离散型随机变量及其分布.docx
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离散型随机变量及其分布
离散型随机变量及其分布
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
离散型随机变量定义,两种分布
教学目标
会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布,能利用所学知识解释一些简单的实际应用问题。
教学重点
离散型随机变量的分布列的概念
教学难点
求简单的离散型随机变量的分布列
教学过程
课堂导入
我们在抛硬币时虽不知道正面还是反面朝上,但一定只会出现这两种结果
问题:
我们如何表示这两种结果所对应的概率,并一一列出呢?
一、复习预习
条件概率,
事件的独立性
两点分布
超几何分布
二、知识讲解
考点1
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量,随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
(3)分布列
设离散型随机变量X可能取得值为x1,x2,…,xi,…xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率为P(X=xi)=pi,则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为随机变量X的概率分布列,简称X的分布列.
考点2两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0
考点3
超几何分布:
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=
,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P
…
三、例题精析
考点一
例1
设X是一个离散型随机变量,其分布列为
ξ
-1
0
1
P
1-2q
q2
则q的值为( )
A.1B.1±
C.1+
D.1-
【规范解答】
D [由分布列的性质,有
解得q=1-
.
【总结与反思】
或由1-2q≥0⇒q≤
,可排除A、B、C.]
考点二
例2
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
(1)求X的分布列;
(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.
【规范解答】
解
(1)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,所选的3人中女生随机变量X=0,1,2,其概率
P(X=k)=
,k=0,1,2,故X的分布列为:
X
0
1
2
P
(2)由
(1)可得“所选3人中女生人数X≤1”的概率为
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=
+
=
.
【总结与反思】
利用定义确定改分为超几何分布
考点三
例3
袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求:
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2)随机变量X的分布列;
(3)计分介于20分到40分之间的概率.
【规范解答】
(1)记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A,记“一次取出的3个小球上有两个数字相同”为事件B,则事件A和事件B是对立事件.
因为P(B)=
=
,
所以P(A)=1-P(B)=1-
=
.
(2)随机变量X的可能取值为2,3,4,5,取相应值的概率分别为P(X=2)=
=
,
P(X=3)=
+
=
,
P(X=4)=
+
=
,
P(X=5)=
+
=
.
∴随机变量X的分布列为
X
2
3
4
5
P
(3)由于按3个小球上最大数字的9倍计分,所以当计分介于20分~40分时,X的取值为3或4,所以所求概率为
P=P(X=3)+P(X=4)=
+
=
.
【总结与反思】
(1)是古典概型;
(2)关键是确定X的所有可能取值;
(3)计分介于20分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和.
课程小结
离散型随机变量的定义
两点分布
超几何分布