.5日均值

（微克/立方米）

[25,35）

[35,45）

[45,55）

[55,65）

[65,75）

[75,85]

频数

3

1

1

1

1

3

（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．

例5-3.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．

例5-4.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

巩固训练

一.单选题

1．（2019·石家庄模拟）袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（　　）

A．0.8　　B．0.75

C．0.6　　D．0.45

3.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

4.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（　　）

A.

B.

3×

C.

×

D．C

×

3×

5.“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：

“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是（　　）

A.

B.

C.

D.

6.（2020·濮阳模拟）如图12.61所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是

，且是相互独立的，则灯亮的概率为（　　）

图12.61

A.

B.

C.

D.

二.多选题

7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（　　）

A．P（B）＝

B．P（B|A1）＝

C．事件B与事件A1相互独立

D．A1，A2，A3是两两互斥的事件

8.已知X＋Y＝8，若X～B（10,0.6），则下列说法正确的是（　　）

A．E（Y）＝2B．E（Y）＝6

C．D（Y）＝2.4D．D（Y）＝5.6

9.下列命题中，正确的命题的是（　　）

A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p＝

B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C．设随机变量ξ服从正态分布N（0,1），若P（ξ>1）＝p，则P（－1<ξ≤0）＝

－p

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10,0.8），则当X＝8时概率最大

10.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.9；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，且这n个人研究项目M的结果相互独立．设这个n人团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的可能取值是（　　）

A．2B．3

C．4D．5

三.填空题

11.（2020·江苏模拟）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则E（X）＝________.

12.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________（结果用数值表示）．

13.一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为

，则此人得分的数学期望为________；方差为________．

14.投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．

15.设随机变量X～B

，则P（2

16．（2019·全国Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．

17．一个口袋内有n（n>3）个大小相同的球，其中3个红球和（n－3）个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p∈N，若有放回地从口袋中连续4次取球（每次只取1个球），在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于

，则n＝________.

18．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为________．

19．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别各不相同的概率是________．

四.解答题

20.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为

，a，a（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.

（1）求ξ的概率分布列及数学期望；

（2）在概率P（ξ＝i）（i＝0,1,2,3）中，若P（ξ＝1）的值最大，求实数a的取值范围．

21.（2018·天津卷）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．

（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；

②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．

22.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后第2位）：

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；

（2）5次预报中至少有2次准确的概率；

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．