完整版提公因式法分解因式典型例题.docx
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完整版提公因式法分解因式典型例题
因式分解
(1)
一知识点讲解
知识点一:
因式分解概念:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征:
因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.
因式分解与整式乘法关系:
因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
整式乘法
(a+b)‘=a2+2ab+b2
因式分解
a2+2ah+b2=(a+b)2
(a-by=a2-2ab+b2
a2-2ab+b2=(a-b)2
(a+b)(a-b)=a2-b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
(x+3y)(x-3y)=x2-9y2
x2-9y2=(x+3yXr-3y)
知识点二:
寻找公因式
1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因(约)数方法:
(短除法)
例如:
求20,36,80的最人公(约)数?
址大公倍数?
2
20
36
80
2
20
36
80
2
10
18
40
2
10
18
40
5
5
9
20
5
9
20
1
9
4
2、寻找公因式的方法:
3a2y-3ay+6y,
d(x-yf+b(x-y)2+(X-y)3,
-27a2b3+36aib2+9a2b
1•确定公因式的系数
当多项式中备项系数是整数时,公因式的系数是多项式中各项系数的瑕人公因数;
当多项式中各项系数是分数时,则公因式的系数为分数,而且分母取各项系数中分母的最小公倍数,分子取各项系数中分子的垠大公因数。
2.确定相同字母
公肉式的字母是各项都含有的字母
3.看次数
相同字母的指数取址低次数
4.看整体
如果多项式中含冇相同的多项式,应将其看成整体不要拆开。
5.看符号
若多项式的首项是则公因式的符号一般为负。
知识点三:
因式分解的方法(重点)
(一)因式分解的第一种方法(提公因式法)(重点):
1.提取公因式法:
如果多项式的各项含方公肉式,那么就可以把这个公因式提到括号外面,把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形,这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言:
ma+mh+me=m(a+/?
+c)
3•提公因式的步骤:
(1)确定公因式
(2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式)另〜因式-牆
4•注意事项:
因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块h考察因式分解的概念
1.
(2017春峰城区期末)卜列各式从左到右的变形,是因式分解的是()
2.(2017秋扰宁县期末)卜•列各式从左到右的变形,是因式分解的是()
A.+2x+3=(x+l)‘+2
B、(牙+yXx_y)=x2-y2
C.x2-xy+y2=(x-y)2
D、2x-2y=2(x-y)
3.(2017秋姑苏区期末)卜列从左到右的运算足因式分解的是()
A、2d'-2a+l=2a(d-l)+l
B、(x_yXx+yXF—y?
C.9x:
-6x+l=(3x-l)2
D、x2+y2=(x-y)2+2xy
4.(2017秋华徳县校级期末)卜列各式从左到右的变形,是因式分解的是()
A、3x+2y-l=5x-l
B、(3a+2b)(3d-2b)=9d‘一4b‘
.’1
c、X"+X=X"(1+-)
X
D、2x2-8y2=2(x+2yXx-2y)
5.(2017春新城区校级期中)卜列各式从左到右的变形是因式分解的是()
A.a(a-b)=a2-ab
B、a2-2a+l=a(a-2)+1
C.x2-x=x(x-l)
D.X)&-x2y=x(y2-xy)
6.(2016秋濮阳期末)卜列式子中,
从左到右的变形是因式分解的是()
A、(x-l)(x-2)=x'-3兀+2
B、x2-3x+2=(x-l)(x-2)
C、x'+4x+4=x(x-4)+4
D.x2+y2=(x+y)(x-y)
模块2:
考察公因式
1.(2017春抚宁县期末)多项式15加”+5加讪一20〃7”的公因式是()
A.5mnB.5m2n2
C.5m2nD.5/n/r
2.(2017春东平县期中)把多项式一&初怙+16d'b廿一2滋%疋分解因式,应提的公因
式是()
A、-8a'bcB、C、-4ahcD、24a'b'c‘
3.(2017秋凉州区末)多项式a2-9与亍一3。
的公因式是()
A.d+3C>d—3
B.d+1D.d—1
4.(2017春邵阳县期中)多项式Sxn,yn~l-12x3,nyn的公因式是()
A.xmynB.
C.4x,9lynD.
5.(2016春深圳校级期中)多项式-5〃用+25加十-10皿丫各项的公因式是(
)
D、-a2ci2b-ab2
7•观察下歹U各组录弋子:
①2d+b和d+b:
②5〃?
(a-b)和一d+b:
③3(d+b)和一d-b:
④x'-y'和x'+y'。
其中有公因式的是()
A.©®
B、②®C、③®D.®®
模块3:
利用提公因式法分解因式
1因式分解的第一种类型:
直接提取公因式
1、分解因式:
(1)
(3)6d(d+b)-4b(a+b)
x2-3%
(2)-2x:
+18x2)-4x)l:
(4)--abc+-ab2-a2be
55
2因式分解的第二种类型:
变形后提取公因式
2.分解因式:
(1)3a(x-y)-6b(y-x)
(2)-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)
3因式分解的第三种类型:
分组后提取公因式
3.分解因式:
<1)nix-my+iix-ny
(2)2a+4b-3ma-6mb
JOr
模块4:
提公因式法的综合应用
类型1:
利用提公因式法进行简便计算
(2)36.8x||+l|x20.2-2xl|
1•利用简便方法计算:
(1)3.2x200.9+4.7x200.9+200.9x2.1
类型2:
利用提公因式法进行化简求值
2.先分解因式,在计算求值:
(2x-l)'(3x+2)-(2x-l)(3x+2)‘-x(l-2x)(3x+2)其中x=l.5
3-(20】6秋唐河县期末)已知:
—015,说-第,求弘於的值。
4.已知d+b=-4,ab=2,求务项式4a'b+4ab:
一4a—4b的值。
5.若卬员+1=0,用因式分解法求一cibWb—ab'—b)的值.
7.不解方程组rX+J=6,求7)G-3y)‘一2(3y-_r)‘的值。
"一3〉,=1
类型3:
拔高培优题型
8.(2015杭州模拟)己知(19x—31)(13x—17)—(17-13x)(llx—23)町因式分解成(ar+b)(30x+c),其中a、b.c均为整数,求a+b+c的值。
9.已知多项式F+2012F+201U+2012有•一个因式为F+Q+1,另一个因式为x2+fcv+2012,求a+b的值。
10.求证:
320W-4x32015+10x32014能被7整除。
11.己知a,b,c满足a/?
+d+/?
=Z>c+b+c=cd+c+a=3,求(a+l)(b+l)(c+1)的值。
(a、b、c都是正整数)
12.(学霸题中题★★★)若x2-x-l是处'+加'+1的一个因式,则b的值为()
A、-2B、-1C、0D、2
13.(2017合肥月考***)要使多项式x2-2x-n能分解为两个整系数一次多项式之积,
则不人于100的自然数”的个数为()
A、8B、9C、10D、11
14.(2016秋靖远县期末)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+X+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[l+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)‘
(1)上述分解因式的方法是,共应用了次。
(2)若分解l+x+x(x+l)+x(x+l)‘+...+x(x+l)'004,则需应用上述方法次,结果
是。
—
(3)分解因式:
l+x+x(x+l)+x(x+l)‘+...+x(x+l)"(〃为正整数)。
一、选择题
1.(2017开县一模)当a,b互为相反数时,代数式a2+ah-4的值为()
A、4B、0C、-3D、-4
2.(2016秋乳山期末)边长为a,b的长方形周长为12,面积为10,则a2b+ab2的值为()
3.(2017春蚌埠期末★)计算:
(一2严°+(-2严7所得的结果是()
A、-2B、2C、-22016D、2:
016
4.(2017春乐亭县期末)(-8)2014+(-8)2013能被卜•列数整除的是()
A、3B、5C、7D、9
5.(2017春源城区校级月考)把多项式p2(a-l)+p(l-a)分解因式的结果是()
A、@_1"+。
)B、C、D、p(a_l)(p+l)
6.(2017春阳谷县期末)把X/,+3+XM+1分解因式得()
A、y,+1(x2+l)B、x'\x5+x)C、x(x"“+x”)D、xn+1(.r:
+x)
7.(2017春北湖区校级期中)整式a'(a'-l)-a'+l的值()
A、不是负数B、恒为正数C、恒为负数D、结果的符号不确定
8.(2016赵县模拟)若ab=-3,ci-2h=5,则a2b-2ah2的值是()
A、-15B、15C、2D、-8
9.(2016春高密市期末)将3x(a-b)-9y(b-a)因式分解,应提的公因式是()
A、3x-9yB、3x+9yC、ci-bD、3(a-b)
10.(2016春临清市期末)计算(一3)"'+2x(-3)'i,得()
A、3心B、(一3)”円C、一(一3)心d、(-3)m
11.(2016春深圳期末)若a+b=3.ab=-2,则代数式a2b+ab2的使为(
A、1B、-1C、-6D、6
12.(2016秋美兰区校级期中)若d+b=—5,c=2,则—dc—bc等于()
A、10B、~10C、3D、—3
13.(2016秋简阳市期中)如果多项式mx+A^I分解为〃心一刃,则4为()
A、mB、-myC、-yD、my
14.(2016春深圳期中)若a-b=2,=贝iab2-ci2b的值为()
A、6B、5C、一6D、一5
15.(2016春港南区期中)设P=a‘(一a+b-c),Q=-a(a2-ab-^ac),则P与0的关系是()
A、P=QB、P>QC、P16.(2016春锡山区校级月考)计算:
22014-(-2)2015的结果是()
A、22015B、22014C、-22014D、3x22014
17.(2016春宿州校级月考)卜列运算中,因式分解正确的是()
A、-m2+nui-m=-m(m+/?
-1)B、9abc-6a2b2=3/?
t(3-2ab)
C、3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b)D、—ab?
+—a2b=—ab(a+b)
2.2,
18.(2015春杭州期末)多项式(x+2)(2x_l)_(x+2)可以因式分解成(x+zn)(2x+n),
则in-n的值是()
A、2B、-2C、4D、-4
19.(2015春莲湖区校级月考)把多项式3m(x-y)-2(y-x)2分解囚式的结來是()
A、(x-y)(3m-2x-2y)B、(x-y)Qni-2x+2y)
C、(x-)')(3〃7+2x-2y)D、(y-x)(3m+2x-2y)
二、填空题
1.(2016潍坊模拟)分解因式:
a4h-6ayh+9a2b=<>
2.(2017潍坊)因式分解:
x2-2x+(x-2)=。
3.(2017崇安区一模)分解因式(x+y)'—3(x+y)的结果是。
4.(2016秋内江期末)因式分解:
(x+y),-2y(x+y)二。
5.(2016滨海县二模)分解因式:
〃7(x-y)+〃(y-x)二o
6.(2017春酹陵市期末)因式分解:
6(x-3)+x(3-x)=o
7.(2017春碑林区校级期中)分解因式2〃7(〃7--8〃厂(〃—加)二«
8.(2016陕西校级三模)分解因式:
(3a-b\a+b)-ab-b2=。
9.(2017沂源县一模)因式分解(a+b)(a+b-l)-a-b+1的结果为。
10.(2016春寿光市期末)计算:
-5652x0.13+4652x0.13二。
11.(2015秋孟津县期末)简便计算:
121x0.13+12.1x0.9+1.21x12二。
12.(2017春宜兴市期中)把多项式-16疋+40十),提出一个公因式-8疋后,另一个因式
是O
13.(2016安徽模拟)已知长和宽分别为的长方形,其而枳等于15,周长等于16,则
2a~b+lab1-。
14.(2016北京)如图中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式
16.(2015秋黄山期末)若a=2,a-2bc=3,贝^2a2-4abc的值为。
17.(2016秋望谟县期末)已知x+y=10,xy=16,则x'y+xy'的值为。
18.(2017春临泽县校级期中)若m-n=3,mn=-2,则4nrn-4nm24-1的值为
19.(2017秋越秀区期末)化简:
«+1+a(a+1)+a(a+1)2+...4-a(a+1)99=
三、解答题。
1.(2015春乐平市期末)若a+b=_3,=求丄a'b+a'b'+Lab'的值。
22
2.用提公因式法将下列各式分解因式:
(1)(a-b)(x-y)-(Z?
-a)(x+y)
(2)x(a-x)(a-y)—y(x-a)(y-a)