向量的坐标表示及其运算.docx
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向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算
【知识概要】
1.向量及其表示
1）向量：
我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头
ruuu
uuu
.向量AB
来表示，如a读作向量a，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB，表示由
A到B的向量.A为向量的起点，B为向量的终点）
ruuu|r
（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）.
注：
①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是
两种不同的量，要加以区别；
2长度为0的向量叫零向量，记作0+0的方向是任意的*注意0与0的区别+
3长度为1个单位长度的向量，叫单位向量•
说明：
零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向
例3把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是
A.一条线段
B一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆
2）向量坐标的有关概念
1基本单位向量：
在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位
向量叫做基本单位，记为r和j.
ruuur
2将向量a的起点置于坐标原点O，作OAa，则OA叫做位置向量，如果点A的坐
uuuuuuuuultruuurr
标为（x,y），它在x轴和y轴上的投影分别为M,N，则OAOmOn,aOAxiyj.
3向量的正交分解
uurrr
在②中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j分别乘上实数x,y后组成的和式，该和式称为I、［的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对（x,y）
叫做向量a的坐标，记为a=（x,y）.
uuun
般地，对于以点R（xi,如）为起点，点P2（X2,y2）为终点的向量P1P2，容易推得
uuur
的坐标，记作RP2=（x2x1,y2y1）.
3）向量的坐标运算：
a（x-,,y1）,b（x2,y2），R
a的模（norm）.
则ab（为X2,y,y2）;ab（x,x?
%y?
）;a（x,,x?
）.
4）向量的模：
设a（x,y），由两点间距离公式，可求得向量
注：
①向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示;
②向量的模是个标量，并且是一个非负实数•
uuu.Iuuu
例4已知点A的坐标为（2,0），点B的坐标为（3,0），且AP]4,BP3，求点P的坐标.
612612
解：
点P的坐标为（6,生）或（6,12）.
5555
rrrrrr
例5已知2ab（4,3）,a2b（3,4），求a、b的坐标.
rr
解：
a（1,2）,b（2,1）
例6设向量a,b,c,,r，化简：
rrrrrrrr
（1）（abc）（abc）（）（bc）；
（2）2（abc）（2a2b）2c.
解：
都为0.
2.向量平行的充要条件
平行向量：
方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）•
已知a与b为非零向量，若a（x-!
y1）,b（x2,y2），则a//b的充要条件是x-iy2x2y1，所以，向量平行的充要条件可以表示为：
a//bab（其中为非零实数）x.）y2x2y1.
ruuuruuu—
例7已知向量a（2,3），点A（2,1），若向量AB与a平行，且AB2J13，求向量
uuu
OB的坐标•
uuu
解：
OB的坐标为（6,7）或（2,5）.
3.定比分点公式
1）定比分点公式和中点公式
1Pi,F2是直线I上的两点，P是I上不同于R,F2的任一点，存在实数，
——umr——
使FiF=FF2，叫做点F分RP2所成的比，有三种情况
V.
■
■
Pl
—
徉
0
巧
—
P*
卫】
（内分）>0（外分）<-1（外分）-1<<0
uiur
②已知P（X1,yJ、F2（X2,y2）是直线I上任一点，且RP=PF2（R,1）.P是直
x
线PF2上的一点，令P（x,y），则
y
线段PP2的定比分点公式，特别地
就是说，当1时，定比分点不存在•
2）三角形重心坐标公式
设ABC的三个点的坐标分别为A（x「yj,B（X2,y2）,C（X3,y3）,G为ABC的重心，则
Xg
uuu
3AB，求点P的坐标.
15
解：
当P在P1P2上时，P（0,3）;当P在PF2延长线上，P（8,15）.
例9已知A（3,1）,B（4,2），P是直线AB上一点，若2AP
*方法提炼*
几个重要结论
rrrrrrrr
1.若a,b为不共线向量，则ab，ab为以a,b为邻边的平行四边形的对角线的向量;
2.a
r2
2（a
[A（X1,yJ,B（X2,y2）C（X3”3）]
【基础夯实】
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量AB与CD是共线向量，则ABCD四点必在一直线上;
2单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件;
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同
AB、
解：
①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量
AC在同一直线上.
2不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
3不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的
4、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点,-
同，但其终点却相同.
评述：
本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
2.下列命题正确的是（C）
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
3.在下列结论中，正确的结论为（D）
（1）a//b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件
（2）a//b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件
（3）a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件
（4）a与b方向相反或|a|丰|b|是a丰b的充分不必要条件
A.
（1）（3）B.⑵（4）C.⑶（4）D.
（1）（3）（4）
4.已知点A分有向线段BC的比为2，则在下列结论中错误的是（D）
1
A.点C分AB的比是-1B.点C分BA的比是-3
3
—2—
C点C分AC的比是-D•点A分CB的比是2
3
5.已知两点R（1,6）、P2（3,0），点P（7,y）分有向线段丽所成的比为，则、y
3
的值为（C）
1
1
c1
1
A—,8
B.,—8
C—
—8
D.4,-
4
4
4
8
6.△ABC的两个顶点A（3,
7）和B（-2,5），若
AC的中点在
x轴上，
BC的中点在y轴上，则
顶点C的坐标是（A）
A（2,-7）
B（-7,2）
C.（-3
-5）
D（-5,-3）
7.“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的
条件.
答案：
必要非充分
8.已知a、b是两非零向量，且a与b不共线,若非零向量c与a共线，则c与b必定
答案：
不共线
9.已知点A（x,2）,B（5,1）,C（-4,2x）在同一条直线上，那么x=•
答案：
2或-
2
10.△ABC的顶点A（2，3），B（-4，-2）和重心G（2,-1），贝UC点坐标为.
答案：
（8,-4）
1—
11.已知ABC边AB上的一点，且Samc-SABC，贝yM分AB所成的比为•
8
1
答案：
丄
7
【巩固提高】
12.已知点A（1,4）>B（5,2），线段AB上的三等分点依次为P、P2，求R、P2点的
坐标以及代B分PP2所成的比.
1解：
P1（1,-2）,P2（3,0）,A、B分pm?
所成的比入1、入2分别为-—,-22
13.过R（1,3）、P2（7,2）的直线与一次函数
成的比值.
5
解：
一
12
14.已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为
0）、N（-1,-2），求平行四边形的各个顶点坐标解：
E（8,—l）,C（4,—3）,D
28——
yx的图象交于点P，求P分RF2所
55
A（-2,1）,一组对边AB、CD的中点分别为M（3,
■*
（—6,-1）
15.设P是ABC
uuuuuu
（A）.PAPB''uuuuuu
（C）.PBPC
所在平面内的一点,
Oro
uuuuuruuu
BCBA2BP^（B）
uuuujar
（B）.PCPA0
''uunuuruuurr
（D）.PAPB+PC0
（2,1），则a（1,1）或（3,1）.
16.若平面向量a,b满足ab1,ab平行于x轴,
17.在厶ABC中，点P在BC上，且2PC,点Q是AC的中点.若RA=（4,3）,PQ=（1,5）,则Bc等于（）
A.（-6,21）B.（-2,7）
C.（6,-21）D.（2,-7）
解析：
选A.Ac=2AQ=2（PQ—RA）=（-6,4）,PC=RA+AC=（—2,7）,BC=3PC=（-6,21）.
uuuuuuuur
18.已知O为坐标原点，向量OA（2,m）,OB（n,1）,OC（5,1）.若A,B,C三点共线,且m2n,求实数m,n的值
uuu
19.已知点A（3,0）,B（-1,-6）,P是直线AB上一点，且|AP|
20.已知向量m（cos,sin）和n2sin,cos）,
1uuu
-|AB|，求点P的坐标•
3
（,2），且|mn|\2,
5
求cos（—-）的值。
28
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