第二十三章一元二次方程全章导学案doc.docx

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第二十三章一元二次方程全章导学案doc

第二十二章一元二次方程

1、一元二次方程

（1）

学习目标：

1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：

由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：

由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

导学流程：

自学课本导图，走进一元二次方程

分析：

现设雕像下部高x米，则可列方程

去括号得①

你知道这是一个什么方程吗？

你能求出它的解吗？

想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？

探究新知

自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：

问题1可列方程整理得②

问题2可列方程整理得③

1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？

2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm

长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？

观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。

展示反馈

【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

（9）

其中为一元二次方程的是：

【我学会了】

1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：

其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

自主探究：

自主学习P26页例题，完成下列练习：

将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

（1）

（2）

（3）

【巩固练习】教材第27页练习

归纳小结

1、本节课我们学习了哪些知识？

2、学习过程中用了哪些数学方法？

3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？

达标测评

（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;

（1）

（）

（2）

（）

（3）

（）（4）

（）

2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）3x2－x=2；

（2）7x－3=2x2;

（3）（2x－1）－3x（x－2）=0（4）2x（x－1）=3（x＋5）－4.

3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；

（1）

±1±2；

（2）

±2，±4

4、把方程

（

化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

5、要使

是一元二次方程，则k=_______.

6、若方程

是关于x的一元二次方程。

求m的取值范围。

2、一元二次方程

（2）

学习内容

1．一元二次方程根的概念；

2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．

学习目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

重难点关键

1．重点：

判定一个数是否是方程的根；

2．难点关键：

由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．

学习过程

一、自学教材

针对目标自学教材27页—28页内容，会规范解答28页练习题1、2.

二、合作交流，解读探究

先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目：

1．下面哪些数是方程2

+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0

（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0

应用迁移，巩固提高：

3、若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2009（a+b+c）的值

4、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值

三、总结反思，自查自省

选择题

1．方程x（x-1）=2的两根为（）．

A.x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=2

2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．

A．x1=b，x2=aB．x1=b，x2=

C．x1=a，x2=

D．x1=a2，x2=b2

3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则

=（）．

A．1B．-1C．0D．2

填空题

1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．

2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

3．方程（x+1）2+

x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

综合提高题

1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：

-1必是该方程的一个根．

3、已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根为0，求m的值。

3、配方法

（一）

执笔人：

周学文审核人：

刘万学审批人：

杨万富

学习目标：

1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如

=p（p≥0）或（mx+n）

=p（p≥0）的方程

2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；

3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

重点：

掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。

难点：

理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。

导学流程：

自主探索：

自学P30问题1、及思考完成下列各题：

解下列方程：

（1）x2－2＝0;

（2）16x2－25＝0.

（3）（x＋1）2－4＝0；（4）12（2－x）2－9＝0.

总结归纳：

如果方程能化成

=p或（mx+n）

=p（p≥0）形式，那么可得

巩固提高：

仿例完成P31页练习

课堂小结

你今天学会了解怎样的一元二次方程？

步骤是什么？

达标测评

1、解下列方程：

（1）x2＝169；　　

（2）45－x2＝0；　

（3）x2-12=0（4）x2-2

=0

（5）2x2-3=0（6）3x2-

=0

（7）

（8）（t－2）（t+1）=0；

（9）x2+2x+1=0（10）x2+4x+4=0

（11）x2-6x+9=0（12）x2+x+

=0

4、配方法

（二）

学习目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；

2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。

重点：

用配方法解数字系数的一元二次方程；

难点：

配方的过程。

导学流程

自主学习

自学P31-32问题2，完成P33思考。

精讲点拨

上面，我们把方程x2+6x-16＝0变形为（x+3）2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

练一练：

配方.填空：

（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；

（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；

（3）x2＋

x＋（）＝（x＋）2；

从这些练习中你发现了什么特点?

（1）________________________________________________

（2）________________________________________________

合作交流

用配方法解下列方程：

（1）x2－6x－7＝0；　　　　　

（2）x2＋3x＋1＝0.

解

（1）移项，得x2－6x＝____.

方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，

即（______）2＝____.

所以x－3＝____.

原方程的解是　　　　　　　x1＝_____，x2＝_____.

（2）移项，得x2＋3x＝－1.

方程左边配方，得x2＋3x＋（）2＝－1＋____，

即_____________________

所以___________________

原方程的解是：

x1＝______________x2＝___________

总结规律

用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？

有哪些步骤？

深入探究

自学P33页例1，完成练习：

用配方法解下列方程：

（1）

（2）

巩固提高：

完成P34页练习

课堂小结：

你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？

有哪些步骤？

达标测评：

用配方法解方程：

1、x2＋8x－2＝02、x2－5x－6＝0.3、2x2-x=6

4、x2＋px＋q＝0（p2－4q≥0）.5、x²-2x-3=0

6、2x²+12x+10=07、x²-4x+3=08、9x²-6x-8=0

拓展提高

1.已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

2.把下列代数式化成a（x+m）2+n的形式。

（1）4x2﹣2x+1

（2）3x2﹣5x+1

（3）﹣3x2+2x﹣3（4）7x2﹣2x﹣1

3.求证：

对于任何实数x、代数式﹣2x2+4x﹣3的值恒为负。

5、公式法

学习目标

1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；

2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；

3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。

重点：

用公式法解简单系数的一元二次方程；

难点：

推导求根公式的过程。

导学流程

复习提问：

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;

3、你能用配方法解下列方程吗？

请你和同桌讨论一下.

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.

推导公式

用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.

因为a≠0，方程两边都除以a，得

_____________________＝0.

移项，得x2＋

x＝________，

配方，得x2＋

x＋______＝______－

即（____________）2＝___________

因为a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得_____________________________.

所以x＝_______________________

即x＝_________________________

x＝

（b2－4ac≥0）

由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：

精讲点拨：

利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.

合作交流：

b2－4ac为什么一定要强调它不小于0呢？

如果它小于0会出现什么情况呢？

展示反馈：

学生在合作交流后展示小组学习成果。

1当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）

2当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根

x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿

3当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.

巩固练习：

1、做一做：

（1）方程2x

-3x+1=0中，a=（）,b=（）,c=（）

（2）方程（2x-1）

=-4中，a=（）,b=（）,c=（）.

（3）方程3x

-2x+4=0中，

=＿＿＿＿＿＿,则该一元二次方程＿＿＿＿＿＿实数根。

（4）不解方程，判断方程x

-4x+4=0的根的情况。

深入探究：

自学P36页例2，完成下列特别各题：

应用公式法解下列方程:

（1）2x2＋x－6＝0；

（2）x2＋4x＝2；

（3）5x2－4x－12＝0；（4）4x2＋4x＋10＝1－8x.

巩固提高：

完成P37页练习

课堂小结

1、一元二次方程的求根公式是什么？

2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？

达标测评：

1、应用公式法解方程：

（1）x2－6x＋1＝0；

（2）2x2－x＝6；

（3）4x2－3x－1＝x－2；（4）3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）.

（5）（x-2）（x+5）＝8；　　（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.

6、因式分解法

学习目标：

1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。

重点、难点

1、重点：

应用分解因式法解一元二次方程

2、难点：

灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.

【课前预习】阅读教材P38—40,完成课前预习

1：

知识准备

将下列各题因式分解

am+bm+cm=;a2-b2=;a2±2ab+b2=

因式分解的方法：

解下列方程．

（1）2x2+x=0（用配方法）

（2）3x2+6x=0（用公式法）

2：

探究

仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？

3、归纳：

（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，再使_________________________，从而实现_________________，这种解法叫做__________________。

（2）如果

，那么

或

，这是因式分解法的根据。

如：

如果

，那么

或_______，即

或________。

练习1、说出下列方程的根：

（1）

（2）

2、用因式分解法解下列方程：

（1）x2-4x=0

（2）4x2-49=0（3）5x2-10x+20=0

【课堂活动】

活动1：

预习反馈

活动2：

典型例题

例1、用因式分解法解下列方程

（1）

（2）

（3）

（4）

例2、用因式分解法解下列方程

（1）4x2-144=0

（2）（2x-1）2=（3-x）2

（3）

（4）3x2-12x=-12

例3、用十字相乘法解下列方程

（1）x2－3x-10=0

（2）x2+2x-3=0

（3）3x2+11x+10=0（4）2x2﹣x﹣6=0

活动3：

随堂训练

1、用因式分解法解下列方程

（1）x2+x=0

（2）x2-2

x=0

（3）3x2-6x=-3（4）4x2-121=0

（5）3x（2x+1）=4x+2（6）（x-4）2=（5-2x）2

活动4：

课堂小结

因式分解法解一元二次方程的一般步骤

（1）将方程右边化为

（2）将方程左边分解成两个一次因式的

（3）令每个因式分别为，得两个一元一次方程

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解

【课后巩固】

1．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________

2．若（2x+3y）2+2（2x+3y）-8=0，则2x+3y的值为_________．

3．已知y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．

4．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（）

A．-1，2B．1，-2C．0，-1，2D．0，1，2

5．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（）

A．（x+5）（x-7）=0B．（x-5）（x+7）=0

C．（x+5）（x+7）=0D．（x-5）（x-7）=0

6．方程（x+4）（x-5）=1的根为（）

A．x=-4B．x=5C．x1=-4，x2=5D．以上结论都不对

7、用因式分解法解下列方程：

（1）

（2）

（3）9x2-6x+1=0（4）2x2-7x+3=0

（5）x2+3x-28=0

8、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程

的一个根，求这个三角形的周长。

7、用公式法解一元二次方程导学案

学习目标：

1、认知目标：

引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用。

2、能力及情感目标：

通过观察、实践、讨论等活动，让学生经历发现问题，发现关系的过程，并在探索过程中培养学生自主探索能力及合作交流能力。

学习重点难点

1、指导学生自主探索一元二次方程的两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。

2、对根与系数的关系这一性质的应用

教学过程

一、预习内容

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式

（2）解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？

⑴　x2+2x=0　　　　　

⑵　x2+3x－4=0

⑶　x2－5x+6=0

方程

x1

x2

x1+x2

x1x2

⑴　x2+2x=0　　

⑵　x2+3x－4=0

⑶　x2－5x+6=0

２.尝试探索，发现规律：

完成上表猜想一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？

请与小组中的同学交流你的看法，并总结你们的观点。

二、学习内容

推导验证：

设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．

x1+x2=

x1.x2=

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____________

x1.x2=_______

★注意：

一元二次方程的根与系数的关系的应用有两大前提一、它是____________方程即条件为_______;二、方程必须_____________即条件为____________.

例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积

①x2+3x－1=0　　②　x2+6x+2=0③　3x2－4x+1=0

例2已知方程

的一个根为

，求另一根及c的值.

例3设方程x2+3x+1=0的两根为x1,x2,求下列各式的值：

（1）x12+x22

（2）

+

（3）（x1-3）（x2-3）

（4）（x1-x2）2（5）｜x1-x2｜

三、本课小结：

1.根与系数的关系的内容

2.根与系数关系使用的前提是：

（1）是一元二次方程；

（2）判别式大于等于零.

四、练习

1.已知方程

的两实根差的平方为144,则

＝___

2.已知方程

的一个根是1,则它的另一个根_______,

的值是__.

3、反比例函数

的图象经过点P（

、

），其中

、

是一元二次方程

的两根，那么点P的坐标是_______。

4、已知

、

是方程

的两根，则

的值为_______。

5、已知

≠0，方程

的系数满足

，则方程的两根之比为（）

A、0∶1B、1∶1C、1∶2D、2∶3

6、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于

的方程：

的根，则

的值为（）

A、－3B、5C、5或－3D、－5或3

7、已知关于

的方程

的两个实数根的倒数和等于3，关于

的方程

有实根，且

为正整数，求代数式

的值。

8、已知关于

的方程

（1）当

取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设

、

是方程的两根，且

，求

的值。

8、习题课

学习目标

能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。

重点：

选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。

难点：

理解四种解法的区别与联系。

复习提问

（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？

（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？

精讲点拨：

观察方程特点，寻找最佳解题方法。

一元二次方程解法的选择顺序一般为：

直接开平方法因式分解法公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。

练习一：

分别用三种方法来解以下方程

（1）x2-2x-8=0

（2）3x2-24x=0

用因式分解法：

用配方法：

用公式法：

用因式分解法：

用配方法：

用公式法：

练习二：

你认为下列方程你用什么方法来解更简便。

（1）12y2－25＝0；（你用_____________法）

（2）x2－2x＝0；（你用_____________法）

（3）x（x＋1）－5x＝0；（你用_____________法）

（4）x2－6x＋1＝0；（你用_____________法）

（5）3x2＝4x－1；（你用_____________法）

（6）3x2＝4x.（你用_____________法）

对应训练：

1、解下列方程

（1）（2x－1）2－1＝0；　　　

（2）

（x＋3）2＝2；

（3）x2＋2x－8＝0；　　（4）3x2＝4x－1；

（5）x（3x－2）－6x2＝0；　　（6）（2x－3）2＝x2.

2、当x取何值时，能满足下列要求？

（1）3x2－6的值等于21；

（2）3x2－6的值与x－2的值相等.

3、用适当的方法解下列方程：

（1）3x2－4x＝2x；　　　　　　

（2）

（x＋3）2＝1；

（3）x2＋（

＋1）x＝0；　　　　（4）x（x－6）＝2（x－8）；

（5）（x＋1）（x－1）＝

；　（6）x（x＋8）＝16；

4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？

课堂小结

根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？

通常你是如何选择的？

和同学交流一下.

拓展提高

1、已知（x2+y2）（x2+y2-1）-6=0，则x2+y2的值是（）

（A）3或-2（B）-3或2（C）3（D）-2

2、已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0,求x2﹣x﹣1的值.

9、实际问题与一元二次方程

（1）

教学内容：

由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．

教学目标：

掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立