第11讲阿氏圆最值模型原卷版中考数学几何模型能力提升篇全国通用.docx

第11讲阿氏圆最值模型原卷版中考数学几何模型能力提升篇全国通用.docx

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第11讲阿氏圆最值模型原卷版中考数学几何模型能力提升篇全国通用

中考数学几何模型11：

阿氏圆最值模型

名师点睛拨开云雾开门见山

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

【模型来源】

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：

PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

【模型建立】

如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R=

OB，

连接PA、PB，则当“PA+

PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

思考

解决办法：

如图2，在线段OB上截取OC使OC=

R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有

PB=PC。

故本题求“PA+

PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

【技巧总结】

计算

的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：

在圆上找一点P使得

的值最小，解决步骤具体如下：

1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

2.计算出这两条线段的长度比

3.在OB上取一点C，使得

，即构造△POM∽△BOP，则

，

4.则

，当A、P、C三点共线时可得最小值

典题探究启迪思维探究重点

例题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则

的最小值为__________．