关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.（充要条件）
参考答案
难点磁场
证明：
（1）充分性：
由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.
设f（x）=x2+ax+b,则f（x）的图象是开口向上的抛物线.
又|α|＜2,|β|＜2,∴f（±2）>0.
即有4+b>2a>－（4+b）
又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
（2）必要性：
由2|a|＜4+bf（±2）>0且f（x）的图象是开口向上的抛物线.
∴方程f（x）=0的两根α，β同在（－2，2）内或无实根.
∵α，β是方程f（x）=0的实根，
∴α，β同在（－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.
歼灭难点训练
一、1.解析：
若a2+b2=0,即a=b=0,此时f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x·|x|=－（x|x+0|+b）
=－（x|x+a|+b）=－f（x）.
∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件，又若f（x）=x|x+a|+b是奇函数，即f（－x）=
（－x）|（－x）+a|+b=－f（x）,则必有a=b=0,即a2+b2=0.
∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件.
答案：
D
2.解析：
若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.
答案：
A
二、3.解析：
当a=3时，直线l1:
3x+2y+9=0;直线l2:
3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3l1∥l2.
答案：
充要条件
4.解析：
若P（x0,y0）是F（x,y）=0和G（x,y）=0的交点，则F（x0,y0）+λG（x0,y0）=0，即F（x,y）+λG（x,y）=0，过P（x0,y0）;反之不成立.
答案：
充分不必要
三、5.解：
根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是p:
结论是q:
（注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0）
（1）由，得a=α+β>2,b=αβ>1,∴qp
（2）为证明pq,可以举出反例：
取α=4,β=,它满足a=α+β=4+>2,b=αβ=4×=2>1,但q不成立.
综上讨论可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分条件.
6.证明：
①必要性：
设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列.
从而bn+1－bn=a1+n·d－a1－（n－1）d=d为常数.
故{bn}是等差数列，公差为d.
②充分性:
设{bn}是等差数列，公差为d′,则bn=（n－1）d′
∵bn（1+2+…+n）=a1+2a2+…+nan①
bn－1（1+2+…+n－1）=a1+2a2+…+（n－1）an②
①－②得：
nan=bn－1
∴an=
从而得an+1－an=d′为常数，故{an}是等差数列.
综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.
7.解：
①必要性：
由已知得，线段AB的方程为y=－x+3（0≤x≤3）
由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，
所以方程组*有两个不同的实数解.
消元得：
x2－（m+1）x+4=0（0≤x≤3）
设f（x）=x2－（m+1）x+4,则有
②充分性：
当3＜x≤时，
x1=
>0
∴方程x2－（m+1）x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0＜x1＜x2≤3,方程组*有两组不同的实数解.
因此，抛物线y=－x2+mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件3＜m≤.
8.解：
若关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，设为x1,x2.
则0＜x1＜1,0＜x2＜1,有0＜x1+x2＜2且0＜x1x2＜1,
根据韦达定理：
有－2＜m＜0;0＜n＜1即有qp.
反之，取m=－
＜0
方程x2+mx+n=0无实根，所以pq
综上所述，p是q的必要不充分条件.
2019-2020年高考数学重点难点讲解求圆锥曲线方程教案旧人教版
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.
●难点磁场
1.（★★★★★）双曲线=1（b∈N）的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.
2.（★★★★）如图，设圆P满足：
①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：
x－2y=0的距离最小的圆的方程.
●案例探究
［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m,BB′=22m,塔高20m.
（1）建立坐标系并写出该双曲线方程.
（2）求冷却塔的容积（精确到10m2,塔壁厚度不计，π取3.14）.
命题意图：
本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：
待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积.
错解分析：
建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点.
技巧与方法：
本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积.
解：
如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.
设双曲线方程为=1（a＞0,b＞0）,则a=AA′=7
又设B（11,y1）,C（9,x2）因为点B、C在双曲线上，所以有
由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：
y1=－12,y2=8,b=7
故双曲线方程为=1.
（2）由双曲线方程，得x2=y2+49
设冷却塔的容积为V（m3）,则V=π
经计算，得V=4.25×103（m3）
答：
冷却塔的容积为4.25×103m3.
［例2］过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.
命题意图：
本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.
知识依托：
待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.
错解分析：
不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.
技巧与方法：
本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.
解法一：
由e=,得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A（x1,y1）,B（x2,y2）在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，（x12－x22）+2（y12－y22）=0,
设AB中点为（x0,y0）,则kAB=－,又（x0,y0）在直线y=x上，y0=x0,于是－=
－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.
右焦点（b,0）关于l的对称点设为（x′,y′）,
由点（1,1－b）在椭圆上，得1+2（1－b）2=2b2,b2=.
∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=－x+1.
解法二：
由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k（x－1）,
将l的方程代入C的方程，得（1+2k2）x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k（x1－1）+k（x2－1）=k（x1+x2）－2k=－.
直线l：
y=x过AB的中点（）,则,解得k=0，或k=
－1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F（c,0）关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－（x－1）,即y=－x+1,以下同解法一.
［例3］如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.
（）
命题意图：
本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：
定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程.
错解分析：
利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出
△P1OP2的面积是学生感到困难的.
技巧与方法：
利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值.
解：
以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.
设双曲线方程为=1（a＞0,b＞0）
由e2=，得.
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x
设点P1（x1,x1）,P2（x2,－x2）（x1＞0,x2＞0）,则由点P分所成的比λ==2,得P点坐标为（）,又点P在双曲线=1上，所以=1,
即（x1+2x2）2－（x1－2x2）2=9a2,整理得8x1x2=9a2①
即x1x2=②
由①、②得a2=4,b2=9
故双曲线方程为=1.
●锦囊妙计
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0）.
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.（★★★★）已知直线x+2y－3=0与圆x2+y2+x－6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于（）
A.3B.－3C.1D.－1
2.（★★★★）中心在原点，焦点在坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（）
二、填空题
3.（★★★★）直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.
4.（★★★★）已知圆过点P（4，－2）、Q（－1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该圆的方程为_________.
三、解答题
5.（★★★★★）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程.
6.（★★★★）某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.
7.（★★★★★）已知圆C1的方程为（x－2）2+（y－1）2=,椭圆C2的方程为=1（a＞b＞0），C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.
参考答案
难点磁场
1.解析：
设F1（－c,0）、F2（c,0）、P（x,y）,则
|PF1|2+|PF2|2=2（|PO|2+|F1O|2）＜2（52+c2）,
即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,
又∵|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|－|PF2|）2+2|PF1|·|PF2|,
依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,
依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2
∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,
又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.
答案：
1
2.解法一：
设所求圆的圆心为P（a,b），半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|
∵圆P截y轴所得弦长为2，∴r2=a2+1
又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|=r,故r2=2b2,从而有2b2－a2=1
又∵点P（a,b）到直线x－2y=0的距离d=,
因此，5d2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2（a2+b2）=2b2－a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有
∵r2=2b2,∴r2=2
于是所求圆的方程为：
（x－1）2+（y－1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2
解法二：
设所求圆P的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r＞0）
设A（0,y1）,B（0,y2）是圆与y轴的两个交点，则y1、y2是方程a2+（y－b）2=r2的两根，
∴y1，2=b±
由条件①得|AB|=2，而|AB|=|y1－y2|,得r2－a2=1
设点C（x1,0）、D（x2,0）为圆与x轴的两个交点，则x1,x2是方程（x－a）2+b2=r2的两个根，
∴x1，2=a±
由条件②得|CD|=r,又由|CD|=|x2－x1|，得2b2=r2,故2b2=a2+1
设圆心P（a,b）到直线x－2y=0的距离为d=
∴a－2b=±d,得a2=（2b±d）2=4b2±4bd+5d2
又∵a2=2b2－1,故有2b2±4bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程，
∵方程有实根.
∴Δ=8（5d2－1）≥0,得5d2≥1.
∴dmin=,将其代入2b2±4bd+5d2+1=0,
得2b2±4b+2=0,解得b=±1.
从而r2=2b2=2,a=±=±1
于是所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2
歼灭难点训练
一、1.解析：
将直线方程变为x=3－2y,代入圆的方程x2+y2+x－6y+m=0,
得（3－2y）2+y2+（3－2y）+m=0.
整理得5y2－20y+12+m=0,设P（x1,y1）、Q（x2,y2）
则y1y2=,y1+y2=4.
又∵P、Q在直线x=3－2y上，
∴x1x2=（3－2y1）（3－2y2）=4y1y2－6（y1+y2）+9
故y1y2+x1x2=5y1y2－6（y1+y2）+9=m－3=0，故m=3.
答案：
A
2.解析：
由题意，可设椭圆方程为：
=1,且a2=50+b2,
即方程为=1.
将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程.
由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.
答案：
C
二、3.解析：
所求椭圆的焦点为F1（－1,0）,F2（1,0）,2a=|PF1|+|PF2|.
欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解.
答案：
=1
4.解析：
设所求圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2
则有
由此可写所求圆的方程.
答案：
x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0
三、5.解：
|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,则（a+c）（a－c）=a2－c2=b2,
∴b2=4,设椭圆方程为①
设过M1和M2的直线方程为y=－x+m②
将②代入①得：
（4+a2）x2－2a2mx+a2m2－4a2=0③
设M1（x1,y1）、M2（x2,y2）,M1M2的中点为（x0,y0）,
则x0=（x1+x2）=,y0=－x0+m=.
代入y=x,得,
由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－,
又|M1M2|=
代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为：
=1.
6.解：
以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为（－10，－4）、（10，－4）
设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×（－4）,解得p=12.5,
于是抛物线方程为x2=－25y.
由题意知E点坐标为（2，－4），E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=
（－0.16）－（－4）=3.84.故最长支柱长应为3.84米.
7.解：
由e=,可设椭圆方程为=1,
又设A（x1,y1）、B（x2,y2）,则x1+x2=4,y1+y2=2,
又=1,两式相减，得=0,
即（x1+x2）（x1－x2）+2（y1+y2）（y1－y2）=0.
化简得=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,
代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0.
有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=
得，解得b2=8.
故所求椭圆方程为=1.
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