44.如图所示,把一些长度均为4m(PA+PB=4m)的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐篷.根据人们的生活体验知道:
人在帐篷里的“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关,设AB为x,AB边上的高PH为y,则k=.若k越大,则“舒适感”越好.
(1)求“舒适感”k的取值范围;
(2)已知M是线段AB的中点,H在线段AB上,设MH=t,当人在帐篷里的“舒适感”k达到最大值时,求y关于自变量t的函数解析式,并求出y的最大值(请说明详细理由).
解:
(1)k===,(2分)
∵x2+y2≥2xy,∴≤1(当且仅当x=y时,取“=”号),∴k≤.(4分)
∵>0,∴k>1,∴k的取值范围是(1,].(6分)
(2)由PA+PB=4及
(1)的结论,得+=4,(8分)
∴=4-.
两边平方、化简得y=4,(10分)
当H与M重合时,t=0,当H与A重合时,有PA=AB=y,
∴y2+y2=(4-y)2,∴y=4-4,即t=2-2,(12分)
∴y=4(0≤t≤2-2).(13分)
∵0≤t≤2-2,∴∈,∴1-∈,(15分)
∴ymax=,此时t=0.(16分)
说明:
若没有过程,直接求出y的最大值得2分.
45.几名大学毕业生合作开设3D打印店,生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元,该店的月总成本由两部分组成:
第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系:
①当34≤x≤60时,t(x)=-a(x+5)2+10050;②当60≤x≤70时,t(x)=-100x+7600.设该店月利润为M(元),月利润=月销售总额-月总成本.
(1)求M关于销售价格x的函数关系式;
(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.
解:
(1)当x=60时,t(60)=1600,代入t(x)=-a(x+5)2+10050,解得a=2.(2分)
∴M(x)=即M(x)=(4)
(注:
写到上一步,不扣分)
(2)设g(u)=(-2u2-20u+10000)(u-34)-20000,34≤u<60,u∈R,则g′(u)=-6(u2-16u-1780).
令g′(u)=0,解得u1=8-2(舍去),u2=8+2∈(50,51).(7分)
当340,g(u)单调递增;当51
∵x∈N*,M(50)=44000,M(51)=44226,∴M(x)的最大值为44226.(12分)
当60≤x≤76时,M(x)=100(-x2+110x-2584)-20000单调递减,
故此时M(x)的最大值为M(60)=21600.(14分)
综上所述,当x=51时,月利润M(x)有最大值44226元.(15分)
答:
该打印店月利润最大为44226元,此时产品的销售价格为51元/件.(16分)
46.过去的2013年,我国多地区遭遇了雾霾天气,引起口罩热销.某品牌口罩原来每只成本为6元,售价为8元,月销售5万只.
(1)据市场调查,若售价每提高0.5元,月销售量将相应减少0.2万只,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该口罩每只售价最多为多少元?
(2)为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每只售价x(x≥9)元,并投入(x-9)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每只售价每提高0.5元,月销售量将相应减少万只.则当每只售价x为多少时,下月的月总利润最大?
并求出下月最大总利润.
解:
(1)设每只售价为x元,则月销售量为(5-×0.2)万只,
由已知得(x-6)≥(8-6)×5,(3分)
∴x2-x+≤0,即2x2-53x+296≤0,(4分)
解得8≤x≤,(5分)
即每只售价最多为18.5元.(6分)
(2)下月的月总利润y=(x-6)-(x-9)(9分)
=-x+=-x+=-+,(10分)
∵x≥9,∴+≥2=,(12分)
当且仅当=,即x=10,ymax=14,(13分)
答:
当x=10时,下月的月总利润最大,且最大利润为14万元.(14分)
47.某运输装置如图所示,其中钢结构ABD是AB=BD=l,∠B=的固定装置,AB上可滑动的点C使CD垂直于底面(C不与A、B重合),且CD可伸缩(当CD伸缩时,装置ABD随之绕D在同一平面内旋转),利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D→C→A运送至A处,货物从D处至C处运行速度为v,从C处至A处运行速度为3v.为了使运送货物的时间t最短,需在运送前调整运输装置中∠DCB=θ的大小.
(1)当θ变化时,试将货物运行的时间t表示成θ的函数(用含有v和l的式子);
(2)当t最小时,C点应设计在AB的什么位置?
解:
(1)在△BCD中,∵∠BCD=θ,∠B=,BD=l,∴BC=,CD=,(4分)
∴AC=AB-BC=l-,则t=+=-+(<θ<).(8分)
(2)t=+=+·,(10分)
令m(θ)=,则m′(θ)=.(12分)
令m′(θ)=0得cosθ=,设cosθ0=,θ0∈,
则θ∈时,m′(θ)<0;θ∈(θ0,)时,m′(θ)>0,
∴cosθ=时m(θ)有最小值2,此时BC=l.(14分)
答:
当BC=l时货物运行时间最短.(15分)
48.从旅游景点A到B有一条100公里的水路,某轮船公司开设一个游轮观光项目.已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例,其他费用为每小时3240元,游轮最大时速为50km/h,当游轮速度为10km/h时,燃料费用为每小时60元,若单程票价定为150元/人.
(1)一艘游轮单程以40km/h航行,所载游客为180人,轮船公司获得的利润是多少?
(2)如果轮船公司要获取最大利润,游轮的航速为多少?
解:
设游轮以vkm/h的速度航行,游轮单程航行的总费用为f(v)元,∵游轮的燃料费用每小时k·v3元,依题意k·103=60,则k=,(2分)
∴f(v)=v3·+3240·=6v2+.(5分)
(1)当v=40km/h时,f(v)=6×402+=17700(元),轮船公司获得的利润是150×180-17700=9300元.(7分)
(2)f′(v)=12v-=,令f′(v)=0,得v=30,(9分)
当00,此时f(v)单调递增.(12分)
故当v=30时,f(v)有极小值,也是最小值,f(30)=16200,
∴轮船公司要获取最大利润,游轮的航速应为30km/h.(15分)
49.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30m,其中大圆弧所在圆的半径为10m.设
小圆弧所在圆的半径为xm,圆心角为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值?
解:
(1)设扇环的圆心角为θ,则30=θ(10+x)+2(10-x),所以θ=.(4分)
(2)花坛的面积为θ(102-x2)=(5+x)(10-x)=-x2+5x+50(0装饰总费用为9θ(10+x)+8(10-x)=170+10x,(9分)
所以花坛的面积与装饰总费用的比y==-.(11分)
令t=17+x,则y=-≤,当且仅当t=18时取等号,此时x=1,θ=.
答:
当x=1时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.(14分)
(注:
对y也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分)
50.如图,把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.
(1)当高h和宽b取多少时,才能使梁的截面面积取最大值?
(2)当高h和宽b取多少时,才能使梁的抗弯截面模量取最大值?
并求出这个最大值.(注:
矩形梁的抗弯截面模量为W=bh2)
解:
(1)∵d2=h2+b2≥2bh,(4分)
∴bh≤d2,当b=h=d时,截面面积取最大值.(6分)
(2)∵h2+b2=d2h2=d2-b2,(8分)
∴W=b(d2-b2)=(d2b-b3)(0
当00,当
∴当b=时,h=d时,W取最大值,Wmax=××d2=d3.(14分)
51.如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB、AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:
km).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
解:
(解法1)设∠AM