线性代数二次型讲解学习.docx
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线性代数二次型讲解学习
线性代数二次型
、二次型及其矩阵
二次型与对称矩阵
1定义：
含有n个变量的二次齐次函数:
f（X「X2，卅,Xn）
a11X1a22X2
2
annXn
2ai2XiX22ai3X|X3
1112a（n1）nXn1Xn
称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型，令
aijaji
，则二次型为:
f化险川各）
IIIMX
a〔2x〔X2
O|1x〔
n
i,j1
a11
a12
a1n
X1
a21
a22
an1
an2
a2n
，
ann
X2
Xn
f（X1,X2,|||,Xn）
xtAx，且A为对称矩阵。
由于对称矩阵A与二次型f是对应关系，故称对称矩阵A为二
次型f的矩阵，也称二次型
f为对称矩阵A的二次型,
R（A）也称为二
次型f的秩
5
2
9
2
2，f（N，X2，X3）5
9
2
9
2
7
2
X1
X2
X3
于是得
已知三阶矩阵A和向量X,其中
1
2
3
X1
A0
1
1,
XX2
3
3
2
X3
求二次型XAX
的矩
巨阵•
例2
解由于A不是对称矩阵，故A不是二次型XAX的矩阵•因为
1
2
3
XAX（X1,X2,X3）0
1
1
3
3
2
X1
X2
X3
222
x1x22x32x1x26x1x34x2x3,
故此二次型的矩阵为
、线性变换
1标准形
显然：
其矩阵为对角阵。
2线性变换
矩阵C
021
IO
Cn1
0|2
C22
IO
Cn2
Gn
CJn称为线性变换的矩阵。
Oin
y1,y2,川,yn的一个线性变量替换，简称线性变换。
x1
x2记x*
xn
y1
y2，则线性变换可用矩阵形式表示为：
xCyyn若C0,称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否
贝称为降秩（线性）变换（或退化变换）。
f（X1,X2,川,Xn）xTAx（Cy）TA（Cy）yTCTACyyTBy，其中
BCtAC，
而Bt（CtAC）tCtACB
若线性变换是非退化的，便有：
yC1x
三、矩阵的合同
1定义：
设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得CTACB，则称矩阵A与B合同。
容易知道：
二次型f（x）xTAx的矩阵A与经过非退化线性变换xCy得到的矩阵CTAC是合同的。
2合同的性质
反身性：
任一方阵A都与它自己合同
2对称性：
如果方阵A与B合同，那么B也与A合同
3传递性：
如果方阵A与B合同，B与C合同，那么A与C合同
3定理：
若矩阵A与B合同，则A与B等价，且R（A）R（B）。
4定理：
任何一个实对称矩阵A都合同于一个对角阵（是以A的n个特
征根为对角元的对角阵）。
即存在可逆矩阵C，使得ctac。
化二次型为标准形
、正交变换法
定理：
任给二次型f（为险卅,xn）xtAx，总有正交变换xCy使f化为标准形：
f1x122x；卅nx2（其中「2,|||,n是对称矩
阵A的特征根）
4x|X24x1x38x2x3为标准形。
例：
求一个正交变换xPy，化二次型
122
解：
二次型的矩阵为：
A224
242
由AE0,求得A的特征根为：
17，232，
1
特征根
17对应的特征向量为：
12
7
2
2
2
特征根
232对应的特征向量为：
2
1,
30
0
1
显然1
与2,3都止交，但2与3不止交。
2
正交化：
取221
0
2
5
（2，3）
3（2，2）2
4
5
1
再将
1，2,3单位化，得
122
11彳1,
32，P2751，P3迹4
205
i
3
2
5
2
3一5
yi
于是正交线性变换为：
X2
2
3
i
.5
4
3-5
y2
X3
2
3
0
3
ys
使原二次型化为：
f
7yf
2y|
2yf
注意：
二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。
二、配方法
对任意一个二次型f（x1,x2^||,xn）xTAx，也可用配方法找到满秩变换
xCy，化二次型f为标准形。
1二次型中含有平方项
例：
化二次型f（x）,x2,X3）x22x23xf4x1x24x1x34x2x3为标
准形，并求出所用的变换矩阵。
解
f（X「X2，X3）X）4（X2X3X14（X2X3）24（X2X3）2
2（x22X2X3x3）5x3
2222
（Xi2X22x3）4（X2X3）2（X2X3）5X3
222
（Xi2X22x3）2（X2X3）5X3
yiXi
2x2
2X3
yi
i2
令
y2
X2
X3
，即
y2
0i
y3
X3
y3
00
i
22
i
2
0
令C
i0
ii
，则C
0
i
i
0
0i
0
0
i
Xi
i
2
0
yi
X
Cy，即
X2
0
i
i
y2
X3
0
0
i
y3
则原二次型fxtAx化为标准形:
2X1
1X2
1X3
所求的满秩变换为
yi22y25y3
x2x3为标准形，并求出
yf2y』3
2二次型中不含平方项
例：
用配方法化二次型f（X1,X2，X3）X!
X2X,X3
所用的满秩线性变换。
Xiyiy2
解：
令X2y1y2，则原二次型化为：
fy2
X3纸
再按前例的方法有：
fyi2yf2y』3
2222
yi2y#3y3y3y?
（yiy3）y2y3
ziyiy3
令z2y2,则原二次型化为：
fz2Zz
Z3纸
其中的满秩变换为两变换的合成，即：
Xi
yi
y2
Xi
i
i
0
yi
由第一次变换
X2
yi
y2得：
X2
i
i
0
y2
X3
y3
X3
0
0
i
y3
Z1
yi
y3
yi
i
0
i
zi
由第二次变换
Z2
y2得：
y2
0
i
0
Z2
Z3
y3
y3
0
0
i
Z3
所以有合成的满秩变换为:
Xi
i
i
0
yi
i
i
0
i
0
i
Zi
X2
i
i
0
y2
i
i
0
0
i
0
Z2
X3
0
0
i
y3
0
0
i
0
0
i
Z3
Xi
i
i
i
Zi
即
X2
i
i
i
Z2
X3
0
0
i
Z3
、初等变换法由于任一二次型fxTAx（ATA）都可以找到满秩线性变换xCy将其化为标准形，即存在可逆矩阵C，使ctac为对角阵；由于C可逆，可以写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵Pi,P2,川，Ps，使
CPF2|||Ps。
则CTPT|||PT^T，所以
ctacPt|||PTPiTAPP2|||Ps①
cPP2|||PserpzIHr②
表示对实对称矩阵a施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将
a化为对角阵，②表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为C
例：
用初等变换法化二次型fX22x；2x34X]X24x1x38x2x3为
标准形，并求出相应的满秩线性变换。
1
2
2
解：
二次型
f的矩阵:
a
2
2
4
2
4
2
1
2
2
1
0
2
2
2
4
0
4
2
a
2
4
2
r?
r3
2
2
2
E
1
0
0
c2c3
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
04
2
r3
（2）ri
02
6
C3
（2）ci
1
0
2
01
0
01
1
1
0
2
所以C
0
1
1
2
1
0
1
2
原二次型化为
f
2
y1
4yj
1
0
0
0
4
0
0
0
7
1、
r3
（2）r2
1
0
2
1
C3
（2）C2
0
1
1
2
1
0
1
2
7y3
惯性定理和二次型的正定性
、惯性定理和规范形
在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标
准形为如下形式：
faxjd2X；dpXpdp1Xp1卅drX2
再令线性变换：
Xidy（i1,2,川,r）
di则原二次型化为:
Xjyj（jr1,r2,,n）
fyjy2|||ypypi|||«
定义：
形如上式的标准形称为二次型的规范形＜
定义：
称规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标，负项个数
rp称为二次型的负惯性指标，r是二次型的秩。
注：
规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。
虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。
定理：
任一实二次型fxTAx都可以经过满秩变换xCy化为规范形,且规范形唯一。
因而，对任一实对称矩阵A，都存在满秩矩阵
1
1
1,
C，使ctac，，称为a
I
1
0
b
i
卜
0
的（合同）规范形。
定理：
实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是A与B有相同的规范
形，其正惯性指标和秩相等。
矩阵合同的性质
（1）任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同；
（2）与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵；
（3）两个实对称矩阵合同的充要条件
①有相同的秩，②有相同的正惯性指数•
二、二次型的正定性
1、正（负）定二次型的概念
定义：
设实二次型f（x）f（x1,x2J||,xn）xtAx，若对任意不全为零
的实数X1,X2^||,Xn（即X0），总有f（x）0（0），则称f为正（负）定二
次型，并称对称矩阵A为正（负）定矩阵，记作A0（0）。
定义：
若对任意不全为零的实数x1fX2J11,xn，总有
f（x）xtAx0（0），则称实二次型为半正（负）定二次型，其矩阵A为半正（负）定矩阵。
2、判定方法
定理：
若A是n阶实对阵矩阵，则下列命题等价：
（1）f（x）xtAx是正定二次型（或A是正定矩阵）；
（2）A的n个特征值全为正；
（3）f的标准形的n个系数全为正；
（4）f的正惯性指数为n;
（5）A与单位矩阵E合同（或E为A的规范形）；
（6）存在可逆矩阵P，使得APTP;
⑺A的各阶顺序主子式均为正，即
定理：
若A是n阶实对阵矩阵，贝U下列命题等价:
（1）f（x）XTAx是负定二次型（或A是负定矩阵）；
（2）A的n个特征值全为负；
（3）f的标准形的n个系数全为负;
（4）f的负惯性指数为n;
（5）A与负单位矩阵E合同（或E为A的规范形）
⑹存在可逆矩阵P，使得aPTP;
⑺a的各阶顺序主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子
a1r
I
4
arr
0（r1,2,…,n）。
a11III
式为正，即
（1）r:
1、判定实二次型f（X|,X2,X3）X|2
2x1x2
6x2x36x3是
2x1X3
ar1III
否正定
解：
A12
3，因10，
6
所以当
4t0时,
所给实二次型是正定的
所以实二次型f是正定的。
试问t为何值时，该二次型是正定的?
3、二次型f（x1,x2,x3）xf3x2xf2x|X22x1x32x2x3，则f
的正惯性指数为?
4、三阶的实对称矩阵A的特征值为121,32,则二次型
f（x1,x2,x3）XAX
的规范形为
分析实对称矩阵A可经过正交变换化为对角矩阵，相应的二次型
f（x）XAX就化为标准形.
解由已知条件，二次型f（X）的标准形为yy2yi,故其规范形为
z2z2z2.
5、任何一个n阶满秩矩阵必定与n阶单位矩阵（）.
（A）合同（B）相似（C）等价（D）以上都不对
解任一个n阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为n阶单位矩阵，故n阶满秩矩阵都与n阶单位矩阵等价.
只有单位矩阵与单位矩阵相似
只有正定矩阵与单位矩阵合同
4
0
0
0
0
0
0
0,-
，则A与B（）
0
0
0
0
0
0
0
0
1111
51111
6设A,B
1111
1111
（A）合同且相似•（B）合同但不相似.（C）不合同但相似.（D）不合同且
不相似•
解选（A）.A为实对称矩阵且A的特征值为4,0,0,0.
2
11
1
0
0
7、
A1
21，B
0
1
0，贝9（
）
1
10
0
0
0
（A）
A与B即合同又相似
（B）A与B合同而不相似
（C）A与B不合同而相似
（D）A与B即不合同也不相似
解：
（B）
A与B特征值不相同，但正、负性都一样。
3E，
特征值为-3,-1
特征值为-1，3
3E，特征值为3,
E，特征值为1,3
1222
21223E'特征值为3,-1
9、已知实二次型f（Xi,X2,X3）a（xjxfx3）4xiX24xx4x2X3经正交变换
x=Py可化标准型f6y2，则a
【详解】二次型
2
f（X1,X2,X3）a（x1
2
X2
2
x3）4x^24x^34x2x3
a
22
所对应矩阵为A
2
a2
2
2a
600
标准型f6yi2所对应矩阵为B000
z2bxy2xz2yz4可以经过正交变换
10、已知二次曲面方程x2ay2
000
化为椭圆柱面方程2424,求a,b的值.
解二次型f
242的矩阵为
0
A
1
J
4
原二次型的矩阵为
1
b
1
Bb
a
1.
1
1
1
解得a3;再
由题意,这两个矩阵相似•所以有tr（A）tr（B）,即5a2由A|B,得b1.
f（X!
X2,X3）
5x；
5x2
2
CX3
2x-|X2
6x1x36x2x3
11、已知二次型
的秩为2.
（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值
（2）指出方程f（X1,X2,X3）1表示何种曲面.
多项式
（4）（9），则A的特征值
10,24,3
（2）二次型在某一正交变换下的标准形f4y；9y；,则f（X1.X2.X3）1表示椭圆柱面•
12、设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵,证明：
AE的行列式大于1.
证设A的特征值为
i（i
1,2,,n）,则AE的特征值为
i1（i1,2,,n）.
因A是正定阵，所以i
0
（i1,2,,n）,所以AE的特征值i
11,于
是
n
AE（i
1）
1.
i1
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