新浙教教数学八上同步练习15第4课时 角角边判定方法与角平分线的性质.docx

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新浙教教数学八上同步练习15第4课时角角边判定方法与角平分线的性质

1．5第4课时　“角角边”判定方法与角平分线的性质

知识点1　利用“AAS”判定三角形全等

1．如图1－5－48所示，AB与CD相交于点O，∠A＝∠B，

CO＝DO.又因为________＝________，所以△AOC≌△BOD，

其依据是________________．图1－5－48

2．如图1－5－49，E，A，C三点共线，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD.

求证：

BC＝ED.

图1－5－49

3．如图1－5－50，已知AD∥CE，∠1＝∠2.D为线段BE的中点，证明：

△ABD≌△CDE.

图1－5－50

知识点2　全等三角形判定与性质的结合

4．如图1－5－51所示，∠ACB′＝∠A′C′B，∠B＝∠B′，AB＝A′B′，点B，C′，C，B′在同一条直线上．若∠A＝68°，则∠A′＝________°.图1－5－51

5．如图1－5－52，四边形ABCD是一防洪堤坝的横截面，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝BF，∠D＝∠C，则AD与BC是否相等？

说明你的理由．

解：

AD＝BC.理由：

在△ADE和△BCF中，

∵

∴△ADE≌△BCF（________），

∴AD＝BC（____________________________）．图1－5－52

6．如图1－5－53，AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE，垂足分别为F，E.求证：

BE＝CF.

图1－5－53

知识点3　全等三角形的判定方法综合

7．如图1－5－54，在△ABC中，∠1＝∠2，D为BC上一点，要使△ABD≌△ACD.

（1）根据“SAS”还需要添加一个条件：

__________________________________________；

（2）根据“ASA”还需要添加一个条件：

___________________________________________；

（3）根据“AAS”还需要添加一个条件：

____________________________________________.

图1－5－54图1－5－55

8．2018·衢州如图1－5－55，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个条件可以是______________．（只需写一个，不添加辅助线）

9．如图1－5－56，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你添加一个条件，使CF＝BE（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．

图1－5－56

知识点4　角平分线的性质

10．如图1－5－57，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D.若

PD＝6，则点P到OB的距离为（　　）

A．6B．5C．4D．3

图1－5－57图1－5－58

11．如图1－5－58，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中错误的是（　　）

A．PC＝PDB．∠CPD＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD

12．如图1－5－59所示，OC平分∠AOB，OA＝OB，P为OC上一点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，F.求证：

PE＝PF.

图1－5－59

13．如图1－5－60所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.有以下结论：

①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

图1－5－60图1－5－61

14．如图1－5－61，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若

S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝__________．

15．2017·台州期末如图1－5－62，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°.求证：

AD＝CD.

图1－5－62

16．如图1－5－63，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，EF⊥FH，BG⊥FH，DH⊥FH，垂足分别为F，G，H，点A，C均在FH上，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S.

图1－5－63

教师详解详析

1．∠AOC　∠BOD　AAS

2．证明：

∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD.

在△ABC与△CED中，∵

∴△ABC≌△CED（AAS），

∴BC＝ED.

3．证明：

∵AD∥CE，

∴∠ADB＝∠CED.

∵D是BE的中点，

∴BD＝DE.

在△ABD和△CDE中，

∵

∴△ABD≌△CDE（AAS）．

4．68

5．∠C　已知　BFC　垂直的定义　BF　已知　AAS　全等三角形的对应边相等

6．[解析]欲证明BE＝CF，可证明△BED≌△CFD.由中线的定义及垂直的定义和对顶角的性质可以解决问题．

证明：

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD（中线的定义）．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED＝∠CFD＝90°（垂直的定义）．

在△BED和△CFD中，

∵

∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE＝CF.

7．

（1）AB＝AC　

（2）∠BDA＝∠CDA或AD⊥BC

（3）∠B＝∠C

[解析]注意公共边AD的使用．因为∠1是AB与AD的夹角，∠2是AC与AD的夹角，所以

（1）应填AB＝AC；因为AD是∠1与∠BDA的夹边，也是∠2与∠CDA的夹边，所以

（2）应填∠BDA＝∠CDA或AD⊥BC；因为AD在△ABD中的对角是∠B，在△ACD中的对角是∠C，所以（3）应填∠B＝∠C.

8．（答案不唯一）∠A＝∠D

9．解：

答案不唯一，如添加的条件是BD＝CD.

证明：

∵CF∥BE（已知），

∴∠EBD＝∠FCD（两直线平行，内错角相等）．

在△BDE和△CDF中，

∵

∴△BDE≌△CDF（ASA），

∴CF＝BE（全等三角形的对应边相等）．

10．A

11．B　[解析]∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，∴PC＝PD，故A正确；

在△OCP与△ODP中，

∵

∴△OCP≌△ODP，

∴∠CPO＝∠DPO，OC＝OD，故C，D正确；

不能得出∠CPD＝∠DOP，故B错误．

故选B.

12．[解析]由OC平分∠AOB，OA＝OB，OC为公共边，可得△AOC≌△BOC，从而可得∠ACO＝∠BCO.又∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF.

证明：

∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，

∵

∴△AOC≌△BOC，∴∠ACO＝∠BCO.

∴CO平分∠ACB.

又∵P为OC上一点，PE⊥AC，PF⊥BC，

∴PE＝PF.

13．C　[解析]∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，

∴∠EAB＝∠FAC.

又∵AE＝AF，∴△AEB≌△AFC，∴AB＝AC.在△ACN和△ABM中，

∵

∴△ACN≌△ABM（ASA），故④正确．

∵∠EAB＝∠FAC，

∴∠EAB－∠CAB＝∠FAC－∠CAB，

即∠EAM＝∠FAN，故③正确．

在△EAM和△FAN中，∵

∴△EAM≌△FAN（ASA），∴EM＝FN，故①正确．

由已知条件不能得出CD＝DN，故正确的结论有3个．

14．3　[解析]∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF＝2.

∵AB＝4，∴S△ABD＝×4×2＝4.

∵S△ABC＝7，∴S△ACD＝3，∴AC＝＝3.

15．证明：

如图，过点D分别作DM⊥BA交BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N，因此∠AMD＝∠CND＝90°.

∵BD平分∠ABC，∴DM＝DN.

∵∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠DAM＝180°，∴∠C＝∠DAM.

在△AMD与△CND中，

∵

∴△AMD≌△CND（AAS），∴AD＝CD.

16．解：

∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，

∴∠EAB＝∠EFA＝∠AGB＝90°，

∴∠EAF＋∠BAG＝90°，∠ABG＋∠BAG＝90°，

∴∠EAF＝∠ABG.

又∵AE＝BA，∠EFA＝∠AGB，

∴△EFA≌△AGB，

∴AF＝BG＝3，EF＝AG＝6.

同理可得△BGC≌△CHD，

得GC＝HD＝4，BG＝CH＝3.

故FH＝AF＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，

故S＝×（6＋4）×16－2××3×4－2××6×3＝50.