武汉大学教学实验报告2.docx
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武汉大学教学实验报告2
武汉大学教学实验报告
电子信息学院电子信息科学类专业2013年9月13日
实验名称周期信号的合成与分解指导教师邹炼
姓名王丹年级大三学号2011301200165成绩
一、预习部分
1.实验目的
2.实验基本原理
3.主要仪器设备（含必要的元器件、工具）
1.实验目的：
1.在理论学习的基础上，通过实验深刻领会周期信号傅里叶级数分解的物理意义。
2.理解实际应用中通常采用有限项级数来逼近无限项级数，此时方均误差随项数的增加而减小。
3.观察并初步了解Gibbs现象。
4.深入理解周期信号的频谱特点，比较不同周期信号频谱的差异。
2.实验基本原理：
满足Dirichlet条件的周期信号f（t）可以分解成三角函数形式的傅里叶级
表达式为:
式中n为正整数；角频率
由周期T1决定。
该式表明：
任何满足Dirichlet条件的周期信号都可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。
这些正弦、余弦分量的频率必定是基频f1的整数倍。
通常把频率为f1的分量称为基波，频率为nf1的分量称为n次谐波。
周期信号的频谱只会出现在0,
2
…,n
…等离散的频率点上，这种频谱称为离散谱，是周期信号频谱的主要特点。
波形变化越剧烈，所包含的高频分量的比重就越大；变化越平缓，所包含的低频分量的比重就越大。
一般来说，将周期信号分解得到的三角函数形式的傅里叶级数的项数是无限
的。
也就是说，通常只有无穷项的傅里叶级数才能与原函数精确相等。
但在实际
应用中，显然无法取至无穷多项，而只能采用有限项级数来逼近无穷项级数。
而
且，所取项数越多，有限项级数就越逼近原函数，原函数与有限项级数间的方均
误差就越小，而且低次谐波分量的系数不会因为所取项数的增加而变化。
当选取
的傅里叶有限级数的项数越多，所合成的波形的峰起就越靠近
的不连续点。
当所取得项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，约等于总跳变值的9%，这种现象称为Gibbs现象。
3.主要仪器设备：
MATLAB软件和MATLAB中的plot、pause函数。
二、实验操作部分
1.实验数据、表格及数据处理
2.实验操作过程（可用图表示）
3.实验结论
1.实验数据、表格及数据处理
1.根据函数的对称性与傅里叶系数的关系可知，它可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数来表示:
选取奇对称周期方波的周期T=0.02s，幅度E=6，采用有限项级数来逼近该函数。
分别取前1、2、5和100项有限级数来近似，编写程序并把结果显示在一幅图中，观察它们逼近方波的过程。
%奇对称方波合成
t=0:
0.001:
0.1;
sishu=12/pi;
y=sishu*sin（100*pi*t）;
subplot（221）
plot（t,y）;
axis（[0,0.1,-4,4]）;
xlabel（'time'）;
title（'前1项有限级数'）;
y=sishu*（sin（100*pi*t）+sin（3*100*pi*t）/3）;
subplot（222）;
plot（t,y）;
axis（[0,0.1,-4,4]）;
xlabel（'time'）;
title（'前2项有限级数'）;
y=sishu*（sin（100*pi*t）+sin（3*100*pi*t）/3+sin（5*100*pi*t）/5+sin（7*...
100*pi*t）/7+sin（9*100*pi*t）/9）;
subplot（223）
plot（t,y）;
axis（[0,0.1,-4,4]）;
xlabel（'time'）;
title（'前5项有限级数'）;
t=0:
0.001:
0.1;
y=0;
fori=1:
100
y=y+sishu*（sin（（2*i-1）*100*pi*t）/（2*i-1））;
end
subplot（224）;
plot（t,y）;
axis（[0,0.1,-4,4]）;
xlabel（'time'）;
title（'前100项有限级数'）;
2.观察Gibbs现象
分别取前10、20、30和40项有限级数来逼近奇对称方波，观察Gibbs现象。
%观察Gibbs现象
t=0:
0.001:
0.04;
sishu=12/pi;
y=0;
fori=1:
5
y=y+sishu*（sin（（2*i-1）*100*pi*t）/（2*i-1））;
end
subplot（221）
plot（t,y）;
axis（[0,0.04,-4,4]）;
xlabel（'time'）;
ylabel（'前5项有限级数'）;
y=0;
fori=1:
6
y=y+sishu*（sin（（2*i-1）*100*pi*t）/（2*i-1））;
end
subplot（222）;
plot（t,y）;
axis（[0,0.04,-4,4]）;
xlabel（'time'）;
ylabel（'前6项有限级数'）;
y=0;
fori=1:
7
y=y+sishu*（sin（（2*i-1）*100*pi*t）/（2*i-1））;
end
subplot（223）
plot（t,y）
axis（[0,0.04,-4,4]）;
xlabel（'time'）;
ylabel（'前7项有限级数'）;
y=0;
fori=1:
8
y=y+sishu*（sin（（2*i-1）*100*pi*t）/（2*i-1））;
end
subplot（224）;
plot（t,y）;
axis（[0,0.04,-4,4]）;
xlabel（'time'）;
ylabel（'前8项有限级数'）;
3.周期对称三角信号的合成
偶对称周期三角信号可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数表示：
分别取1、5、50、500项有限项级数来近似。
%周期偶对称三角信号
clear;
t=-3:
0.0001:
3;
E=10;
omega=pi;
y=0;
fori=1:
1
xishu=1/（（2*i-1）*（2*i-1））;
y=y+（4*E/（pi*pi））*（xishu*cos（（2*i-1）*omega*t））;
end
subplot（4,1,1）;
plot（t,y）;
holdon;
xlabel（'time'）;
ylabel（'amplitude'）;
title（'1项偶对称三角信号'）;
y=0;
fori=1:
5
xishu=1/（（2*i-1）*（2*i-1））;
y=y+（4*E/（pi*pi））*（xishu*cos（（2*i-1）*omega*t））;
end
subplot（4,1,2）;
plot（t,y）;
holdon;
xlabel（'time'）;
ylabel（'amplitude'）;
title（'5项偶对称三角信号'）;
y=0;
fori=1:
50
xishu=1/（（2*i-1）*（2*i-1））;
y=y+（4*E/（pi*pi））*（xishu*cos（（2*i-1）*omega*t））;
end
subplot（4,1,3）;
plot（t,y）;
holdon;
xlabel（'time'）;
ylabel（'amplitude'）;
title（'50项偶对称三角信号'）;
y=0;
fori=1:
500
xishu=1/（（2*i-1）*（2*i-1））;
y=y+（4*E/（pi*pi））*（xishu*cos（（2*i-1）*omega*t））;
end
subplot（4,1,4）;
plot（t,y）;
holdon;
xlabel（'time'）;
ylabel（'amplitude'）;
title（'500项偶对称三角信号'）;
4.周期信号的频谱
分析奇对称方波信号与偶对称三角信号的频谱，编制程序并显示结果，深入
讨论周期信号的频谱特点和两信号频谱的差异。
clear;
E=5;
fre=5;%改变fre的值即可改变显示周期的个数
t=0:
0.001:
1;
N=length（t）;
Ts=（t（N）-t
（1））/N;
m=floor（N/2）;
Ws=2*pi*33;
W=Ws*（0:
m）/N;
xishu1=2*E/pi;
y=0;
fori=1:
20
y=y+xishu1*（sin（2*pi*fre*（2*i-1）*t）/（2*i-1））;
end
subplot（221）;
plot（t,y）;
xlabel（'time'）;
ylabel（'amplitude'）;
title（'奇对称矩形波'）;
holdon;
subplot（223）;
F=fft（y,N）;FF=F（1:
m+1）;F11=abs（FF）;
plot（W,F11,'r',-W,F11,'b'）;
title（'奇对称矩形波频谱'）;
xlabel（'\omega'）;
xishu=0;
y=0;
fori=1:
20
xishu=4*E/（pi^2*（2*i-1）.^2）;
y=y+xishu*cos（2*pi*fre*（2*i-1）*t）;
end
subplot（222）;
plot（t,y）;
xlabel（'time'）;
ylabel（'amplitude'）;
title（'偶对称三角波'）;
holdon;
subplot（224）;
F=fft（y,N）;FF=F（1:
m+1）;F11=abs（FF）;
plot（W,F11,'r',-W,F11,'b'）;
title（'偶对称三角波频谱'）;
xlabel（'\omega'）;
2.实验操作过程
前1、2、5和100项有限项级数合成的方波
Gibbs现象
三角波的合成
方波和三角波的频谱
三、实验效果分析（包括仪器设备等使用效果）
1.根据奇对称方波信号的傅里叶级数分级，分别取前1、2、5、100项进行逼近方波信号，从结果来看，取得项数越多合成的信号越逼近理想的方波信号。
当取无穷项是则可得到理想方波信号。
从图1中可以看到，当取100项时，似乎没有了Gibbs现象，事实上是因为时间分辨率不够，计算机没能显示出来，只要把时间步进改小就可以清楚的看到Gibbs现象了。
2.Gibbs现象是指：
对于具有不连续点（跳变点）的波形，所取级数项数越多，近似波形的均方误差虽然可以减少，但在跳变点处的峰起值不能减小，此峰起随着项数增多向跳变点靠近，而峰起值趋近于跳变值的9%。
从图2中可以清楚的看到取得项数越多，峰起震荡的频率越高，且经过计算，峰起值趋近于跳变值的9%。
取100项时，如果时间分辨率不够则计算的跳变值百分比将变小，或者看不到Gibbs现象，分析的值，当时间步进大约为峰起值震荡周期的一半时就可以看到Gibbs现象。
3.根据偶对称三角波信号的傅里叶级数，取有限项级数合成三角波信号，从图3中可以看到，当取的级数越多时，越接近理想的三角波信号。
由于三角波信号没有跳变点，故三角波不存在Gibbs现象。
4.从图4看到周期信号的频谱是离散的，且奇对称方波和偶对称三角波的频谱包络都和Sa函数有关。
从两者的频谱图可以看到，它们都是只包含奇谐分量（
、3
、5
、7
、9
、11
…等）不包含偶次谐波分量的信号。
方波频谱的包络与Sa函数相关，三角波频谱的包络与Sa函数的平方相关，故可以看到方波谐波分量的幅值下降没有三角波谐波分量下降快。
四、教师评语
指导教师年月日
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