初中数学第26章离散量的最大值和最小值问题竞赛专题复习人教版有答案.docx

初中数学第26章离散量的最大值和最小值问题竞赛专题复习人教版有答案.docx

《初中数学第26章离散量的最大值和最小值问题竞赛专题复习人教版有答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学第26章离散量的最大值和最小值问题竞赛专题复习人教版有答案.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初中数学第26章离散量的最大值和最小值问题竞赛专题复习人教版有答案

初中数学第26章离散量的最大值和最小值问题竞赛专题复习（人教版有答案）

第26章离散量的最大值和最小值问题

26.1.1**某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：

他在第10场比赛中至少得了多少分？

解析设前5场比赛的平均得分为，则前9场比赛的平均得分为．由题设知，解得．所以前5场最多得分是（分）．再设他第10场比赛得了分，那么有，解得y>28．故他第10场比赛得分≥29分．另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．所以，他在第10场比赛中至少得了29分．评注在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．26.1.2*从任意个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求的最小值．解析任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．又l，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数．综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．26.1.3**从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．解析从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．把1，2，…，20分成如下14组：

{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．26.1.4**如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？

解析取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．26.1.5**代数式中，、、、、、、、、可以分别取1或者．

（1）求证：

代数式的值都是偶数；

（2）求该代数式所能取到的最大值．解析

（1）因为，所以，此代数式的值为偶数．

（2）原式，要使原式取得最大值，则与取1与，与取l与．但是，若与的取值相同（1或），则与的取值也相同，有．若与的取值不同．则与的取值也不同，也有．所以，原式的最大值为4．这时取，，，，．26.1.6**一个三位数除以43，商是．余数是（、都是整数），求的最大值．解析由带余除法可知：

一个三位数．①因为是余数，它必须比除数小，即≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此不超过23（因为24×43>1000）．当时，因为43×23+10＝999，此时为10．当时，可取余数，此时43×22+42＝998．故当，时，值最大，最大值22+42＝64．从1，2，…，1001这1001个正整数中取出个数，使得这个数中任意两个数的差都不是素数，求的最大值．解析设正整数被取出，则，，，都不能被取出．而，，三者中至多只能有一个被取出．所以连续8个整数，，，3，4，，，中至多有两个数被取出，而1001＝8×125+1，所以≤2×125+1＝251．又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以的最大值为251．26.1.8***从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数、、（），都有．解析首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．事实上，设、、（）这三个数取自1，14，15，…，205，若，则；若，则．另一方面，考虑如下12个数组：

（2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182<205，所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205－12＝193个．综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．26.1.9***从1，2，3，…，16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的．解析首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍数：

2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16．这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数．由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两个数同为2或3的倍数，它们的最大公约数大于1，也就是说这三个数不是两两互质的．所以，从1，2，…，16中可以选出11个数满足要求．下面证明从1，2，…，16中任取12个数，其中一定有3个数两两互质．事实上，令数组{1，2，3，5，7，…，13）．数组中有7个数，而且这7个数是两两互质的．从1，2，…，16中任取12个数，由于以外只有9个数，故中至少有3个数被选出，这三个数是两两互质的．所以，最多选出11个数满足要求．26.1.10***已知，，…，都是正整数，且，若的最大值为，最小值为，求的值．解析因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故的最小值和最大值是存在的．不妨设，若z1>1，则，且．所以，当1时，可以把逐步调整到1，这时，将增大；同样地，可以把，，…，逐步调整到1，这时将增大．于是，当，，…，均为1，时，取得最大值，即若存在两个数、，使得，则，这说明在，，…，，中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l，较大的数减1，这时，将减小．所以，当取到最小时，，，…，。

中任意两个数的差都不大于1．不难算出，当，时，取得最小值，即．故．26.1.11***从1，2，…，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求”的最小值．解析当时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当时，设，，…，是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则，，…，中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是，，…，中必定有一个数是5．若，，…，中含1，则不含9．于是不含4（4+l+5＝10），故含6；于是不含3（3+6+1＝10），故含7；于是不含2（2+1+7＝10），故含8．但是5+7+8＝20是10的倍数，矛盾．若，，…，中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5＝20），故含4；于是不含7（7+4+9＝20），故含3；于是不含8（8+9+3＝20），故含2．但是5+3+2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，的最小值为5．26.1.12***把1，2，…，30这30个数分成个小组（每个数只能恰在一个小组中出现），使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求的最小值．解析首先，考虑数6，19，30，因为6+19＝，6+30＝，19+30＝，所以，这3个数必须属于3个不同的小组，于是≥3．另一方面，可以把1，2，…，30这30个数分成如下3个小组，使得它们满足题设条件：

{3，7，11，15，19，23，27，4，8，16，24），{1，5，9，13，17，21，25，29，6，14，18，26}，{2，10，12，20，22，28，30}，由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1，容易验证、、满足题设条件．26.1.13***从{1，2，3，…，2000）中最多可能取出几个数，使得任意两个取出的数的差不为质数？

解析首先，对于任意自然数女，，{，，，…，}中至多取2个，使得它们的差不为质数．事实上，只需考虑集合{1，2，3，4，5，6，7，8}．把它分成3组：

，{1，3，6，8），{2，4，7）．集合或中任意两数之差均为质数，故、中最多只能取一个．若5取出，则中1或6可取出．对于1，5，中不能取出数了；对于5，6，中也不能再取出数了．若5不取出，则、中最多各取一个，至多为2个．综上所述，{，，，…，}中至多取2个，它们的差不为质数．从而{1，2，3，…，2000}中至多可取500个．又对于4，4×2，…，4×500这500个数，其中任意两个数的差为4的倍数，不是质数．因此，最多可取500个数满足要求．26.1.14****有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，若最后得到了34个62边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀？

解析根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加，于是，经过忌次分割后，可得

（1）个多边形，这些多边形的内角和为（．因为这（）个多边形中有34个62边形．它们的内角和为，其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少于．所以，解得≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下一个三角形，得到一个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形，得到2个三角形和一个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和一个62边形．再取出33个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个62边形和33×58个三角形．于是共剪了58+33+33×58＝2005（刀）．评注我们也是先估计（剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的，这里给了一个具体的剪法．注意，这个具体的剪法是必不可少的．另外，本题中估计女的下界，用的是“算两次”方法，即从两个不同的方面去考虑同一个量，一方面……另一方面……结合两个方面，可以得到一个等式，或者不等式，进而得到我们需要的结果．“算两次”是解最大值和最小值问题的有力工具．26.1.15***某市有一些数学爱好者参加了今年的数学邀请赛，这次比赛的试题共有6道．已知每道试题恰有500名学生答对，但是任意两名学生中，至少有一道试题使得这两名学生都没有答对，问：

该市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛？

解析首先，易知每位学生至多答对了4道题．事实上，由题设知，对任意一位学生来说，不可能答对6题．若有一位学生答对5题，由题意知，所有其他学生都与他答错相同的题，这也与每道试题恰有500个学生答对的题设矛盾．若有一位学生答对了4题，不妨设答对了第l、2、3、4题，则没有一位学生同时答对第5题和第6题，否则将与题意矛盾．因为答对第5题与第6题的学生各有1500人，这样，学生人数至少为500+500+1>1000人．若每位学生至多答对了3题，由于全部学生答对题数的总和为500×6＝3000题，所以学生人数至少有：

3000÷3＝1000人．下面的例子说明1000人是可能的．答对下列问题的人数各有100人：

（1，2，3），（1，3，4），（1，4，5），（1，5，6）．（1，2，6），（2，4，6），（2，3，5），（2，4，5），（3．4，6），（3，5，6）．综上所述，至少有1000人参加了这次数学邀请赛．26.1.16***一座大楼有4部电梯．每部电梯可停靠三层（不一定是连续三层，也不一定停最底层）．对大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，请问这座大楼最多有几层？

解析设大楼有层，则楼层对有，每部电梯停3层，有个层次，所以．所以．当时，四部电梯停靠楼层分别为（1，4，5），（2．4，5），（3，4，5），（1，2，3）．综上所述，大楼至多有5层．26.1.17****10个学生参加个课外小组．每一个小组至多5个人；每两个学生至少参加某一个小组；任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：

的最小值为6．解析设10个学生为，…，，个课外小组为，…，．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其他9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加、，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是个课外小组，，…，的人数之和不小于3×10＝30．另一方面。

每一课外小组的人数不超过5，所以个课外小组，，…，的人数不超过，故，所以≥6．下面构造一个例子说明是可以的．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，的最小值为6．26.1.18****2006个都不等于119的正整数，，…，排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求的最小值．解析首先汪明命题：

对于任意119个正整数，，…，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数，，…，，①若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为和，于是，从而此命题得证．对于，，…，中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为2006＝16×119+102，所以．②取，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，的最小值为3910．26.1.19****设是大于2的整数，将2，3，…，这个数任意分成两组，总可以在其中一组中找到数，，（可以相同），使得．求的最小值．解析当时，把2，3。

…，分成如下两组：

{2，3，，+1，…，一1}和{4，5，…，－1}．在数组{2，3。

，+1，…，－1}中，由于<，，所以其中不存在数，，，使得．在数组{4，5，…，}中，由于，所以其中不存在数，，，使得．所以，．下面证明时，满足题设条件．不妨设2在第一组，则在第二组，在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，那么取，，，于是有．如果8在第二组，那么取，，，于是有．综上所述，满足题设条件．所以，的最小值为．26.1.20**在9×9的方格表中，有29个小方格被染上了黑色．如果研表示至少包含5个黑色小方格的行的数目，表示至少包含5个黑色小方格的列的数目，求的最大值．解析首先证明．假设，且（或），则有，所以（或）．依题意，这行（或列）中至少包含5×6＝30（个）黑色的小方格，这与题设条件矛盾．所以，．其次，构造的染色方案存在，如图所示（注意：

构造不唯一）．所以，的最大值为10．26.1.21***在学校举行的足球比赛中，每两支队恰好比赛一次．每场比赛中，胜者得2分，输者得0分，平则各得1分．已知有一队得分最高，但它获胜的场次比任何其他队都少，问至少有多少支队参赛？

解析称得分最多的队为优胜队，设队胜场，平场，则队的总分为分．由已知条件，其余的每一队至少要胜场，即得分不少于分，于是，≥3．因此可以找到这样一个球队，它和优胜队打成平局，这个队的得分应不少于分，于是，．设共有队参赛，则优胜者至少要胜一场，否则它的得分就不会超过分，任何其他一队得分严格少于分，而所有参赛队得分少于分，而队所得总分为分，矛盾．于是≥4，≥1，即优胜队至少要进行5场比赛，即有不少于6队比赛．总可以得到一个6个队的比赛得分表符合题设条件，即优胜队胜的场次最少．得分/1111261/2002510/0225得分122/0051202/0500022/426.1.22***已知支排球队参加比赛．每支球队与其他任一支球队只比赛1场．一支球队获胜积1分，失败记0分（排球比赛没有平局）．若任意4支球队之间进行的比赛中，至少有两个球队积分相同．求的最大值．解析先证明：

每支球队最多胜了3场比赛．用反证法，假设球队至少胜了4场，不妨设胜了、、、4支队．考虑、、、中的3支球队，如、、，由于、、、4支球队中共有6场比赛，而已胜3场积3分，剩下的3分只好、、各积1分（因为任意四支球队之间的比赛中，至少有两个球队积分相同），即在、、3支球队之间，每队各胜1场．同理、、三支球队之间每队各胜1场，、、三支球队之间每队也各胜1场．但这是不可能的．假设不成立．再次，支球队的循环赛中所有球队得分总和等于比赛场数，即．而每支球队得分不超过3分，得分总和不超过．因此，解得≤7．下面构造7支球队、、、、、、的得分表，如图．若胜，则在队所在行及队所在列处记1，否则记为0，其余类似，该表中某队得分是该队所在行的元素之和．直接验证与任意四个队的比赛对应的一个4×4的方阵中总存在两行的和相等，即至少有两队积分相同．

11100001001100111001010111001010010110100026.1.23****由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分．每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分……第12名运动员给12分．最后评分结果显示：

每名运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3．设各运动员的得分总和分别为，，…，，且．求的最大值．解析9位裁判不可能给某5名或5名以上的运动员评为1分．因为对于5名或5名以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5，而按照题意，这5名运动员中的每一名被各裁判所评的分不大于4，矛盾．因此，9位裁判至多给某4名运动员评为1分．下面分不同情形讨论．

（1）如果所有裁判都给某一名运动员评为1分，那么，．

（2）如果9位裁判评出的9个1分集中在两名运动员名下，那么，其中必有一名运动员至少被5位裁判都评为1分，于是，由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而，．（3）如果9位裁判评出的9个1分集中在三名运动员名下，那么，这三名运动员各自所得的总分之和不大于．从而，．故≤24．（4）如果9个1分为4名运动员拥有，那么，这4名运动员各人所得总分之和等于9×1+9×2+9×3+9×4＝90．从而，≤90．故<23．综上可知，≤24．24这种情形是可以实现的，见表1．所以的最大值是24．表1

143256791081112143256791081112143256791081112431527968111012431527968111012431527968111012314259671110812314259671110812314259671110812合计242424303366666687878710826.1.24**魔方由27个小立方体拼成，一条直线穿过魔方．问最多穿过几个小立方体？

所谓“穿过”指经过其内部．解析27个小立方体由横、竖、纵各4个平行平面“切”出．容易知道，一条直线穿过小立方体，必有两个交点位于其表面．一条直线被12个平面（指魔方表面或内部、不是无限伸展的）截出的点数减去1，便是小线段的个数．为了让这个数字尽可能大，该直线不能经过内部的格子点，于是它被内部平面共截得最多2+2+2＝6个点，该直线被魔方表面又截出2个点，因此其上总共最多有8个截点，因此最多穿过7个小立方体．26.1.25***

（1）在4×4的方格纸中，把部分小方格染成红色，然后划去其中两行与两列．若无论怎样划，都至少有1个红色的小方格没有被划去，则至少要染多少个小方格？

（2）如果把

（1）中的“4×4”方格纸改成“”（≥5）的方格纸，其他条件不变，那么，至少要染多少个小方格？

解析

（1）若染色的小方格数小于或等于4，则可适当地划去两行与两列，把染色的小方格都划去．若染色的小方格数为5，则由抽屉原理知，必有一行至少有2个小方格染色，划掉这一行，剩下的染色的小方格数不超过3，再划去一行两列可把染色的小方格全部划去．若染色的小方格数为6，则必有一行至少有3个小方格染色或有两行各有2个小方格染色，故划去两行至少能划去4个染色小方格，剩下的染色的小方格不超过2，再划去两列就可以把它们全部划去．所以，染色的小方格数大于或等于7．又按图（）所示的方式染色，则划去任意两行和两列都不能把染色的小方格全部划去．所以，至少要染7个小方格．

（2）若染色的小方格数小于或等于4，则划去两行两列必可将它们全部划去．又按如图（）所示的方式染色，则任意划去两行两列都不能把染色的小方格全部划去．所以，至少要染5个小方格．26.1.26***一次数学考试中共有4道选择题，每道题有3个可能的答案，一批学生参加考试．结果对于其中任何3个学生，都有一道题目，每个人的答案各不相同，问至多有多少个学生参加考试？

解析至多9个学生．我们设每个问题的答案为0、1、2三种．如果人数≥10，则第4个问题的答案中，最多的两种至少出现7次．考虑这7个人，他们对第四个问题的答案为0或1（设答案2最少）．这7个人对第3个问题的答案中，最多的两种（设为0与1）至少出现5次．5个人（他们第3个问题的答案为0或1）对第2个问题的答案中，最多的两种（不妨仍设为0或1）至少出现4次．因此，有4个人，他们对第2、第3、第4个问题的答案均为0或1，这4个人中有两个人对第一个问题的答案相同．这两个人及（4个人中的）另一个人，对每一个问题的答案均至少有两个是相同的．因此总人数≤9．另一方面，如果9个人的答案如下表所示，则每三个人都至少有一个问题，他们的答案各不相同．人问题123456789101201201221200122013012120201411100022226.1.27****某市有所中学，第所中学派出名学生（1≤≤39，1≤≤）到体育馆观看球赛，观赛学生总数为．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐同一横排．问体育