传热学第四版课后题答案第四章汇总.docx
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传热学第四版课后题答案第四章汇总
第四章
复习题
1、试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。
2、试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。
3、推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。
4、第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立。
试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。
5•对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？
试分析比较之.
6•什么是非稳态导热问题的显示格式？
什么是显示格式计算中的稳定性问题？
7•用高斯-塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？
不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？
你能否判断这一表达式是否正确，为什么?
般性数值计算
4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。
试用数值方法对
Bi=0.1,1,10的三种情况计算下列特征方程的根n（n1,2,6）:
aFo飞0.2
并用计算机查明，当时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计
算中用前六项之和来替代）可能引起的误差。
解：
ntannBi，不同Bi下前六个根如下表所示：
Bi
31
32
33
34
35
36
0.1
0.3111
3.1731
6.2991
9.4354
12.5743
15.7143
1.0
0.8603
3.4256
6.4373
9.5293
12.6453
15.7713
10
1.4289
4.3058
7.2281
10.2003
13.2142
16.2594
Fo=0.2及0.24时计算结果的对比列于下表:
Fo=0.2X
Bi=0.1
Bi=1
Bi=10
第一项的值
0.94879
0.62945
0.11866
前六和的值
0.95142
0.64339
0.12248
比值
0.99724
0.97833
0.96881
Fo=0.2x0
Bi=0.1
Bi=1
Bi=10
第一项的值
0.99662
0.96514
0.83889
前六项和的值
0.994
0.95064
0.82925
比值
1.002
1.01525
1.01163
Fo=0.24x
Bi=0.1
Bi=1
Bi=10
第一项的值
0.94513
0.61108
0.10935
前六项的值
0.94688
0.6198
0.11117
比值
0.99814
0.98694
0.98364
Fo=0.24X0
Bi=0.1
Bi=1
Bi=10
第一项的值
0.99277
0.93698
0.77311
前六项和的值
0.99101
0.92791
0.76851
比值
1.00177
1.00978
1.00598
4-2、试用数值计算证实，对方程组
用高斯-赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。
解：
将上式写成下列迭代形式
假设X2,X3初值为0,迭代结果如下:
迭代次数
0
1
2
3
4
X1
0
2.5
2.625
2.09375
2.6328125
X2
0
-0.75
0.4375-
1.171875
1.
X3
0
1.25
-0.0625
2.078125
-0.
显然，方程迭代过程发散
因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值代数和。
4-3、试对附图所示的常物性，无内热源的二维稳态导热问题用高斯-赛德尔迭代法计算
tst2^3"4之值。
解：
温度关系式为：
t0t
开始时假设取t1t
得迭代值汇总于表
迭代次数
20C;t30
t40
15c
0
20
20
15
15
1
26.25
22.8125
21.5625
14.84375
2
28.59375
23.359375
22.109375
15.1171875
3
28.8671875
23.
22.
15.
4
28.23.
22.
15.
5
28.23.
22.
15.
6
28.9569089
23.
22.5
15..
4
4迭代终止。
其中第五次与第六次相对偏差已小于10
4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节点2,3的温度。
图
t°850C,tf25°C,h3（W/（m2.K）.肋高日=4吓纵
20W/（m.K）。
剖面面积
解：
对于
Al4cm,导热系数
2点可以列出：
节点2：
节点3：
由此得:
t1t2
t3
t1t2
t3t4
2hx（t|t2）0;
t2t3
X
h（tf
tl）
x
2h^（tft3）0
t2
2h
2
—（t1
t2）
0t2t3—（tf
t3）
化t3）0
hx2
2
300.02
200.01
°.°6，于是有:
t2
t1t20.12tf
20.12,
t3-
30/20tf
0.03tft21.5tf
0.03tft21.53tf
30/200.03
2.53
2.53，代入得:
2.12t2t.
t21.53tf
-—0.12tf
2.53
4.3636t2
2.53t11.8336tf
5.3636t22.53t1t21.53tf0.3036tf
2.53tf1.8336tf
t2
4.3636
t2
2.53
851.833625
4.3636
215・05必8459.7959.8C
4.3636
t3
598「532538.75
2.53
离散方程的建立
38.8C
o
4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指出其稳定性条件（xy）o
解：
常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分：
所以有稳定性条件FOxFoy1/2
4-6、极坐标中常物性无内热源的非稳态导热微分方程为试利用本题附图中的符号，列出节点（i,j）的差分方程式。
解：
将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替，可得：
也可采用热平衡法。
对于图中打阴影线的控制容积写出热平衡式得:
对等式两边同除以rjr并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。
4-7、一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却，底面可以认为是绝热的。
为用数值法确定冷却过程中柱体温度的变化，取中心角为1rad的区域来研究（如本题附图所
示）。
已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度，金属的热扩散率，试列出图中节点（1,1）,（M,1）（M,n）及（M,N）的离散方程式。
在r及z方向上网格是各自均分的。
解：
应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。
节点（1,1）：
节点（m,1）:
节点（m,n）：
4-8、一个二维物体的竖直表面收液体自然对流冷却，为考虑局部表面传热系数的影响，表面传热系数采用hc（tt1）1.25来表示。
试列出附图所示的稳态无内热源物体边界节点
（M,n）的温度方程，并对如何求解这一方程提出你的看法。
设网格均分。
解：
利用热平衡法：
0.25
CtM,ntftM,ntf
将h写为hCt|M，ntf
0.25
tf，其中tM，n为
上一次迭代值，则方程即可线性化。
4-9、在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点4）,其余两个界面与
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4■心
母骑4呼Kffi
温度为tf的流体对流换热,
离散方程式。
均匀，内热源强度为
。
试列出节点
2,
5,
9，10的
解：
节点
1：
t1
t2
节点
2：
节点
5：
节点
6：
节点
9：
10：
节点
1：
节点
2：
节点
5：
节点
6：
节点
9：
ti
y
2
t1
y
2
t2t6
t10
y
2
t2t1y
2
x
2
t9t5
x
y
2
t7t6
y
x
t|0tg
y
x
2
t|1t|0
y
x
2
y以上诸式可简化为:
t5
t2
tf
2t6
2t6
t7
t5
t1
t1
t10
t10
t3
t9
t5
4t2
tf
t74t6
2t6t9tl1
tf
节点
一维稳态导热计算
10：
4-10、一等截面直肋，高导热系数为侧面）
yhti
tf
t6t2
t6t5
yh
t5
tf
t10t5
t1
t5
t6
y
2
t9
tf
t6
t10
xh
1^10
tf0
t5
t10
H,厚，肋根温度为t0，流体温度为tf，表面传热系数为
。
将它均分成4个节点（见附图），并对肋端为绝热及为对流边界条件（的两种情况列出节点2，3，4的离散方程式
10mm,hSCmglK）,=5°W/（m.K）,t。
100C,tf20c,计算节点
。
h,肋片
h同
。
设
H=45cm,
2，3，4的温度（对于肋端的两种边界条件）
解：
采用热平衡法可列出节点2、3、4的离散方程为:
t3t2
t1t2
节点2：
t2t3
t4t3
节点3：
2hxt2tf
2hxt3tf
h
xt4tf0
节点4:
.
肋端绝热x
t3t4
h
xt4tfht4
tf0
肋端对流x
c
H
x
—
其中
3。
将已知条件代入可得下列两方程组：
肋端绝热
t32.045t2100.9
0
肋端对流
t32.045t2100.9
0
由此解得
:
肋端绝热t292.2°C,
t387.70Ct4
86.20C；
肋端对流t291.5C,
t386.20Ct4
83.80C
。
肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。
4-11、复合材料在航空航天及化工等工业中日益得到广泛的应用。
附图所示为双层圆筒壁，假设层间接触紧密，无接触热阻存在。
已知r112.5mm,r216mm,r318mm,140w/（mK）2120W/（m.K）,tf1150。
2
h1100CW/（m.K），tf260C,h2380W/（m2.K）。
试用数值方法确定稳态时双层圆筒壁截面上的温度分布。
解：
采用计算机求解，答案从略。
采用热平衡法对两层管子的各离散区域写出能量方程，进行求解；如果采用Taylor展开
法列出方程，则需对两层管子单独进行，并引入界面上温度连续及热流密度连续的条件，数
值计算也需分两区进行，界面耦合。
截面的温度分布定性地示于上图中。
4-12、有一水平放置的等截面直杆，根部温度如100C,其表面上有自然对流散热,
hcttf/d1/4，其中，c1.20W/（m1.75.oC）;d为杆直径,
m。
杆高H=10cm，直径
d=1cm,=50W/（m.K）,t25C。
不计辐射换热。
试用数值方法确定长杆的散热量（需得出与网格无关的解。
杆的两端可认为是绝热的。
解：
数值求解过程略，Q=2.234W。
4-13在上题中考虑长杆与周围环境的辐射换热，其表面发射率为0.8,环境可作为温度为t
的大空间，试重新计算其导热量。
解：
数值求解过程略，Q=3.320W。
4-14、有如附图所示的一抛物线肋片，表面形线方程为：
肋根温度t0及内热源
流体温度tf为常数。
定义:
试：
（1）建立无量纲温度纲
H2
t0tf0.01^0.05占0.1皿
对上述控制方程进行数量计算。
确定无量纲温度
0.01
下
的分布。
解：
无量纲温度方程为：
d/d0.01
2/551
0。
数值计算结果示于
F图中，无量纲温度从肋根的一维非稳态导热计算
1变化到肋端的0.852。
习牆4-山謝胡
4-15、一直径为1cm长4cm的钢制圆柱形肋片，初始温度为25C,其后，肋基温度突然升高到200C,同时温度为25C的气流横向掠过该肋片，肋端及两侧的表面传热系数均为
2
100W/（m.K）。
试将该肋片等分成两段（见附图），并用有限差分法显式格式计算从开始加热时刻起相邻4个时刻上的
温度分布（以稳定性条件所允许的时间间隔计算依据）。
已知
52
=43W/（m.K）,a1.33310m/s。
（提示：
节点4的离散方程可按端面的对流散热与从节点3到节点4的导热相平衡这一条件列出）。
解：
三个节点的离散方程为：
节点2:
节点3:
tktk
43
d2
tktk
23
d2
x/2
4
x
4
节点4:
tk3tk4
d2
d2.
■k.
h
t4tf
x/2
4
4
以上三式可化简为：
dxhtftk3
d2
c-
4
tk13
13a
稳定性要求
43
4h
cd
0
，即
1/
3a
~2
x
4h
cd
1.333105
32.258
"J代入得:
1/
31.33310
4100
0.022
0.0132.258105
0.0999750.0124
8.89877s
如取此值为计算步长，则:
时间点
1
2
3
4
0
200
25
25
25
△
200
128.81
25
25
2△
200
128.81
55.80
55.09
3△
200
137.95
73.64
72.54
4△
200
143.04
86.70
85.30
2x
kk1
是以上三式化成为：
2°.296&10.2966t3°.110気t2
对于相邻四个时层的计算结果如下表所示:
时间点
1
2
3
4
0
200
25
25
25
△
200
76.91
25
25
2△
200
102.86
32.70
32.53
3△
200
116.98
42.63
42.23
4△
200
125.51
52.57
51.94
4-16、一厚为2.54cm的钢板，初始温度为650C，后置于水中淬火，其表面温度突然下降为93.5C并保持不变。
试用数值方法计算中心温度下降到450C所需的时间。
已知
a1.16105m2/s。
建议将平板8等分，取9个节点，并把数值计算的结果与按海斯勒
计算的结果作比较。
解：
数值求解结果示于下图中。
随着时间步长的缩小，计算结果逐渐趋向于一个恒定值，当
=0.00001s时，得所需时间为3.92s。
如图所示，横轴表示时间步长从1秒，0.1秒，0.01秒，0.001秒，0.0001秒，0.00001
秒的变化；纵轴表示所需的冷却时间（用对数坐标表示）。
4-17、一火箭燃烧器，壳体内径为400mm,厚10mm,壳体内壁上涂了一层厚为2mm的包裹层。
火箭发动时，推进剂燃烧生成的温度为3000C的烟气，经燃烧器端部的喷管喷住大气。
大
气温度为30C。
设包裹层内壁与燃气间的表面传热系数为2500W/（m.K），外壳表面与大气
间的表面传热系数为350W/（mK），外壳材料的最高允许温度为1500C。
试用数值法确
定：
为使外壳免受损坏，燃烧过程应在多长时间内完成。
包裹材料的=0.3W/（m.K）,
a=2107m2/s。
解：
采用数值方法解得420s。
4-18、锅炉汽包从冷态开始启动时，汽包壁温随时间变化。
为控制热应力，需要计算汽包内
壁的温度场。
试用数值方法计算：
当汽包内的饱和水温度上升的速率为1C/min,3C/min时,
启动后10min,20min,及30min时汽包内壁截面中的温度分布及截面中的最大温差。
启动前，汽包处于100C的均匀温度。
汽包可视为一无限长的圆柱体，外表面绝热，内表面与水之间
的对流换热十分强烈。
汽包的内径尺°.9m,外半径R21.01m,热扩散率a9.98106m2/s。
解：
数值方法解得部分结果如下表所示。
汽包壁中的最大温差，K
启动后时间，
min
温升速率，
K/min
1
3
10
7.136
21.41
20
9.463
28.39
30
10.19
30.57
4-19、有一砖墙厚为
0.3m,
=0.85W/（m.K）,c
1.05106J/（m3.K）室内温度为
2
t120C,h=6W/（mK）。
起初该墙处于稳定状态，且内表面温度为15C。
后寒潮入侵,
室外温度下降为tf210C,外墙表面传热系数h235W/（m.K）。
如果认为内墙温度下降0.1C是可感到外界温度起变化的一个定量判据，问寒潮入侵后多少时间内墙才感知到？
解：
采用数值解法得t=7900s。
4-20、一冷柜，起初处于均匀的温度（20C）。
后开启压缩机，冷冻室及冷柜门的内表面温
度以均匀速度18C/h下降。
柜门尺寸为1.2m1.2m。
保温材料厚8cm,=0.02W/（m.K）。
冰箱外表面包裹层很薄，热阻可忽略而不计。
柜门外受空气自然对流及与环境之间辐射的加热。
自然对流可按下式计算：
其中H为门高。
表面发射率0.8。
通过柜门的导热可看作为一维问题处理。
试计算压缩
机起动后2h内的冷量损失。
环境温
设冬天室外温度为24h内变化如下表所示。
室内空气温度115C且保持不变；外墙表面
22
传热系数为10W/（mK），内墙为6W/（mK）。
试用数值方法确定一天之内外墙，内墙及墙壁中心处温度随时间的变化。
取1h。
设上述温度工况以24h为周期进行变化。
时刻
0：
00
1：
002：
00
3：
004：
005：
006：
007：
008：
009：
00
10：
11：
/h
00
00
温度
0
-5.9
-6.2-6.6
-6.7-6.8-6.9-7.2-7.7-7.6-7.0
-4.9
-2.3
/0C
时刻
12：
13：
14：
15：
16：
17：
18：
19：
20：
21：
22：
23：
/h
00
00
0000
00
00
00
00
00
00
00
00
温度
0C
/C
-1.0
2.4
1.81.8
1.6
0.5
-1.6
-2.8
-3.5
-4.3
-4.8
-5.3
解：
采用数值解法得出的结果如下表所示。
时刻/h
0
12
3
4
5
6
7
8
环境温
外墙温
度/0C
-3.58
-3.07
-1.34
0.78
1.87
4.63
4.15
4.14
3.97
墙壁中
心温度
2.36
2.70
3.87
5.32
6.05
7.95
7.62
7.62
7.51
0
/C
内墙温
度/0C
8.31
8.49
9.11
9.87
10.26
11.26
11.10
11.10
11.10
时刻/h
18
19
20
21
22
23
环境温
0
-1.6
-2.8
-3.5
-4.3
-4.8
-5.3
度/C
外墙温
n一
3.06
1.34
0.36
-0.22
-0.87
-1.29
度/C
墙壁中心温度
0、
/C
6.09
5.73
5.05
4.66
4.21
3.93
内墙温
、0亠
10.71
10.10
9.73
9.53
9.30
9.14
度/0c
多维稳态导热问题
4-22、如附图所示，一矩形截面的空心电流母线的内外表面分别与温度为tfi，tf2的流体发生
对流换热，表面传热系数分别为h「h2，且各自沿周界是均匀的，电流通过壁内产生均匀热
源。
今欲对母线中温度分布进行数值计算，试：
（1）划出计算区域
（2）对该区域内的温度分布列出微分方程式及边界条件；
（3）对于图中内角顶外角顶及任一内部节点列出离散方程式（xy），设母线的导热
系数为常数。
4-23、一个长方形截面的冷空气通道的尺寸如附图所示。
假设在垂直于纸面的方向上冷空气
及通道墙壁的温度变化很小，可以忽略。
试用数值方法计算下列两种情况下通道壁面的温度分布及每米长度上通过壁面的冷量损失：
（1）内外壁分别维持在10C及30C
（2）内外壁与流体发生对流换热，且有tf110C,X20W/（m-K）,tf230C,
2
h24W/（m.K）。
解：
此题应采用计算机求解。
如有墙角导热的热点模拟实验设备，则计算参数（如h,t及
网格等）可以取得与实验设备的参数相一致，以把计算结果与实测值作比较。
根据对称性，取1/4区域为计算区域。
数值计算解出，对于给定壁温的情形，每米长通
道的冷损失为39.84W,对于第三类边界条件为30.97W（取壁面导热系数
0.53W/mK）
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