新高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编含答案.docx

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新高考数学高考数学压轴题数列多选题分类精编含答案

新高考数学高考数学压轴题数列多选题分类精编含答案

一、数列多选题

1．设数列的前项和为，若存在实数，使得对任意，都有，则称数列为“数列”.则以下结论正确的是（）

A．若是等差数列，且，公差，则数列是“数列”

B．若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”

C．若，则数列是“数列”

D．若，则数列是“数列

【答案】BC

【分析】

写出等差数列的前项和结合“数列”的定义判断A；写出等比数列的前项和结合“数列”的定义判断B；利用裂项相消法求和判断C；当无限增大时，也无限增大判断D．

【详解】

在A中，若是等差数列，且，公差，则，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故A错误.

在B中，因为是等比数列，且公比满足，

所以，所以数列是“数列”，故B正确.

在C中，因为，所以

.所以数列是“数列”，故C正确.

在D中，因为，所以，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故D错误.

故选：

BC.

【点睛】

方法点睛：

裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

（1）；

（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

2．已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】CD

【分析】

根据数列满足，，得到，两式相减得：

，然后利用等差数列的定义求得数列的通项公式，再逐项判断.

【详解】

因为数列满足，，，

所以，

两式相减得：

，

所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；

偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；

所以数列的通项公式是，

A.令时，，而，故错误；

B.令时，，而，故错误；

C.当时，，而，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；

D.因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；

故选：

CD

【点睛】

本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.

3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：

1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：

前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】AB

【分析】

由可得，可判断B、D选项；先计算数列前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：

数列是以6为最小正周期的数列，可判断A、C选项.

【详解】

对于A选项：

，，

所以数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；

对于C选项：

，故C选项错误；

对于B选项：

斐波那契数列总有：

，

所以，，

所以，故B正确；

对于D选项：

，，

，，

。

所以

，故D选项错误；

故选：

AB.

【点睛】

本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题.

4．已知数列的前项和为,则下列说法正确的是（）

A．若则是等差数列

B．若则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且则

【答案】BC

【分析】

由求，根据通项公式可判断AB是否正确，由等差数列的性质可判断C，取时，结合等比数列求和公式作差比较与大小即可判断D.

【详解】

对于A选项，若，当时，，不满足，故A错误；

对于B选项，若，则，由于满足，所以是等比数列，故B正确；

对于C选项，若是等差数列，则，故C正确.

对于D选项，当时，，故当时不等式不等式，故不成立，所以D错误.

故选：

BC

【点睛】

本题考查数列的前项和为与之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前项和为的公式等，考查运算求解能力.本题D选项解题的关键将问题特殊化，讨论时，与大小情况.此外还需注意一下公式：

；若是等差数列，则.

5．两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是（　　）

A．若为等差数列，则

B．若为等差数列，则

C．若为等差数列，则

D．若，则也为等差数列，且公差为

【答案】AB

【分析】

对于A，利用化简可得答案；

对于B，利用化简可得答案；

对于C，利用化简可得答案；

对于D，根据可得答案.

【详解】

对于A，因为为等差数列，所以，

即，所以，

化简得，所以，故A正确；

对于B，因为为等差数列，所以，

所以，

所以，故B正确；

对于C，因为为等差数列，所以，

所以，

化简得，所以或，故C不正确；

对于D，因为，且，所以，

所以，

所以，

所以也为等差数列，且公差为，故D不正确.

故选：

AB

【点睛】

关键点点睛：

利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.

6．已知数列中，，且，，则以下结论正确的是（）

A．

B．是单调递增数列

C．

D．若，则（表示不超过的最大整数）

【答案】ABD

【分析】

利用裂项法可判断A选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B选项的正误；利用裂项求和法可判断C选项的正误；求出的表达式，可判断D选项的正误.

【详解】

在数列中，，且，，则，，，依此类推，可知对任意的，.

对于A选项，，A选项正确；

对于B选项，，即，所以，数列为单调递增数列，B选项正确；

对于C选项，由A选项可知，，

所以，，C选项错误；

对于D选项，，

所以，

，

由，且得，，

又是单调递增数列，则时，，则，

从而，得，D选项正确.

故选：

ABD.

【点睛】

方法点睛：

数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.

7．数列满足，且对任意的都有，则下列说法中正确的是（）

A．

B．数列的前2020项的和为

C．数列的前2020项的和为

D．数列的第50项为2550

【答案】AC

【分析】

用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求的和即可得．

【详解】

因为，，

所以，

所以时，，

也适合此式，所以，

，A正确，D错误，

，

数列的前项和为，B错，C正确．

故选：

AC．

【点睛】

本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：

设数列是等差数列，是等比数列，

（1）公式法：

等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：

数列的前项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：

数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；

（5）倒序相加法：

满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

8．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）

A．B．为的最小值

C．D．

【答案】AC

【分析】

利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;

根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D.

【详解】

对于也成立，

所以，故A正确；

当时，,当n=17时,当时，,

只有最大值，没有最小值，故B错误；

因为当时，,∴，故C正确；

，

故D错误.

故选：

AC.

【点睛】

本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.

和与项的关系,若数列的前项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值.

9．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（）

A．等差数列一定是等差比数列

B．等差比数列的公差比一定不为0

C．若，则数列是等差比数列

D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比

【答案】BCD

【分析】

考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确.

【详解】

对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；

若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；

若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；

若等比数列是等差比数列，则，

，所以D选项正确.

故选：

BCD

【点睛】

易错点睛：

此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：

（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；

（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.

10．若数列的前项和是，且，数列满足，则下列选项正确的为（）

A．数列是等差数列B．

C．数列的前项和为D．数列的前项和为，则

【答案】BD

【分析】

根据，利用数列通项与前n项和的关系得，求得通项，然后再根据选项求解逐项验证.

【详解】

当时，，

当时，由，得，

两式相减得：

，

又，

所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，

所以，，数列的前项和为，

则，

所以，

所以，

故选：

BD

【点睛】

方法点睛：

求数列的前n项和的方法

（1）公式法：

①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；

（2）分组转化法：

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

（3）裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

（4）倒序相加法：

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

（5）错位相减法：

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.

（6）并项求和法：

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解．