高考数学 集合与常用逻辑用语第1讲 集合的概念与运算.docx

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高考数学集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算

第一章　集合与常用逻辑用语

第1讲　集合的概念与运算

考纲要求

考情分析

命题趋势

1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．

2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

4．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

5．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

6．能用韦恩（Venn）图表达集合间基本关系及集合的基本运算．

2017·全国卷Ⅰ，1

2017·全国卷Ⅱ，2

2017·全国卷Ⅲ，1

2016·江苏卷，1

2016·四川卷，1

2016·天津卷，1

1．集合间的运算：

交集、并集、补集等．

2．常以一些特殊符号⊕，⊗，*等来连接两个集合，赋予集合一种新运算，或者给集合一种新背景．

3．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合间的关系、运算，常用分类讨论求解．

4．考题形式多为选择、填空题．

分值：

5分

1．元素与集合

（1）集合元素的特性：

__确定性__、__互异性__、无序性．

（2）集合与元素的关系：

若a属于集合A，记作__a∈A__；若b不属于集合A，记作__b∉A__.

（3）集合的表示方法：

__列举法__、__描述法___、图示法．

（4）常见数集及其符号表示

数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

！

！

！

　N　###

__N*或N＋__

__Z__

__Q__

！

！

！

　R　###

2．集合间的基本关系

表示关系　　

文字语言

记法

集合

间的

基本

关系

子

集

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

__A⊆B__或__B⊇A__

真

子

集

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A

__AB__或__BA__

相

等

集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素

A⊆B且B⊆A

⇔A＝B

空集

空集是__任何__集合的子集

∅⊆A

空集是__任何非空__集合的真子集

∅B且B≠∅

3．集合的基本运算

（1）三种基本运算的概念及表示

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形

符号

A∪B＝

__{x|x∈A或__

__x∈B}__

A∩B＝

__{x|x∈A且__

__x∈B}__

∁UA＝__{x|x∈U且__

__x∉A}__

（2）三种运算的常见性质

①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.

②A∩A＝__A__，A∩∅＝__∅__.

③A∪A＝__A__，A∪∅＝__A__.

④A∩∁UA＝__∅__，A∪∁UA＝__U__，∁U（∁UA）＝__A__.

⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅.

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．

（1）集合{x2＋x,0}中，实数x可取任意值．（　×　）

（2）任何集合都至少有两个子集．（　×　）

（3）集合{x|y＝

}与集合{y|y＝

}是同一个集合．（　×　）

（4）若A＝{0,1}，B＝{（x，y）|y＝x＋1}，则A⊆B.（　×　）

解析　

（1）错误．由元素的互异性知x2＋x≠0，即x≠0且x≠－1．

（2）错误．∅只有一个子集．

（3）错误．{x|y＝

}＝{x|x≥1}，{y|y＝

}＝{y|y≥0}．

（4）错误．集合A是数集，集合B是点集．

2．（2017·浙江卷）已知集合P＝{x|－1

A．（－1,2）　　　B．（0,1）

C．（－1,0）　　　D．（1,2）

解析　根据集合的并集的定义，得P∪Q＝（－1,2）．

3．（2017·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（　A　）

A．A∩B＝{x|x<0}　　　　B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>1}　　　　D．A∩B＝∅

解析　集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，

∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A．

4．（2017·全国卷Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（　B　）

A．3　　　B．2　　　

C．1　　　D．0

解析　联立

解得

或

则A∩B＝

，有2个元素．

5．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

解析　∵A∪B＝{x|2

一　集合的基本概念

集合元素性质的应用警示

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

【例1】

（1）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　C　）

A．1　　　B．3　　　

C．5　　　D．9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　D　）

A．

　　　B．

C．0　　　D．0或

解析　

（1）∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B中有5个元素．

（2）当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝

.

二　集合的基本关系

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

【例2】

（1）设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则（　C　）

A．P⊆Q　　　B．Q⊆P

C．∁RP⊆Q　　　D．Q⊆∁RP

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__（－∞，3]__.

解析　

（1）因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选C．

（2）∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1

②若B≠∅，则

解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3]．

三　集合的基本运算

集合基本运算的求解规律

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．

（2）集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．

（3）根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．

【例3】

（1）（2018·广东汕头期末）已知集合A＝{x|y＝ln（1－2x）}，B＝{x|x2≤x}，全集U＝A∪B，则∁U（A∩B）＝（　C　）

A．（－∞，0）　　　B．

C．（－∞，0）∪

　　　D．

（2）设集合U＝R，A＝{x|2x（x－2）<1}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　B　）

A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}

C．{x|0

（3）已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（　B　）

A．0或

　　　B．0或3　　　

C．1或

　　　D．1或3

解析　

（1）因为A＝{x|y＝ln（1－2x）}＝{x|1－2x>0}＝

，B＝{x|x（x－1）≤0}＝[0,1]，所以U＝A∪B＝（－∞，1]，又A∩B＝

，所以∁U（A∩B）＝（－∞，0）∪

，故选C．

（2）∵2x（x－2）<1，∴x（x－2）<0，∴0

即A＝{x|0

∴1－x>0，∴x<1，

即B＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|0

图中阴影部分表示∁A（A∩B），

∴∁A（A∩B）＝{x|1≤x<2}，故选B．

（3）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈A，

∴m＝3或m＝

，解得m＝0或3，故选B．

四　集合中的创新题

集合定义新情景的解决方法

解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：

（1）正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．

（2）合理利用集合性质．运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．

【例4】已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　C　）

A．77　　　B．49　　　

C．45　　　D．30

解析　A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{（－1，0），（0,0），（1,0），（0,1），（0，－1）}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1，0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点．当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1,0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点．故A⊕B共有2×5＋5×7＝45（个）元素．

1．（2017·全国卷Ⅱ）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（　C　）

A．{1，－3}　　　B．{1,0}

C．{1,3}　　　D．{1,5}

解析　因为A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故选C．

2．（2017·北京卷）若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝（　A　）

A．{x|－2

C．{x|－1

解析　由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2

3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1　　　B．2　　　

C．3　　　D．4

解析　A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个，故选D．

4．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0

解析　A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0

则A⊗B＝{0}∪[2，＋∞）．

易错点1　不注意检验集合元素的互异性

错因分析：

对于含字母参数的集合，根据条件求出字母的值后，容易忽略检验是否满足集合元素的互异性及其他条件．

【例1】已知集合A＝

，且－3∈A，求实数a的值．

解析　∵A＝

，且－3∈A，

∴①当2a2＋5a＝－3时，2a2＋5a＋3＝0，

解得a＝－1或a＝－

，其中a＝－1时，2a2＋5a＝

＝－3，

与集合元素的互异性矛盾，舍去；

a＝－

时，A＝

满足题意．

②当

＝－3时，a＝－1，由①知应舍去．

综上，a的值为－

.

【跟踪训练1】已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B.

解析　由A∩B＝{－3}知，－3∈B.

又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.

①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B（－3，－2,1），

A∩B＝（1，－3），故a＝0舍去．

②当a－2＝－3时，a＝－1，

此时A＝{1,0，－3}，B＝（－4，－3,2），

满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．

易错点2　忽略空集

错因分析：

空集是个特殊集合．在以下四种条件中不要忽略B是空集的情形：

①B⊆A；②BA（A非空）；③B∩A＝B；④B∪A＝A.

【例2】设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________.

解析　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，解得a<－1．

综上所述，所求实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}．

答案　（－∞，－1]∪{1}

【跟踪训练2】（2018·江西临川一中月考）已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．

（1）分别求A∩B，（∁RB）∪A；

（2）已知集合C＝{x|1

解析　

（1）∵3≤32≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，

∴A＝{x|1≤x≤3}．

∵log2x>1，即log2x>log22，∴x>2，∴B＝{x|x>2}，

∴A∩B＝{x|2

（2）由

（1）知A＝{x|1≤x≤3}，

当C为空集时，a≤1；当C为非空集合时，可得1

综上所述，a≤3.

课时达标　第1讲

[解密考纲]本考点考查集合中元素的性质、集合之间的关系、集合的运算（一般以不等式、函数、方程为载体），一般以选择题、填空题的形式呈现，排在靠前的位置，题目难度不大．

一、选择题

1．（2018·河南郑州质量预测）设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U（A∩B）＝（　A　）

A．{1,2,3}　　　B．{1,2,4}

C．{1,3,4}　　　D．{2,3,4}

解析　因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U（A∩B）＝{1,2,3}，故选A．

2．（2017·天津卷）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　B　）

A．{2}　　　B．{1,2,4}

C．{1,2,4,6}　　　D．{x∈R|－1≤x≤5}

解析　A∪B＝{1,2,4,6}，（A∪B）∩C＝{1,2,4}，故选B．

3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（　A　）

A．[0,1]　　　B．（0,1]

C．[0,1）　　　D．（－∞，1]

解析　∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0

∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A．

4．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　A　）

A．－3∈A　　　B．3∉B

C．A∩B＝B　　　D．A∪B＝B

解析　由题知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C．

5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（　C　）

A．5　　　B．4

C．3　　　D．2

解析　当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}中的元素个数为3，故选C．

6．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是（　B　）

A．1　　　B．2　　　

C．3　　　D．4

解析　由题意可知a1，a2∈M且a3∉M，所以M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故选B．

二、填空题

7．设集合M＝

，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝　

　.

解析　因为N＝[0,1]，所以M∩N＝

.

8．若{3,4，m2－3m－1}∩{2m，－3}＝{－3}，则m＝__1__.

解析　由集合中元素的互异性，可得

所以m＝1．

9．已知集合A＝{x|x2＋x－6<0}，B＝{x|y＝lg（x－a）}，且A⊆B，则实数a的取值范围是__（－∞，－3]__.

解析　因为A＝（－3,2），B＝（a，＋∞），A⊆B，所以a≤－3.

三、解答题

10．（2018·湖北武汉模拟）设集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x－a≥0}．

（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使得A∩B＝{x|0≤x<3}成立？

若存在，求出a的值及对应的A∪B；若不存在，说明理由．

解析　A＝{x|－2

（1）如图，若A∩B＝∅，则a≥3，

所以a的取值范围是[3，＋∞）．

（2）存在，如图，a＝0时，A∩B＝{x|0≤x<3}，

此时A∪B＝{x|x>－2}．

11．已知集合A＝{x|－1

（1）当m＝1时，求A∪B；

（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．

解析　

（1）m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，

∴A∪B＝{x|－1

（2）∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．

①当B＝∅，即m≥1＋3m时，得m≤－

，满足B⊆∁RA.

②当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立，

则

或

解得m>3.

综上可知，实数m的取值范围是

∪（3，＋∞）．

12．已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝

，C＝{x|2x2＋mx－m2<0}（m∈R）．

（1）求A∪B；

（2）若（A∪B）⊆C，求实数m的取值范围．

解析　

（1）A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1

B＝

＝{x|0＜x<4}，则A∪B＝（－1,4）．

（2）C＝{x|2x2＋mx－m2<0}＝{x|（2x－m）（x＋m）<0}．

①当m>0时，C＝

，

由（A∪B）⊆C得

解得m≥8；

②当m＝0时，C＝∅，不合题意；

③当m<0时，C＝

，由（A∪B）⊆C得

解得m≤－4；

综上所述，m∈（－∞，－4]∪[8，＋∞）．