第31炼 解三角形的要素.docx
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第31炼解三角形的要素
第31炼解三角形中的要素
一、基础知识：
1、正弦定理：
，其中为外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：
（1）
（2）（恒等式）
（3）
2、余弦定理：
变式：
（1）
①此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角
当时，，即为锐角；
当（勾股定理）时，，即为直角；
当时，，即为钝角
②观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出
（2）此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可
3、三角形面积公式：
（1）（为三角形的底，为对应的高）
（2）
（3）（为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）
（4）海伦公式：
（5）向量方法：
（其中为边所构成的向量，方向任意）
证明：
，而
坐标表示：
，则
4、三角形内角和（两角可表示另一角）。
5、确定三角形要素的条件：
（1）唯一确定的三角形：
①已知三边（SSS）：
可利用余弦定理求出剩余的三个角
②已知两边及夹角（SAS）：
可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角
③两角及一边（AAS或ASA）：
利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边
（2）不唯一确定的三角形
①已知三个角（AAA）：
由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。
由正弦定理可得：
已知三个角只能求出三边的比例：
②已知两边及一边的对角（SSA）：
比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。
其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。
（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）
6、解三角形的常用方法：
（1）直接法：
观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：
可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解
7、三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：
如图，设为的一条中线，则（知三求一）
证明：
在中
①
②
为中点
①②可得：
（2）角平分线定理：
如图，设为中的角平分线，则
证明：
过作∥交于
为的角平分线
为等腰三角形
而由可得：
二、典型例题：
例1：
（1）的内角所对的边分别为，若，则_____
（2））的内角所对的边分别为，若，则_____
思路：
（1）由已知求可联想到使用正弦定理：
代入可解得：
。
由可得：
，所以
答案：
（2）由已知求可联想到使用正弦定理：
代入可解得：
，则或，由可得：
，所以和均满足条件
答案：
或
小炼有话说：
对比
（1）
（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。
进而确定是一个解还是两个解。
例2：
在中，，若的面积等于，则边长为_________
思路：
通过条件可想到利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出即可
解：
答案：
例3：
（2012课标全国）已知分别为三个内角的对边，且有
（1）求
（2）若，且的面积为，求
（1）思路：
从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：
，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出
解：
即
或（舍）
（2）思路：
由
（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可
解：
可解得
小炼有话说：
通过第
（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。
另一方面当角同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角
例4：
如图，在中，是边上的点，且，则的值为___________
思路：
求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出
解：
由可设则
在中，
在中，由正弦定理可得：
小炼有话说：
（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。
（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算
例5：
已知中，分别是角所对边的边长，若的面积为，且，则等于___________
思路：
由已知可联想到余弦定理关于的内容，而，所以可以得到一个关于的式子，进而求出
解：
而代入可得：
答案：
例6：
在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为.
思路：
已知求可以联想到余弦定理，但要解出的值，所以寻找解出的条件，，而代入可得，再由可得，所以
答案：
例7：
设的内角所对边的长分别为，若，且，则的值为（）
A.B.C.D.
思路：
由可得：
，从而，解得，从可联想到余弦定理：
，所以有，从而再由可得，所以的值为
答案：
C
小炼有话说：
本题的难点在于公式的选择，以及所求也会让我们想到正弦定理。
但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。
所以在解三角形的题目中，条件的特征决定选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。
如果条件中含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。
例8：
设的内角所对边的长分别为，且，则（）
A.B.C.D.或
思路：
由的结构可以联想到余弦定理：
，可以此为突破口，即，代入解得：
，进而求出，得到比例代入余弦定理可计算出
解：
由可得：
，
代入到
可得：
例9：
已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（）
A.B.C.D.
思路：
不妨考虑，将三个边设为，则，想到正弦定理，再将利用余弦定理用边表示，列方程解出，从而求出
解：
设，则
代入可得：
，解得：
答案：
A
小炼有话说：
本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正余弦的二倍角公式。
本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联系。
如果采用余弦二倍角公式，则有，即便使用余弦定理也会导致方程次数过高，不利于求解。
例10：
在中，为边上一点，，若的面积为，则_________
思路：
要求出，可在中求解，通过观察条件，可从可解，解出，进而求出，再在中解出，从而三边齐备，利用余弦定理可求出
解：
同理
答案：
小炼有话说：
（1）本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素
（2）本题还可以利用辅助线简化运算，作于，进而利用在中得，再用解出
进而，则在上
所以可得：
，所以
三、近年好题精选
1、设的内角所对边的长分别为，且，则（）
A.B.C.D.
2、设的内角所对边的长分别为，且，则的值为（）
A.B.C.D.
3、在中，为边上一点，，若，则（）
A.B.C.D.
4、（2015，北京）在中，，则_______
5、（2015，广东）设的内角的对边分别为，若，则_______
6、（2015，福建）若锐角的面积为，且，则等于_______
答案：
7
7、（2015，天津）在中，内角的对边分别为，已知的面积为，，则的值为_________
8、（2014，天津）在中，内角的对边分别为，已知，，则的值为_______
9、（2014，山东）在中，已知，当时，的面积为_____
10、（2014，辽宁）在中，内角的对边分别为，且，已知，求：
（1）的值
（2）的值
11、（2015，陕西）设的内角的对边分别为，向量与平行
（1）求
（2）若，求的面积
12、（2015，新课标II）在中，是上的点，平分，的面积是面积的2倍
（1）求
（2）若，求的长
13、（2015，安徽）在中，，点在边上，，求的长
14、（2015，江苏）在中，已知
（1）求的长
（2）求的值
习题答案：
1、答案：
A
解析：
代入可得：
2、答案：
D
解析：
3、答案：
C
解析：
设，则，由余弦定理可得：
，代入可得：
解得：
4、答案：
1
解析：
5、答案：
1
解析：
由及可得：
，从而，由正弦定理可得：
，
解得
6、答案：
7
解析：
由，可得：
，即，再由余弦定理可计算
7、答案：
8
解析：
由余弦定理可得：
8、答案：
解析：
由可得代入到即可得到，不妨设，则
9、答案：
解析：
10、解析：
由可得：
由余弦定理可得：
即
解得：
（2）由可得：
由正弦定理可知：
为锐角
11、解析：
（1）
（2）由余弦定理可得：
即
12、解析：
（1）
（2）
在中，由余弦定理可得：
再由可解得：
13、解析：
由正弦定理可得：
由可知为等腰三角形
由正弦定理可得：
14、解析：
（1）由余弦定理可得：
（2）由余弦定理可得：
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