离散数学屈婉玲课后习题答案.docx
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离散数学屈婉玲课后习题答案
离散数学屈婉玲课后习题答案
【篇一:
离散数学第四版课后答案】
xt>第1章习题解答
1.1除(3),(4),(5),(11)外全是命题,其中,
(1),
(2),(8),(9),
(10),(14),(15)是简单命题,(6),(7),(12),(13)是复合命题。
分析首先应注意到,命题是陈述句,因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中,(3)为疑问句,(5)为感叹句,(11)为祈使句,它们都不是陈述句,
所以它们都不是命题。
其次,4)这个句子是陈述句,但它表示的判断结果是不确定。
又因为
(1),
(2),(8),(9),(10),(14),(15)都是简单的陈述句,因而作为命题,它们
都是简单命题。
(6)和(7)各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题,
(12)是由联结词“或”联结的复合命题,而(13)是由联结词“且”联结起来
的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中,合取联结词有许
多表述法,例如,“虽然?
?
,但是?
?
”、“不仅?
?
,而且?
?
”、“一面?
?
,
一面?
?
”、“?
?
和?
?
”、“?
?
与?
?
”等。
但要注意,有时“和”或“与”
联结的是主语,构成简单命题。
例如,(14)、(15)中的“与”与“和”是联结
的主语,这两个命题均为简单命题,而不是复合命题,希望读者在遇到“和”或
“与”出现的命题时,要根据命题所陈述的含义加以区分。
1.2
(1)p:
2是无理数,p为真命题。
(2)p:
5能被2整除,p为假命题。
(6)p→q。
其中,p:
2是素数,q:
三角形有三条边。
由于p与q都是真
命题,因而p→q为假命题。
(7)p→q,其中,p:
雪是黑色的,q:
太阳从东方升起。
由于p为假命
题,q为真命题,因而p→q为假命题。
(8)p:
2000年10月1日天气晴好,今日(1999年2月13日)我们还不
知道p的真假,但p的真值是确定的(客观存在的),只是现在不知道而已。
(9)p:
太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定,是确定的。
1
(10)p:
小李在宿舍里.p的真值则具体情况而定,是确定的。
(12)p∨q,其中,p:
4是偶数,q:
4是奇数。
由于q是假命题,所以,q
为假命题,p∨q为真命题。
(13)p∨q,其中,p:
4是偶数,q:
4是奇数,由于q是假命题,所以,p∨q
为假命题。
(14)p:
李明与王华是同学,真值由具体情况而定(是确定的)。
(15)p:
蓝色和黄色可以调配成绿色。
这是真命题。
分析命题的真值是唯一确定的,有些命题的真值我们立即可知,有些则不
能马上知道,但它们的真值不会变化,是客观存在的。
1.3令p:
2+2=4,q:
3+3=6,则以下命题分别符号化为
(1)p→q
(2)p→?
q
(3)?
p→q
(4)?
p→?
q
(5)p?
q
(6)p?
?
q
(7)?
p→q
(8)?
p?
?
q
以上命题中,
(1),(3),(4),(5),(8)为真命题,其余均为假命题。
分析本题要求读者记住p→q及p?
q的真值情况。
p→q为假当且仅当
p为真,q为假,而p?
q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题,
在4个蕴含式中,只有
(2)p→r,其中,p同
(1),r:
明天为3号。
在这里,当p为真时,r一定为假,p→r为假,当p为假时,无论r为真
还是为假,p→r为真。
2
1.5
(1)p∧q,其中,p:
2是偶数,q:
2是素数。
此命题为真命题。
(2)p∧q,其中,p:
小王聪明,q:
小王用功
(3)p∧q,其中,p:
天气冷,q:
老王来了
(4)p∧q,其中,p:
他吃饭,q:
他看电视
(5)p∧q,其中,p:
天下大雨,q:
他乘公共汽车上班
(6)p→q,其中,p,q的含义同(5)
(7)p→q,其中,p,q的含义同(5)
(8)?
p?
?
q,其中,p:
经一事,q:
长一智
这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。
在符号化时,应该注意,不要将联结
词部分放入简单命题中。
例如,在
(2)中,不能这样写简单命题:
p:
小王不但
聪明,q:
小王而且用功。
在(4)中不能这样写:
p:
他一边吃饭,q:
他一边
看电视。
关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。
p→q所表达的基本逻辑关系为,p是q的充公条件,或者说q是p的必要
条件,这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。
例如,“因为p,所以q”,“只要p,
就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q,否则?
p”“没有q,就没有p”等都表
达了q是p的必要条件,因而都符号化为p→q或?
p?
?
q的蕴含式。
在(5)中,q是p的必要条件,因而符号化为p→q,而在(6)(7)中,
p成了q的必要条件,因而符号化为q→p。
在(8)中,虽然没有出现联结词,但因两个命题的因果关系可知,应该符
号化为蕴含式。
1.6
(1),
(2)的真值为0,(3),(4)的真值为1。
3
001,?
,111题中指派p,q为0,r为1,于是就是考查001是该公式p∧(q∧r)的成真赋值,还是成假赋值,易知001是它的成假赋值。
1.7
(1),
(2),(4),(9)均为重言式,(3),(7)为矛盾式,(5),(6),(8),(10)为非重言式的可满足式。
一般说来,可用真值表法、等值演算法、主析取范式(主合取范式)法等判断公式的类型。
(1)对
(1)采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了
(1)中公式的真值表,由于真值表的最后一列全为1,所以,
(1)为重言式。
p∨q∨rp→(p∨q∨r)
pqr
00001
00111
01011
01111
10011
10111
11011
11111
等值演算法
p→(p∨q∨r)
?
?
p∨(p∨p∨r)(蕴含等值式)
?
(?
p∨p)∨p∨r(结合律)
?
1∨q∨r(排中律)
?
1(零律)
4
【篇二:
离散数学_屈婉玲_耿素云_张立昂_主编_高等教育出版社_课后最全答案】
t>课后练习题答案
1.将下列命题符号化,并指出真值:
(1)p∧q,其中,p:
2是素数,q:
5是素数,真值为1;
(2)p∧q,其中,p:
是无理数,q:
自然对数的底e是无理数,真值为1;
(3)p∧┐q,其中,p:
2是最小的素数,q:
2是最小的自然数,真值为1;
(4)p∧q,其中,p:
3是素数,q:
3是偶数,真值为0;
(5)┐p∧┐q,其中,p:
4是素数,q:
4是偶数,真值为0.
2.将下列命题符号化,并指出真值:
(1)p∨q,其中,p:
2是偶数,q:
3是偶数,真值为1;
(2)p∨q,其中,p:
2是偶数,q:
4是偶数,真值为1;
(3)p∨┐q,其中,p:
3是偶数,q:
4是偶数,真值为0;
(4)p∨q,其中,p:
3是偶数,q:
4是偶数,真值为1;
(5)┐p∨┐q,其中,p:
3是偶数,q:
4是偶数,真值为0;
3.
(1)(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中,小丽从筐里拿一个苹果,q:
小丽从筐里拿一个梨;
(2)(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中,p:
刘晓月选学英语,q:
刘晓月选学日语;.
4.因为p与q不能同时为真.
5.设p:
今天是星期一,q:
明天是星期二,r:
明天是星期三:
(1)p→q,真值为1(不会出现前件为真,后件为假的情况);
(2)q→p,真值为1(也不会出现前件为真,后件为假的情况);
(3)pq,真值为1;
(4)p→r,若p为真,则p→r真值为0,否则,p→r真值为1.
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第二章命题逻辑等值演算
本章自测答案
5.
(1):
∨∨,成真赋值为00、10、11;
(2):
0,矛盾式,无成真赋值;
(3):
7.
(1):
(2):
8.
(1):
1?
(2):
(3):
11.
(1):
(2):
∨∨∨∨∧?
∨∧∧∨∧∧∨.∧∨∧∨;?
1;∨∧∨?
∧∨∨∧∨∨∧,重言式;∨∧∨∧∨∧∨;∨∨∨∨∨∨∨?
?
∧∧∧∧∧;;∨∨∨∨∨∨∨,重言式,000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值;?
0,矛盾式.(3):
0?
12.a?
∧∧∧∧?
∨∨.
第三章命题逻辑的推理理论
本章自测答案
6.在解本题时,应首先将简单陈述语句符号化,然后写出推理的形式结构*,其次就是判断*是否为重言式,若*是重言式,推理就正确,否则推理就不正确,这里不考虑简单语句之间的内在联系
(1)、(3)、(6)推理正确,其余的均不正确,下面以
(1)、
(2)为例,证明
(1)推理正确,
(2)推理不正确
(1)设p:
今天是星期一,q:
明天是星期三,推理的形式结构为
(p→q)∧p→q(记作*1)
在本推理中,从p与q的内在联系可以知道,p与q的内在联系可以知道,p与q不可能同时为真,但在证明时,不考虑这一点,而只考虑*1是否为重言式.
可以用多种方法(如真值法、等值演算法、主析取式)证明*1为重言式,特别是,不难看出,当取a为p,b为q时,*1为假言推理定律,即(p→q)∧p→q?
q
(2)设p:
今天是星期一,q:
明天是星期三,推理的形式结构为
(p→q)∧p→q(记作*2)
可以用多种方法证明*2不是重言式,比如,等值演算法、主析取范式(主和取范式法也可以)等
(p→q)∧q→p
?
(┐p∨q)∧q→p
?
q→p
?
┐p∨┐q
?
?
∨∨
从而可知,*2不是重言式,故推理不正确,注意,虽然这里的p与q同时为真或同时为假,但不考虑内在联系时,*2不是重言式,就认为推理不正确.
9.设p:
a是奇数,q:
a能被2整除,r:
a:
是偶数
推理的形式结构为
(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p)(记为*)
可以用多种方法证明*为重言式,下面用等值演算法证明:
(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)
?
(┐p∨┐q)∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r)(使用了交换律)
?
(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r
?
(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)
?
┐p∨(q∨┐q)∧┐r
?
1
10.设p:
a,b两数之积为负数,q:
a,b两数种恰有一个负数,r:
a,b都是负数.
推理的形式结构为
(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)
?
(┐p∨q)∧┐p→(┐q∧┐r)
?
┐p→(┐q∧┐r)(使用了吸收律)
?
p∨(┐q∧┐r)
?
∨∨∨
由于主析取范式中只含有5个w极小项,故推理不正确.
11.略
14.证明的命题序列可不惟一,下面对每一小题各给出一个证明
①p→(q→r)前提引入
②p前提引入
③q→r①②假言推理
④q前提引入
⑤r③④假言推理
⑥r∨s前提引入
(2)证明:
①┐(p∧r)前提引入
②┐q∨┐r①置换
③r前提引入
④┐q②③析取三段论
⑤p→q前提引入
⑥┐p④⑤拒取式
(3)证明:
①p→q前提引入
②┐q∨q①置换
③(┐p∨q)∧(┐p∨p)②置换
④┐p∨(q∧p③置换
⑤p→(p∨q)④置换
15.
(1)证明:
①s结论否定引入
②s→p前提引入
③p①②假言推理
④p→(q→r)前提引入
⑤q→r③④假言推论
⑥q前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
(2)证明:
①p附加前提引入
②p∨q①附加
③(p∨q)→(r∧s)前提引入
④r∧s②③假言推理
⑤s④化简
⑥s∨t⑤附加
⑦(s∨t)→u前提引入
⑧u⑥⑦拒取式
16.
(1)证明:
①p结论否定引入
②p→┐q前提引入
③┐q①②假言推理
④┐r∨q前提引入
⑤┐r③④析取三段论
⑥r∧┐s前提引入
⑦r⑥化简
⑧┐r∧r⑤⑦合取
(2)证明:
①┐(r∨s)结论否定引入
②┐r∨┐s①置换
③┐r②化简
④┐s②化简
⑤p→r前提引入
⑥┐p③⑤拒取式
⑦q→s前提引入
⑧┐q④⑦拒取式
⑨┐p∧┐q⑥⑧合取
⑩┐(p∨q)⑨置换
口p∨q前提引入
⑾①口┐(p∨q)∧(p∨q)⑩口合取
17.设p:
a到过受害者房间,q:
a在11点以前离开,r:
a犯谋杀罪,s:
看门人看见过a。
前提:
(p∧┐q)→r,p,q→s,┐s
结论:
r
证明:
①q→s前提引入
②┐s前提引入
③┐q①②拒取式
④p前提引入
⑤p∧┐q③④合取
⑥(p∧┐q)→r前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
18.
(1)设p:
今天是星期六,q:
我们要到颐和园玩,s:
颐和园游人太多。
前提:
p→(p∨r),s→┐q,p,s
结论:
r
证明:
①s→┐q前提引入
②s前提引入
③┐q①②假言推理
④p前提引入
⑤p→(q∨r)前提引入
⑥q∨r④⑤假言推理
⑦r③⑥析取三段论
(2)设p:
小王是理科学生,q:
小王数学成绩好,r:
小王是文科学生。
前提:
p→q,┐r→p,┐q
结论:
r
证明:
①p→q前提引入
②┐q前提引入
③┐p①②拒取式
④┐r→p前提引入
⑤r③④拒取式
【篇三:
屈婉玲版离散数学课后习题答案【4】】
txt>4.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭:
(1)整数集合z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律,无零元和单位元
(2)非零整数集合错误!
未找到引用源。
普通的除法运算。
不封闭
(3)全体n?
n实矩阵集合错误!
未找到引用源。
(r)和矩阵加法及乘法运算,其中
n错误!
未找到引用源。
2。
封闭均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律;
加法单位元是零矩阵,无零元;
乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵;
(4)全体n?
n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算,其中n错误!
未找到引用源。
2。
不封闭
(5)正实数集合错误!
未找到引用源。
和错误!
未找到引用源。
运算,其中错误!
未找到引用源。
运算定义为:
错误!
未找到引用源。
不封闭因为1?
1?
1?
1?
1?
1?
?
1?
r?
(6)n错误!
未找到引用源。
关于普通的加法和乘法运算。
封闭,均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律
加法单位元是0,无零元;
乘法无单位元(n?
1),零元是0;n?
1单位元是1
(7)a={a1,a2,?
an}错误!
未找到引用源。
n错误!
未找到引用源。
运算定义如下:
错误!
未找到引用源。
封闭不满足交换律,满足结合律,
(8)s=错误!
未找到引用源。
关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律
(9)s={0,1},s是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭,乘法封闭;乘法满足交换律,结合律
(10)s=错误!
未找到引用源。
s关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律
5.对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律。
见上题
7.设*为z?
错误!
未找到引用源。
上的二元运算?
x,y?
z?
,
x*y=min(x,y),即x和y之中较小的数.
(1)求4*6,7*3。
4,3
(2)*在z上是
否适合交换律,结合律,和幂等律?
满足交换律,结合律,和幂等律
(3)求*运算的单位元,零元及z?
中所有可逆元素的逆元。
单位元无,零元1,所有元素无逆元
8.s?
q?
q?
q为有理数集,*为s上的二元运算,错误!
未找到引用源。
a,b,x,y错误!
未找到引用源。
s有
a,b*x,y=ax,ay+b
(1)*运算在s上是否可交换,可结合?
是否为幂等的?
不可交换:
x,y*a,b=xa,xb+y?
a,b*x,y
可结合:
(a,b*x,y)*c,d=ax,ay+b*c,d=axc,axd+(ay+b)
a,b*(x,y*c,d)=a,b*xc,xd+y=axc,a(xd+y)+b
(a,b*x,y)*c,d=a,b*(x,y*c,d)
不是幂等的
(2)*运算是否有单位元,零元?
如果有请指出,并求s中所有可逆元素的逆元。
设a,b是单位元,错误!
未找到引用源。
x,y错误!
未找到引用源。
s,a,b*x,y=x,y*a,b=x,y
则ax,ay+b=xa,xb+y=x,y,解的a,b=1,0,即为单位。
设a,b是零元,错误!
未找到引用源。
x,y错误!
未找到引用源。
s,a,b*x,y=x,y*a,b=a,b
则ax,ay+b=xa,xb+y=a,b,无解。
即无零元。
错误!
未找到引用源。
x,y错误!
未找到引用源。
s,设a,b是它的逆元a,b*x,y=x,y*a,b=1,0
ax,ay+b=xa,xb+y=1,0
a=1/x,b=-y/x
所以当x?
0时,?
x,y?
?
1?
1
x,?
y
x
10.令s={a,b},s上有四个运算:
*,错误!
未找到引用源。
分别有表10.8确定。
(a)(b)(c)(d)
(1)这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律?
(a)交换律,结合律,幂等律都满足,零元为a,没有单位元;
(b)满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元
a?
1?
a,b?
1?
b
(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律
a?
(b?
b)
a?
(b?
b)?
a?
a?
b,?
(a?
b)?
b(a?
b)?
b?
a?
b?
a
没有单位元,没有零元
(d)不满足交换律,满足结合律和幂等律
没有单位元,没有零元
(2)求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元。
见上
16.设v=〈n,+,错误!
未找到引用源。
〉,其中+,错误!
未找到引用源。
分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成v的子代数,为什么?
(1)s1=错误!
未找到引用源。
是
(2)s2=错误!
未找到引用源。
不是加法不封闭
(3)s3={-1,0,1}不是,加法不封闭
第十一章部分课后习题参考答案
8.设s={0,1,2,3},为模4乘法,即
y=(xy)mod4?
x,y∈s,x
问〈s,〉是否构成群?
为什么?
y=(xy)mod4?
s解:
(1)?
x,y∈s,x,是s上的代数运算。
(2)?
x,y,z∈s,设xy=4k+r0
(xy)z=((xy)mod4)?
r?
3z=rz=(rz)mod4
=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod4
同理x(yz)=(xyz)mod4
y)z=x1)=(1(yz),结合律成立。
所以,(x(3)?
x∈s,(x(4)1?
1?
1,3?
1x)=x,,所以1是单位元。
?
3,0和2没有逆元
所以,〈s,
〉不构成群
9.设z为整数集合,在z上定义二元运算。
如下:
?
x,y∈z,xoy=x+y-2
问z关于o运算能否构成群?
为什么?
解:
(1)?
x,y∈z,xoy=x+y-2?
(2)?
x,y,z∈z,
(xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4
同理(xoy)oz=xo(yoz),结合律成立。
(3)设e是单位元,?
x∈z,xoe=eox=x,即x+e-2=e+x-2=x,e=2
(4)?
x∈z,设x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,所以,x?
1?
y?
4?
xz,o是z上的代数运算。
所以〈z,o〉构成群
11.设?
?
1g=?
?
?
?
?
00?
?
?
1?
?
1?
?
?
00?
?
?
?
1?
?
?
1?
?
?
00?
?
?
1?
?
?
1?
?
?
00?
?
?
?
?
?
1?
?
,证明g关于矩阵乘法构成一个群.
解:
(1)?
x,y∈g,易知xy∈g,乘法是z上的代数运算。
(2)矩阵乘法满足结合律
(3)设?
?
?
1?
00?
?
?
1?
是单位元,
(4)每个矩阵的逆元都是自己。
所以g关于矩阵乘法构成一个群.
14.设g为群,且存在a∈g,使得
g={ak∣k∈z}
证明:
g是交换群。
证明:
?
x,y∈g,设x
xy?
aa?
aklk?
l?
a,l?
kky?
a?
aall,则?
yx?
?
ak
所以,g是交换群
17.设g为群,证明e为g中唯一的幂等元。
证明:
设e0
18.设g为群,a,b,c∈g,证明
∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣
证明:
先证设(abc
设(abc)k?
g也是幂等元,则e02?
e0,即e02?
e0e,由消去律知e0?
e)k?
e?
(bca)k?
e?
e,则(abc)(abc)(abc)?
(abc)?
e,
a(bc)(abc)(abc)a?
(bc)aa?
1即?
e
左边同乘a?
1,右边同乘a得
(bca)(bca)(bca)?
(bca)?
(bac)
kkk?
a?
1ea?
e反过来,设(bac)?
e,则(abc)?
e.
由元素阶的定义知,∣abc∣=∣bca∣,同理∣bca∣=∣cab∣