重庆市渝中区巴蜀中学届高考适应性月考卷三理数学解析.docx
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重庆市渝中区巴蜀中学届高考适应性月考卷三理数学解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（）
A.B.
C.D.
答案：
A
【分析】
化简集合，进而求并集即可.
解：
由题意可得，，
所以，
故选：
A.
点评：
本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2.在正项等比数列中，若，则（）
A.2019B.2018C.1009D.1010
答案：
C
【分析】
利用等比数列下标和性质即可得到结果.
解：
∵
∴，
故选：
C.
点评：
在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
3.已知，，，则（）
A.B.
C.D.
答案：
A
【分析】
利用指对函数的单调性，借助中间量比较大小.
解：
，，，
所以，
故选：
A.
点评：
利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
4.已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（）个.
A.10B.12
C.16D.20
答案：
B
【分析】
由结构图知：
每个顶点同时在3个面内，计算出五边形的总顶点数，从而得到结果.
解：
由结构图知：
每个顶点同时在3个面内，
所以五边形面数为个，
故选：
B.
点评：
本题以分子为载体，考查空间问题的计数问题，考查空间想象能力与推理能力，属于中档题.
5.如图，过正方形的顶点在内任意作射线，则该射线与正方形的交点位于边上的概率为（）
A.B.
C.D.
答案：
D
【分析】
利用几何概型公式即可得到结果.
解：
角度性几何概率：
，
故选：
D.
点评：
几何概型有两个特点：
一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
6.已知为第二象限角，且，则（）
A.B.C.2D.-2
答案：
D
【分析】
利用同角基本关系式得到，结合诱导公式得到结果.
解：
由于为第二象限角，且，所以为第三象限角，
从而，，
所以，
故选：
D.
点评：
本题考查同角基本关系式，考查三角函数的恒等变换，考查计算能力，属于常考题型.
7.，，分别为内角，，的对边，的面积为，已知且，则外接圆的半径为（）
A.4B.2C.D.
答案：
C
【分析】
由，结合余弦定理与三角形面积公式可得，再利用正弦定理可得外接圆的半径.
解：
，
即，
所以，，
由正弦定理，
所以，
故选：
C.
点评：
本题考查解三角形问题，考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.
8.函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（）
A.向右平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向左平移个单位
答案：
C
【分析】
根据正弦型函数的图象得到，结合图像变换知识得到答案.
解：
由图象知：
，∴.
又时函数值最大，
所以.又，
∴，从而，，
只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象，
故选：
C.
点评：
已知函数的图象求解析式
（1）.
（2）由函数的周期求
（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求。
9.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，侧棱，，两两垂直，且，若以为球心且1为半径的球与三棱锥公共部分的体积为，球的体积为，则的值为（）
A.B.C.D.
答案：
B
【分析】
由题意可知是半径为1球的体积的，把三棱锥补成正方体，利用正方体与外接球的关系即可得到球的体积为.
解：
由题意易得：
，
将三棱锥补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为：
，
从而，，
所以，
故选：
B.
点评：
三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为:
.
10.已知，函数的零点分别为，且，则（）
A.0B.1C.D.
答案：
D
【分析】
令，解二次方程可得或，进而分段讨论，即可得到结果.
解：
令，则由，，
即或，
由，得或0，
由，得，或，
所以函数的零点分别为，，，，，
从而，
故选：
D.
点评：
本题考查复合函数的零点问题，处理方法为：
把复合函数分拆为简单函数，分别处理即可，考查转化能力与计算能力，属于中档题.
11.已知双曲线的焦点为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，，则的方程为（）
A.B.C.D.
答案：
B
【分析】
设双曲线的方程为，，根据双曲线定义可得，结合余弦定理可得双曲线方程.
解：
设双曲线的方程为，，
则，，，
又，
∴，
取的中点，则，
在中，可得；
在中，由余弦定理：
，
可得，
又，得，
故选：
B.
点评：
本题考查待定系数法求双曲线的方程，考查双曲线定义、余弦定理等知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
12.已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（）
A.B.C.D.
答案：
A
【分析】
由题意构造，在上单调递增，且，从而可以推断出在上单调递增，即可化抽象不等式为具体不等式，得到结果.
解：
令，在上单调递增，且，从而可以推断出
则（当时，满足），
从而在上单调递增，
所以当时，，
从而当时，；
当时，（当时取等号），
又当时，，即，
所以在上单调递增，
由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增；
不等式.
令，则原问题等价于有解，从而，
∵，
∴在上单减，在上单增，
∴，
所以的最小值为，
故选：
A.
点评：
本题考查了导数的运用，函数存在性的问题，函数零点的问题，利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数在点处的切线方程为___．
答案：
【分析】
由题意，函数的导数为，得到，再由直线的点斜式方程，即可求解切线的方程。
解：
由题意，函数的导数为，所以，
即函数在点处的切线的斜率为，
由直线的点斜式方程可知，切线的方程为，即。
点评：
本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的方程，其中解答中根据导数四则运算的法则，正确求解函数的导数，得出曲线在某点处的切线的斜率，再利用点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
14.若，则______.
答案：
【分析】
利用微积分定理及奇函数的性质可得，结合诱导公式可得结果.
解：
，
∴，
所以.
故答案为：
点评：
本题考查微积分定理，诱导公式，特殊角三角函数值，考查运算能力，属于基础题.
15.设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为______.
答案：
【分析】
由题意可得，，明确关于的函数的单调性可得结果.
解：
由，，得，，
所以，
在上单调递减，在上单调递增，又，
又当时，；
当时，，
所以的最小值为.
故答案为：
点评：
本题考查等差数列的基本运算，考查函数的最值，考查转化能力与计算能力，属于中档题.
16.在中，，，点满足，则的最小值为______.
答案：
【分析】
令，，可得，即在直线上，从而当时最小，结合三角形知识得到结果.
解：
，
令，，
则，
因为，
所以在直线上，从而当时最小，
在中，，，，
由余弦定理得，
又，
得.
故答案为：
点评：
本题综合考查了平面向量与解三角形知识，考查三点共线、余弦定理，三角形面积公式等知识，考查转化能力与计算能力，属于中档题.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.
（1）求证：
平面；
（2）求二面角的余弦值.
答案：
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）连接交于点，连接，易得，从而得证；
（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式可得结果.
解：
（1）连接交于点，连接，
∵，分别为，的中点，∴.
又平面，平面，
∴平面.
（2）解：
∵平面，
∴.
又∵是正方形，∴.
∴平面
以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，
各点坐标如下：
，，，，，.
设平面的法向量为，
则，
∴.
∵平面，，
∴取平面的法向量为，
，
∴二面角的余弦值为.
点评：
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及空间向量法的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18.已知函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
答案：
（1）的单调增区间为，；单调减区间为
（2）
【分析】
（1）求出导函数，解不等式得到单调区间；
（2）令，则恒成立，研究函数的最值即可.
解：
解：
（1），
由，得的单调增区间为，；
由，得的单调减区间为.
（2）令，则恒成立，
，
∵，∴.
令，则在上单调递增，且，
∴当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
∴，∴.
点评：
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
19.为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将举行“歌唱祖国，喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》，《精忠报国》，《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班级就该班是否选择《精忠报国》作为本班参赛曲目进行投票表决，投票情况如下表.
小组
1
2
3
4
5
6
7
8
赞成人数
4
5
6
6
5
6
4
3
总人数
7
7
8
8
7
7
6
6
（1）若从第1小组和第8小组同学中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；
（2）若从第5小组和第7小组的同学中各随机选取2人进行调查，记选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
答案：
（1）
（2）详见解析
【分析】
（1）利用对立事件概率公式可得结果；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
解：
解：
（1）.
（2）各小组人员情况：
小组
1
2
3
4
5
6
7
8
赞成人数
4
5
6
6
5
6
4
3
不赞成人数
3
2
2
2
2
1
2
3
总人数
7
7
8
8
7
7
6
6
的可能取值为0，1，2，3，4，且
，，
，
，
，
随机变量的分布列为
0
1
2
3
4
.
点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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