二次函数题型分类总结学生版.docx

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二次函数题型分类总结学生版

二次函数的定义

(考点:

二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式)

1、下列函数中,是二次函数的是.

①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x;

⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y=错误!

未定义书签。

;⑧y=-5x。

2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4秒时,该物体所经过的路程为。

 

3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。

 

4、若函数y=(m-2)xm-2+5x+1是关于

的二次函数,则m的值为。

 

6、已知函数y=(m-1)xm2+1+5x-3是二次函数,求m的值。

 

二次函数的对称轴、顶点、最值

(技法:

如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k;如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为

1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。

 

2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c=.

 

3.抛物线y=x2+3x的顶点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为()

A.

B.

C.

D.

 

5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c()

A.开口向上,对称轴是y轴B.开口向下,对称轴是y轴

C.开口向下,对称轴平行于y轴D.开口向上,对称轴平行于y轴

 

6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-

的顶点的横坐标是2,则m的值是_.

 

7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。

 

8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。

 

9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)xn+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.

 

10.已知二次函数y=x2-2ax+2a+3,当a=时,该函数y的最小值为0.

 

11.已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值为0,则m=______。

 

12.已知二次函数y=x2-4x+m-3的最小值为3,则m=。

函数y=ax2+bx+c的图象和性质

1.抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。

 

2.抛物线y=2x2-12x+25的开口方向是,顶点坐标是。

 

3.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=-2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式。

 

4.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:

(1)y=

x2-2x+1;

(2)y=-

x2+x-4

 

5.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,试求b、c的值。

 

6.把抛物线y=-2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。

 

7.某商场以每台2500元进口一批彩电。

如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?

最大利润是多少元?

 

函数y=a(x-h)2的图象与性质

1.填表:

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

2.已知函数y=2x2,y=2(x-4)2,和y=2(x+1)2。

(1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

(2)分析分别通过怎样的平移。

可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x-4)2和y=2(x+1)2?

 

3.试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

(1)右移2个单位;

(2)左移

个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。

 

4.试说明函数y=

(x-3)2的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值)。

 

5.二次函数y=a(x-h)2的图象如图:

已知a=

,OA=OC,试求该抛物线的解析式。

 

二次函数的增减性

1.二次函数y=3x2-6x+5,当x>1时,y随x的增大而;当x<1时,y随x的增大而;当x=1时,函数有最值是。

 

2.已知函数y=4x2-mx+5,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减少;则x=1时,y的值为。

 

3.已知二次函数y=x2-(m+1)x+1,当x≥1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是.

 

4.已知二次函数y=-

x2+3x+

的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3

 

二次函数的平移

技法:

将二次函数一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k,平移规律:

左加右减,对x;上加下减,直接加减

1.抛物线y=-

x2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得到的抛物线的关系式为。

 

2.抛物线y=2x2,,可以得到y=2(x+4}2-3。

 

3.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为。

 

4.如果将抛物线y=2x2-1的图象向右平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为。

 

5.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到y=2x2-4x-1则a=,b=,c=.

 

6.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为_.

函数的交点

1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

 

2.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。

函数的的对称

1.抛物线y=2x2-4x关于y轴对称的抛物线的关系式为。

 

2.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2-4x+3,则

a=b=c=

 

函数的图象特征与a、b、c的关系

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则a、b、c的符号为(   )

A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0

C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示,则下列结论正确的是()

A.a+b+c>0B.b>-2a

C.a-b+c>0D.c<0

 

3.抛物线y=ax2+bx+c中,b=4a,它的图象如图3,有以下结论:

①c>0;②a+b+c>0③a-b+c>0④b2-4ac<0⑤abc<0;其中正确的为()

A.①②B.①④C.①②③D.①③⑤

 

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是()

 

5.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的()

 

6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图5所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c

四个代数式中,值为正数的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.在同一坐标系中,函数y=ax2+c与y=

(a

ABCD

8.反比例函数y=

的图象在一、三象限,则二次函数y=kx2-k2x-1c的图象大致为图中的()

 

ABCD

9.反比例函数y=

中,当x>0时,y随x的增大而增大,则二次函数y=kx2+2kx的图象大致为图中的()

 

ABCD

10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:

①a,b同号;②当x=1和x=3时,函数值相同;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0;其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

11.已知二次函数y=ax2+bx+c经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线y=ax+bc不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)

1.如果二次函数y=x2+4x+c图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c=(写一个即可)

2.二次函数y=x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 

3.抛物线y=-3x2+2x-1的图象与x轴交点的个数是()

A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点

4.如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为()

A.6B.4C.3D.1

5.已知抛物线y=5x2+(m-1)x+m与x轴的两个交点在y轴同侧,它们的距离平方等于为

,则m的值为()

A.-2B.12C.24D.48

6.若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m的取值范围是

7.已知抛物线y=x2-2x-8,

(1)求证:

该抛物线与x轴一定有两个交点;

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。

 

函数解析式的求法

一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程组求解;

1.已知二次函数的图象经过A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)三点,求该二次函数的解析式。

 

2.已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC=5,求该二次函数的解析式。

 

二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解。

3.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的解析式。

 

4.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3),且经过点P(2,0)点,求二次函数的解析式。

 

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)。

5.二次函数的图象经过A(-1,0),B(3,0),函数有最小值-8,求该二次函数的解析式。

 

6.已知x=1时,函数有最大值5,且图形经过点(0,-3),则该二次函数的解析式。

7.抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于(2,0)、(-3,0),则该二次函数的解析式。

8.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,3),且与y=2x2的开口大小相同,方向相反,则该二次函数的解析式。

9.抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于(-1,0)、(3,0),则b=,c=.

10.若抛物线与x轴交于(2,0)、(3,0),与y轴交于(0,-4),则该二次函数的解析式。

11.根据下列条件求关于x的二次函数的解析式

(1)当x=3时,y最小值=-1,且图象过(0,7)

 

(2)图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x=

 

(3)图象经过(0,1)(1,0)(3,0)

(4)当x=1时,y=0;x=0时,y=-2,x=2时,y=3

 

(5)抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10)

 

11.当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3,x2=1时,且与y轴交点为(0,-2),求这个二次函数的解析式

 

12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(2,0)、(4,0),顶点到x轴的距离为3,求函数的解析式。

 

13.知二次函数图象顶点坐标(-3,

)且图象过点(2,

),求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。

 

14.已知二次函数图象与x轴交点(2,0),(-1,0)与y轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。

 

15.若二次函数y=ax2+bx+c经过(1,0)且图象关于直线x=

对称,那么图象还必定经过哪一点?

 

16.y=-x2+2(k-1)x+2k-k2,它的图象经过原点,求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

 

17.抛物线y=(k2-2)x2+m-4kx的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y=-

x+2上,求函数解析式。

二次函数应用

(一)经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。

经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。

假定每月销售件数y(件)是价格X的一次函数.

(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?

(总利润=总收入-总成本)

 

2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。

(1)设X天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于X的函数关系式。

(2)如果放养X天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q元,写出Q关于X的函数关系式。

(2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额—收购成本—费用),最大利润是多少?

 

3.某商场批单价为25元的旅游鞋。

为确定一个最佳的销售价格,在试销期采用多种价格进性销售,经试验发现:

按每双30元的价格销售时,每天能卖出60双;按每双32元的价格销售时,每天能卖出52双,假定每天售出鞋的数量Y(双)是销售单位X的一次函数。

(1)求Y与X之间的函数关系式;

(2)在鞋不积压,且不考虑其它因素的情况下,求出每天的销售利润W(元)与销售单价X之间的函数关系式;

(3)销售价格定为多少元时,每天获得的销售利润最多?

是多少?

 

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