微观经济学计算题.docx

微观经济学计算题.docx

《微观经济学计算题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微观经济学计算题.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

微观经济学计算题

微观经济学计算题

第二章需求、供给

计算题

2、假设X商品的需求曲线为直线，QX=40-0.5PX,,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8的那一点相交,在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半，请根据上述条件求Y的需求函数。

解:

当PX=8时,QX=36,且|EX|=1/9,故|EY|=2/9,设Y商品的需求函数为QY=a-bPY,

由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为QY=44-PY.

3、某人每周收入120元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，PX=2元，PY=3元。

求

（1）为获得最大效用，他会购买几单位X和Y？

（2）货币的边际效用和总效用各多少？

（3）假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增加多少？

解:

（1）由U=XY，得MUX=Y，MUY=X，根据消费者均衡条件得Y/2=X/3

考虑到预算方程为2X+3Y=120

解得X=30，Y=20

（2）货币的边际效用λ=MUX/PX=Y/PX=10

总效用TU=XY=600

（3）提价后PX=2.88新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3

由题意知XY=600，解得X=25，Y=24

将其代入预算方程M=2.88×25+3×24=144元

ΔM=144-120=24元

因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。

3、证明需求曲线P=a/Q上的点均为单一弹性

证明：

dQ/dP=-aP-2,Ed=（dQ/dP）（P/Q）=（-aP-2）（P/aP-1）=-1,故|Ed|=1，为单一弹性。

4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性.

解:

由题设,P1=32,P2=40,Q2=880

Q1=880/（1-12%）=880/88%=1000

于是,Ed=[（Q2-Q1）/（P2-P1）]×[（P1+P2）/（Q1+Q2）]≈-0.57

故需求弹性约为-0.57.

5、设汽油的需求价格弹性为-0.5，其价格现为每加仑1.20美元，试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10％？

解：

因为（dQ/Q）·（P/dP）=-0.5要使dQ/Q=-10%，则有dP/P=1/5

dP=1.2×0.2=0.24所以每加仑汽油价格要上涨0.24美元

6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2，软盘驱动器的弹性为-1，如果公司将两种产品都提价2%，那么这些产品的销售将会怎样变化？

解：

因为芯片弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-2所以dQ/Q=-2×2%=-4%

因为软盘驱动器弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-1所以dQ/Q=-1×2%=-2%

即提价2%后，芯片销售下降4%，软盘驱动器销售下降2%。

7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为：

u=xy,x,y的价格均为4，消费者的收入为144，求x价格上升为9，所带来的替代效应和收入效应。

解：

Mux=yMuy=x因为Mux/Px=Muy/Py得X=y

又因为4X+4y=144得X=y=18

购买18单位x与18单位y，在x价格为9时需要的收入M=234

在实际收入不变时，Mux/Muy=Px/Py=y/x=9/4且9x+4y=234

得x=13，可以看出由于替代效应对X商品的购买减少5单位。

再来看价格总效应，当Px=9,Py=4时，Mux=yMuy=xY/x=9/4且9x+4y=144

得X=8y=18

由此可见价格总效应使X商品的购买减少10单位，收入效应与替代效应各为5单位。

8、某消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率处处是Y/X，Y是商品Y的消费量，X是商品X的消费量。

（1）说明对X的需求不取决于Y的价格，X的需求弹性为1；

（2）PX=1，PY=3，该消费者均衡时的MRSXY为多少？

（3）对X的恩格尔曲线形状如何？

对X的需求收入弹性是多少？

解：

（1）消费者均衡时，MRSXY=Y/X=PX/PY，即PXX=PYY，

又因为PXX+PYY=M，故X=M/2PX，可见对X的需求不取决于Y的价格。

由于dX/dPX=-M/2PX2|EX|=-（dX/dPX）（PX/X）=1

（2）已知PX=1，PY=3，消费者均衡时，MRSXY=PX/PY=1/3。

（3）因为X=M/2PX，所以dX/dM=1/2PX，

若以M为纵轴，X为横轴，则恩格尔曲线是从原点出发，一条向右上方倾斜的直线，其斜率是dM/dX=2PX。

对X的需求收入弹性EM=（dX/dM）（M/X）=1

9、已知销售商品X的总收益（R=PQ）方程为：

R=100Q-2Q2，计算当边际收益为20时的点价格弹性。

解：

由R=100Q-2Q2，得MR=dR/Dq=100-4Q

当MR=20时，Q=20，考虑到R=PQ=100-2Q2，得P=100-2Q=60

Ed=（dQ/dP）·（P/Q）=（-1/2）·（60/20）=-3/2

10、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：

PX=1000-5QX，PY=1600-4QY，这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。

（1）求X和Y当前的价格弹性；

（2）假定Y降价后，使QY增加到300单位，同时导致X的销售量QX下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？

（3）假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化，你认为它降价在经济上是否合理？

解：

（1）PX=1000-5QX=1000-5×100=500

PY=1000-5QY=1600-4×250=600

EdX=（dQX/dPX）·（PX/QX）=（-1/5）·（500/100）=-1

EdY=（dQY/dPY）·（PY/QY）=（-1/4）·（600/250）=-3/5

（2）由题设，QY’=300,QX’=75

则PY’=1600-4QY’=400ΔQX=-25,ΔQY=-200

于是EXY=（ΔQX/ΔPY）·[（PY+PY’）/2]·[2/（QX+QX’）]=5/7

（3）根据

（1）得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性,

这时降价会使销售收入减少,故降价不合理.

第三章消费者行为理论

计算题

1、某人每周花360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:

U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购买效用最大?

解:

max:

U=2X2Y

S.T360=3X+2Y

构造拉格朗日函数得:

W=2X2Y+λ（360-3X-2Y）

dW/Dx=MUx-3λ=4xy-3λ=0

dW/Dy=MUy-2λ=2x2-2λ=0

求得:

4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=60

2、求最佳需求，maxU=X1+（X2-1）3/3

S.T4X1+4X2=8

（1）如果效用函数变为U=3X1+（X2-1）3,而预算约束不变则最佳需求会改变吗？

（2）如果效用函数不变，而预算约束变为2X1+2X2=4,则最佳需求会改变吗？

．解：

运用拉格朗日函数，L=X1+（X2-1）3/3+λ（8-4X1-4X2）

dL/dX1=1-4λ=0

dL/dX2=（x2_1）2-4λ=0显然，（X2-1）2=1,求得：

X2=0,X1=2;或X2=2,X1=0

代入总效用函数,可将X2=2,X1=0舍去,因此最佳需求为X2=0,X1=2

当U=3X1+（X2-1）3时，同理求得X1=2,X2=0,即最佳需求不变.

当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:

X1=2,X2=0,最佳需求也不变.

3、某人的收入为10000元，全部用于购买商品X和商品Y（各自的价格分别为50、20元），其效用函数为u=xy2。

假设个人收入税率为10%，商品X的消费税率为20%。

为实现效用极大化，该人对商品x、y的需求量应分别为多少？

解：

M=10000（1-10%）=9000

Px=50（1+20%）=60

Py=20

预算约束式：

60x+20y=9000由此可得y=450-3x代入u=xy2的得

u=9（x3-300x2+22500x）

由du/dx=9（3x2-600x+22500）=0得

x1=150x2=50由于x1=150时,u=0不合题义，所以该人需求量为x=50，y=300。

4、所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy，收入为100，y的价格为10，当x的价格由2上升至8时，其补偿收入（为维持效用水平不变所需的最小收入）是多少？

解：

最初的预算约束式为

2x+10y=100

效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10

由此得y/x=1/5

x=25,y=5,u=125

价格变化后，为维持u=125效用水平，在所有组合（x,y）中所需收入为

m=8x+10y=8x+10·125/x

最小化条件（在xy=125的约束条件下）

dm/dx=8-1250x-2=0

解得x=12.5,y=10,m=200

5、若某消费者的效用函数为U=XY4，他会把收入的多少用于商品Y上？

解:

由U=XY4，得MUX=Y4，MUY=4XY3，根据消费者均衡条件得Y4/PX=4XY3/PY，

变形得：

PXX=（1/4）PYY，将其代入预算方程得PYY=（4/5）M，

即收入中有4/5用于购买商品Y。

6、设某消费者的效用函数为U（x,y）=2lnx+（1-α）lny；消费者的收入为M;x,y两商品的价格分别为PX，PY；求对于X、Y两商品的需求。

解:

构造拉格朗日函数L=2lnX+（1-α）lnY+λ（M-PXX-PYY）

对X、Y分别求一阶偏导得2Y/（1-α）X=PX/PY代入PXX+PYY=M

得:

X=2M/（3-α）PXY=（1-α）M/（3-α）PY

7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X，和对商品Y的消费量，购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。

假设日工资为100元，商品Y的价格为50元，问该人若想实现效用最大化（U=X2Y3），则他每年应安排多少个劳动日？

解：

预算约束式为50Y=100L，即Y=2L=2（365-X）

构造拉格朗日函数L=X2Y3-λ（Y+2X-730）

对X、Y分别求一阶偏导得Y=3X，进而得X=146，Y=438，L=219,

即该人每年应安排219个工作日.

8、消费X，Y两种商品的消费者的效用函数为U=X3Y2，两种商品的价格分别为PX=2，PY=1，消费者收入为M=20，求其对X，Y的需求量。

解：

PXX+PYY=M

2X+Y=20

U=X3（20-2X）2=400X3—80X4+4X5

效用极大1200X2-320X3+20X4=0

解得X1=0，X2=6，X3=10

X=0或10时U=0，不合题意

所以X=6，Y=8。

9、令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b>0,并假定每单位商品征收t单位的销售税，使得他支付的价格提高到P（1+t）。

证明，他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。

解:

设价格为P时，消费者的需求量为Q1，由P=a-bQ1,得Q1=（a-P）/b。

又设价格为P（1+t）时，消费者的需求量为Q2，则Q2=[a-P（1+t）]/b

消费者剩余的损失

=∫0Q1（a-bQ）dQ-PQ1-[∫0Q2（a-bQ）dQ-P（1+t）Q2]

=∫Q1Q2（a-bQ）dQ+P（1+t）Q2-PQ1

=（aQ-bQ2/2）∣Q1Q2+P（1+t）Q2-PQ1

政府征税而提高的收益=P（1+t）Q2-PQ1

消费者剩余损失—政府征税得到的收益

=（aQ-bQ2/2）∣Q1Q2=（aQ1-bQ12/2）-（aQ2-bQ22/2）

=（2tP+t2P2）/2b

因为b、t、P>0所以（2tP+t2P2）/2b>0

因此，消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。

第四章生产者行为理论

计算题

1、生产函数为Q=LK-0.5L2+0.08K2，现令K=10，求出APL和MPL。

解：

APL=10-0.5L+8/L，MPL=K-L=10-L

2、假定某大型生产企业，有三种主要产品X、Y、Z，已知它们的生产函数分别为：

QX=1.6L0.4C0.4M0.1

QY=（0.4L2CM）1/2

QZ=10L+7C+M

试求这三种产品的生产规模报酬性质.

解：

fX（λL,λC,λM）=1.6（λL）0.4（λC）0.4（λM）0.1=λ0.9QX

产品X的规模报酬递减

fY（λL,λC,λM）=[0.4（λL）2（λC）（λM）]1/2=λ2QY

产品Y的规模报酬递增

fZ（λL,λC,λM）=10λL+7λC+λM=λQZ

产品Z的规模报酬不变

3、已知生产函数为Q=f（K，L）=10KL/（K+L），求解

（1）劳动的边际产量及平均产量函数；

（2）劳动边际产量的增减性。

解：

（ａ）劳动的边际产量MPL=dQ/dL=10K2/（K+L）2,

劳动的平均产量APL=Q/L=10K/（K+L）

（b）因为MPL=10K2/（K+L）2,得：

d（MPL）/dL=[-10K2×2（K+L）]/（K+L）4

=-20K2/（K+L）3<0

所以边际产量函数为减函数。

4、某企业使用资本和劳动生产一种小器具，在短期中，资本固定，劳动可变，短期生产函数为Ｘ＝－Ｌ３＋２４Ｌ２＋２４０Ｌ,其中，Ｘ是小器具的每周生产量，Ｌ是雇佣工人的数量，每个工人一周工作４０小时，工资率为１２元／小时。

（A）计算企业在下列情况下Ｌ的取值范围：

⑴　第一阶段;⑵　第二阶段;⑶　第三阶段

（B）使企业愿意保持短期生产的最低产品价格是多少？

（C）产品以一定的价格出售，使得企业每周可能的最大纯利是１０９６元，为了获得这样多的利润，必须雇佣１６个工人，问企业的总固定成本是多少？

解：

Ａ.区分三个生产阶段,关键在于确定AP最大和MP＝０所对应的数值：

ＡＰ＝－Ｌ２＋２４Ｌ＋２４０

所以ｄＡＰ／ｄＬ＝－２Ｌ＋２４Ｌ令其为0得：

L＝１２检验当L＜１２时AP是上升的。

MP＝－３Ｌ２＋４８Ｌ＋２４０＝０

所以　Ｌ２－１６Ｌ－８０＝０

所以　Ｌ＝２０时　ＭＰ＝０　当Ｌ＞20时ｄＭＰ／ｄＬ＝－６Ｌ＋４８＜０

所以　ＭＰ对于所有的Ｌ＞２０均小于零。

因此：

⑴第一阶段　０＜Ｌ＜１２

（2）第二阶段　１２＜Ｌ＜２０

　（3）第三阶段　Ｌ＞２０

B.当Ｐ＝ｍｉｎＡＶＣ时应停产。

ｍｉｎＡＶＣ与ｍａｘＡＰ是一致的。

从Ａ可知：

Ｌ＝１２,而Ｌ＝１２时，由生产函数算出ｘ＝４６０８。

每周工资Ｗ＝１２元×４０＝４８０元

ＡＶＣ＝ＷＬ／Ｘ＝１．２５元

所以最低价格是１．２５元。

C.要使利润最大，应使Ｗ＝ＭＲＰ＝ＭＰ×ＰＸ

所以ＰＸ＝Ｗ／ＭＰ　Ｌ＝１６时，Ｗ＝４８０　ＭＰ＝２４０　Ｐ＝２元

由生产函数知Ｌ＝１６时，Ｌ＝５８８８

因此　总收益＝２元×５８８８＝１１７７６元

ＴＶＣ＝４８０元×１６＝７６８０Ａ元

所以ＴＦＣ＋利润＝４０９６元

若利润＝１０９６元，则ＴＦＣ＝３０００元

5、某企业仅生产一种产品，唯一可变要素是劳动，也有固定成本。

短期生产函数为

　　　　　　　　　　　ｘ＝－０.１Ｌ３＋６Ｌ２＋１２Ｌ，

其中，ｘ是每周产量，单位为吨，Ｌ是雇佣工人数，问：

Ａ.劳动的平均实物产量最大时，需雇佣多少工人？

B.劳动的边际实物产量最大时，需雇佣多少工人？

C.平均可变成本最小时，生产多少ｘ？

D.每周工资３６０元，ｘ的价格为３０元／吨，利润最大时，生产多少ｘ？

E.如果工资为每周５１０元，ｘ的价格多大时，企业不扩大或减小生产。

F.ｘ的价格１０元／吨，总固定成本１５０００元，若企业发现只值得雇佣３６个工人，每周纯利润是多少？

解：

Ａ.由生产函数X＝－０.1L３＋６Ｌ２＋１２Ｌ得

Ｘ／Ｌ＝－０.１Ｌ２＋６Ｌ＋１２

所以令ｄ（Ｘ／Ｌ）／ｄＬ＝－０.２Ｌ＋６＝０则Ｌ＝３０

B.由生产函数得ｄＸ／ｄＬ＝－０.３Ｌ２＋１２Ｌ＋１２

令ｄ２Ｘ／ｄＬ２＝－０.６Ｌ＋１２＝０所以Ｌ＝２０

C.由Ａ知：

Ｌ＝３０时，Ｘ／Ｌ最大，此时ＷＬ／Ｘ最小。

由该生产函数求得：

Ｌ＝３０时，Ｘ＝３０６０

D.利润最大的条件是：

ＭＲＰ＝Ｐ×ＭＰ＝Ｗ

ＭＰ＝Ｗ／Ｐ＝－０.３Ｌ２＋１２Ｌ＋１２＝１２

所以０.３Ｌ＝１２所以Ｌ＝４０

既然Ｌ＞３０时，ＡＰ＞ＭＰ（见Ａ部分）所以进行生产是合算的。

当Ｌ＝４０时，Ｘ＝３６８０

E.停止扩大生产点是ＡＰ的最大点，因此由（Ａ）知，Ｌ＝３０

利润最大的条件是：

ＭＰ＝Ｗ／Ｐ

L＝３０时，ＭＰ＝１０２＝５１０／Ｐ所以Ｐ＝５元

F.ＭＰ＝Ｗ／Ｐ当Ｌ＝３６时，ＭＰ＝５５．２＝Ｗ／１０

所以Ｗ＝５５２当Ｌ＝３６，Ｘ＝３５４２．４

总收益＝３５４２．４×１０＝３５４２４

ＴＶＣ＝５５２×３６＝１９８７２

所以ＴＦＣ＋利润＝１５５５２

ＴＦＣ＝１５０００

利润＝５５２元

6、假定某厂商只使用一种生产要素劳动进行生产，生产函数为q=-0.1L3+6L2+12L,求:

a.劳动的平均产量最大时厂商雇佣的劳动量b.劳动的边际产量最大时厂商雇佣的劳动量。

解:

因为APL=q/L=-0.1L2+6L+12,dAPL/dL=-0.2L+6=0,L=30.MPL=dq/dL=-0.3L2+12L+12,dMPL/dL=-0.6L+12=0,则L=20.

7、已知厂商的生产函数为Q=L3/8K5/8，又设PL=4元,PK=5元,求该厂商生产200单位产品时，应使用多少单位的L和K才能使成本降至最低？

解：

MPL=（3/8）L-5/8K5/8，MPK=（5/8）L3/8K-3/8

要实现成本最小化，即要求MPL/MPK=PL/PK=4/5，可得L=（3/4）K

于是有（3K/4）3/8K5/8=200，因此K=200（3/4）-3/8，L=200（3/4）5/8

8、证明在柯布—道格拉斯生产函数Q=AKαLβ中，α、β分别为资本和劳动的产出弹性。

证明：

柯布—道格拉斯生产函数记为：

Q=ALαKβ，

EL=（dQ/dL）·（L/Q）=（α/L）·Q·（L/Q）=α

EK=（dQ/dK）·（K/Q）=（β/K）·Q·（K/Q）=β

计算题

1、某企业的平均可变成本为AVC=X2-30X+310，AVC为平均可变成本，X为产量，当市场价格为310时，该企业利润为0，问该企业的固定成本是多少？

解：

因为利润π=TR-TC=（P-AC）Q且当P=310时，π=0，得AC=310

AFC=AC-AVC=310-（X2-30X+310）=-X2+30X，所以TFC=-X3+30X2

考虑到MC=d（TVC）/dX=d（X3-30X2+310X）/dX=3X2-60X+310

根据P=MC=AC，得产量X=20，因此TFC=-X3+30X2=4000

该企业的固定成本是4000单位。

2、某企业短期总成本函数为STC=1000+240q-4q2+（1/3）q3。

（1）当SMC达到最小值时的产量是多少？

（2）当AVC达到最小值时的产量是多少？

解：

（1）SMC=dSTC/dq=240-8q+q2=（q-4）2+224所以当q=4时SMC达最小值

（2）AVC=（STC-AFC）/q=240-4q+（1/2）q2=1/3（q-6）2+204

所以当q=6时AVC达最小

4、生产函数q=LK.劳动和资本价格分别为PL和PK,求相应的成本函数.

解：

生产者均衡时，MPL/MPK=PL/PK，即K/L=PL/PK，q=LK，

解得Q=PLL+PKK=2（qPLPK）0.5

5、考虑以下生产函数Q=K0.25L0.25M0.25在短期中，令PL=2，PK=1，PM=4，K=8，推导出短期可变成本函数和平均可变成本函数。

解：

在短期中，K为固定要素，L、M为可变要素

则TFC=PKK=8

TVC=PLL+PMM=2L+4M

由MPL/PL=MPM/PM得0.25K0.25L-0.75M0.25/2=0.25K0.25L0.25M-0.75/4

由此可得L/M=2

代入生产函数Q=80.25（2M）0.25M0.25=2M1/2

所以M=Q2/4

TVC=2L+4M=Q2+Q2=2Q2

AVC=TVC/Q=2Q

即短期总可变成本函数为TVC=2Q2，平均可变成本函数为AVC=2Q。

5、IBM公司是世界上电子计算机的主要制造商，根据该公司的一项资料，公司生产某种型号计算机的产量范围为200到700，在此范围内，总成本函数为：

C=28303800+460800Q

式中C——总成本

Q——产量

问题一：

如果该种机型的全部市场为1000台，且所有企业的长期总成本函数都相同，那么占有50%市场份额的企业比占有20%市场份额的企业有多大的成本优势？

问题二：

长期边际成本为多少？

问题三：

是否存在规模经济？

解：

（1）若占有50%的市场份额，Q为500，

平均成本则为（28303800+460800·500）/500=517408美元。

若占有20%的市场份额，Q为200，

则平均成本为（28303800+460800·200）/200=605120美元

所以占有50%市场份额的企业的平均成本比占有20%市场份额的企业的平均成本低14%。

（2）长期边际成本为460800美元，在200到700的产量范围内，边际成本为常数。

（3）存在规模经济。

因为长期平均成本为（460800+28303800/Q），Q越大，平均成本越小。

6、已知某厂商的生产函数为Q=L3/8K5/8,又设PL=3元,PK=5元.求总成本为160元时厂商均衡的Q、L与K的值。

解：

MPPL=（3/8）K5/8L-5/8MPPK=（5/8）K-3/8L3/8

由均衡条件MPPL/MPPK=PL/PK推出K=L,代入成本函数3L+5K=160

求得K=L=20

则Q=L3/8K5/8=20

7、假设某产品生产的边际成本函数是MC=3Q2-8Q+100,若生产5单位产品时总成本是595,求总成本函数、平均成本函数、总可变成本函数及平均可变成本函数。

解：

由边际成本函数MC=3Q2-8Q+100积分得

成本函数C=Q3-4Q2+100Q+A（A为常数）

又因为生产5单位产品时总成本是595

可求总成本函数C=Q3-4Q2+100Q+70

平均成本函数AC=Q2-4Q+100+70/Q

总可变成本函数TVC=Q3-4Q2+100Q

平均可变成本函数AVC=Q2-4Q+100

8、以重油x和煤炭z为原料得某电力公司，其生产函数为y=（2x1/2+z1/2）2，x,z的市场价格分别30，20，其它生产费用为50。

（1）求电力产量y=484时的x,z投入量及总成本为多少？

（2）求该电力公司的总成本函数。

解：

（1）将y=484代入生产函数，得484=（2x1/2+z1/2）2

整理后得z=（22-2x1/2）2①