单元复习学年 八年级数学上册《第十二章全等三角形》章末测试题+小专题含答案.docx

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单元复习学年八年级数学上册《第十二章全等三角形》章末测试题+小专题含答案

2017-2018学年八年级数学上册《第十二章全等三角形》

章末复习

小专题

（一）　证明三角形全等的基本思路

思路一：

找边

边相等呈现的方式：

①公共边（包括全部公共和部分公共）；②中点.

类型1　已知两边对应相等，找第三边相等

1.如图，已知AB=DE，AD=EC，点D是BC的中点，求证：

△ABD≌△EDC.

类型2　已知两角对应相等，找夹边相等

2.如图，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠DBC，求证：

△ABD≌△CDB.

类型3　已知两角对应相等，找其中一角的对边相等

3.两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？

为什么？

类型4　已知直角三角形的直角边（或斜边）相等，找斜边（或直角边）相等

4.已知，如图，∠A=∠D=90°，AB=DF，BE=CF.求证：

△ABC≌△DFE.

思路二：

找角

角相等呈现的方式：

①公共角；②对顶角；③角平分线；④垂直；⑤平行.

类型5　已知两边对应相等，找夹角相等

5.如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE.求证：

△ABC≌△ADE.

6.如图，已知AD=AE，AB=AC，求证：

△ABE≌△ACD.

7.已知，AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，求证：

△ACD≌△EBD.

类型6　已知一边一角对应相等，找另一角相等

8.已知，如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE，求证：

△ABC≌△DAE.

9.如图，已知∠BDC=∠CEB=90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：

（1）△ADO≌△AEO；

（2）△BDO≌△CEO.

小专题

（二）　利用三角形全等证明的几种常见的结论

类型1　证角相等

1.如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC，求证：

∠1=∠2.

2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：

∠1=∠2.

类型2　证明线段之间的位置关系

（1）证线段的平行

3.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：

AB∥CD.

（2）证线段的垂直

4.如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD.求证：

BE⊥AC.

类型3　线段之间的数量关系

（1）证线段相等

5.已知：

如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.求证：

AE=CE.

6.如图，AB=CB，AD=CD，E是BD上任意一点，求证：

AE=CE.

（2）证线段的和差关系

7.如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F.

求证：

（1）△ABE≌△AFE；

（2）AD＋BC=AB.

8.如图，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B＋∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=

∠BAD，求证：

EF=BD＋DF.

（3）证线段的倍分关系

9.已知：

如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，求证：

BE=

AD.

小专题（三）　构造全等三角形的方法技巧

方法1　利用“角平分线”构造全等三角形

【方法归纳】　因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个（角相等和公共边相等），故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：

（1）在角的两边截取两条相等的线段；

（2）过角平分线上一点作角两边的垂线.

1.如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：

BC=AB＋CD.

2.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：

PC=PD.

方法2　利用“截长补短法”构造全等三角形

【方法归纳】　截长补短法的具体做法：

在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由.（想一想，你会几种方法）

4.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明.

5.如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点.问：

AD，BC，AB之间有何关系？

并说明理由.

方法3　利用“倍长中线法”构造全等三角形

【方法归纳】　将中点处的线段延长一倍，然后利用SAS证三角形全等.

6.已知：

如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD.求证：

AE=

AC.

7.如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：

DE=2AM.

章末复习

（二）　全等三角形

01　　基础题

知识点1　全等三角形的性质

1.如图，△ABC≌△DEC，∠A=70°，∠ACB=60°，则∠E的度数为（）

A.70°B.50°C.60°D.30°

2.如图，已知△ABC≌△DAE，BC=2，DE=5，则CE的长为（）

A.2B.2.5C.3D.3.5　　

知识点2　全等三角形的判定

3.如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件时，即可以得到△ABC≌△FED.（只需填写一个你认为正确的条件）

4.如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF.求证：

（1）△ABC≌△DEF；

（2）AB∥DE.

知识点3　全等三角形的实际应用

5.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（）

A.①B.②C.③D.①和②

6.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄.已知DA=10km，CB=15km.DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则AE的长

是km.

知识点4　角平分线的性质与判定

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（）

A.BD＋ED=BCB.DE平分∠ADBC.AD平分∠EDCD.ED＋AC＞AD

8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD∶DC=3∶2，则D到边AB的距离是.

9.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：

PM=PN.

02　　中档题

10.如图，已知△ABC≌△EDF，点F，A，D在同一条直线上，AD是∠BAC的平分线，∠EDA=20°，∠F=60°，则∠DAC的度数是（）

A.50°B.60°C.100°D.120°

11.如图，射线OC是∠AOB的平分线，P是射线OA上一点，DP⊥OA，DP=5，若点Q是射线OB上一个动点，则线段DQ长度的范围是（）

A.DQ＞5B.DQ＜5C.DQ≥5D.DQ≤5　　

12.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有对全等三角形.

13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP=.

14.如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35cm，点B与点O的垂直距离AB长20cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC=35cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？

03　　综合题

15.

（1）阅读理解：

如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DE=AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中.利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是2＜AD＜8；

（2）问题解决：

如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证BE＋CF＞EF.

第十二章全等三角形参考答案

类型1　已知两边对应相等，找第三边相等

1.证明：

∵点D是BC的中点，∴BD=CD.

在△ABD和△EDC中，

∴△ABD≌△EDC（SSS）.

类型2　已知两角对应相等，找夹边相等

2.证明：

在△ABD和△CDB中，

∴△ABD≌△CDB（ASA）.

类型3　已知两角对应相等，找其中一角的对边相等

3.解：

全等.理由：

∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D.

∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.

在△AOF和△DOC中，

∴△AOF≌△DOC（AAS）.

类型4　已知直角三角形的直角边（或斜边）相等，找斜边（或直角边）相等

4.证明：

∵BE=CF，∴BE＋EC=CF＋EC，即BC=EF.

在Rt△ABC和Rt△DFE中，

∴△ABC≌△DFE.

类型5　已知两边对应相等，找夹角相等

5.证明：

∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC=∠CAE＋∠DAC.∴∠BAC=∠DAE.

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS）.

6.证明：

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（SAS）.

7.证明：

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.

在△ACD和△EBD中，

∴△ACD≌△EBD（SAS）.

类型6　已知一边一角对应相等，找另一角相等

8.证明：

∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA.

在△ABC和△DAE中，

∴△ABC≌△DAE（ASA）.

9.证明：

（1）∵AO平分∠BAC，∴∠DAO=∠EAO.

∵∠BDC=∠CEB=90°，∴∠ADO=∠AEO.

在△ADO和△AEO中，

∴△ADO≌△AEO（AAS）.

（2）∵△ADO≌△AEO，∴DO=EO.

在△BDO和△CEO中，

∴△BDO≌△CEO（ASA）.

小专题

（二）　利用三角形全等证明的几种常见的结论

类型1　证角相等

1.证明：

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴∠1=∠2.

2.证明：

∵点D是BC的中点，∴BD=CD.

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD=∠CAD.

在△ABE和△ACE中，

∴△ABE≌△ACE（SAS）.∴∠1=∠2.

类型2　证明线段之间的位置关系

3.证明：

在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD.∴∠A=∠C.∴AB∥CD.

4.证明：

∵AD为△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt△BDF和Rt△ADC中，

∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.∴∠1=∠2.

∵∠1＋∠BFD=90°，∠BFD=∠AFE，∴∠2＋∠AFE=90°.∴∠BEA=90°.∴BE⊥AC.

类型3　线段之间的数量关系

5.证明：

∵FC∥AB，∴∠ADE=∠CFE.

在△ADE和△CFE中，

∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴AE=CE.

6.证明：

在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SSS）.∴∠ADE=∠CDE.

在△ADE和△CDE中，

∴△ADE≌△CDE（SAS）.∴AE=CE.

7.证明：

（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE=∠FAE，∠ABE=∠CBE.

∵AD∥BC，∴∠F=∠CBE.∴∠ABE=∠F.∴AB=AF.

在△ABE和△AFE中，

∴△ABE≌△AFE.

（2）∵△ABE≌△AFE，∴BE=FE，AB=AF.

在△BCE和△FDE中，

∴△BCE≌△FDE.∴BC=FD.∴BC＋AD=DF＋AD=AF=AB.

8.证明：

延长FD到G，使DG=BE，连接AG，

∵∠B＋∠ADC=180°，∠ADC＋∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG.

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS）.∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.

∵∠EAF=

∠BAD，∴∠GAF=∠DAG＋∠DAF=∠BAE＋∠DAF=∠BAD－∠EAF=∠EAF.∴∠EAF=∠GAF.

在△AEF和△AGF中，

∴△AEF≌△AGF（SAS）.∴EF=FG.

∵FG=DG＋DF=BE＋DF.∴EF=BE＋DF.

9.解：

延长AC、BE交于点F，

∵∠ACB=90°，BE⊥AE，∴∠CAD＋∠CDA=90°，∠EDB＋∠EBD=90°.

∵∠CDA=∠EDB，∴∠CAD=∠EBD，即∠CAD=∠CBF.

在△ADC和△BFC中，

∴△ADC≌△BFC.∴AD=BF.

在△AEF和△AEB中，

∴△AEF≌△AEB.∴BE=EF，即BE=

BF.∴BE=

AD.

小专题（三）　构造全等三角形的方法技巧

方法1　利用“角平分线”构造全等三角形

1.证明：

在BC上截取BF=AB，连接EF.

∵∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E，∴∠ABE=∠FBE，∠BCE=∠DCE，

在△ABE和△FBE中，

∴△ABE≌△FBE.∴∠BAE=∠BFE.

∵AB∥CD，∴∠BAE＋∠CDE=180°.∴∠BFE＋∠CDE=180°.

∵∠BFE＋∠CFE=180°，∴∠CFE=∠CDE.

在△FCE和△DCE中，

∴△FCE≌△DCE.∴CF=CD.∴BC=BF＋CF=AB＋CD.

2.证明：

过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.∴∠PEC=∠PFD=90°.

∵OM是∠AOB的平分线.∴PE=PF.

∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，∴∠PCE＋∠PDO=360°－90°－90°=180°.

而∠PDO＋∠PDF=180°，∴∠PCE=∠PDF.

在△PCE和△PDF中，

∴△PCE≌△PDF（AAS）.∴PC=PD.

方法2　利用“截长补短法”构造全等三角形

3.解：

AB=AC＋CD.理由：

方法1：

在AB上截取AE=AC，连接DE.

易证△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C.

∵∠AED=∠B＋∠EDB，∴∠C=∠AED=∠B＋∠EDB.

又∵∠C=2∠B，∴∠B=∠EDB.∴BE=DE.∴AB=AE＋BE=AC＋DE=AC＋CD.

方法2：

延长AC到点F，使CF=CD，连接DF.

∵CF=CD，∴∠CDF=∠F.∵∠ACB=∠CDF＋∠F，∴∠ACB=2∠F.

又∵∠ACB=2∠B，∴∠B=∠F.又∵∠BAD=∠FAD，AD=AD，∴△ABD≌△AFD（AAS）.

∴AB=AF=AC＋CF=AC＋CD.

4.解：

BC=BE＋CD.证明：

在BC上截取BF=BE，连接OF.

∵BD平分∠ABC，∴∠EBO=∠FBO.

又∵OB=OB，∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB=∠FOB.

∵∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠BOC=180°－∠OBC－∠OCB=180°－

∠ABC－

∠ACB=180°－

（180°－∠A）=120°.

∴∠EOB=∠DOC=60°.∴∠BOF=60°，∠FOC=∠DOC=60°.

∵CE平分∠DCB，∴∠DCO=∠FCO.又∵OC=OC，∴△DCO≌△FCO.∴CD=CF.

∴BC=BF＋CF=BE＋CD.

5.解：

AB=AD＋BC.理由：

作EF⊥AB于F，连接BE.

∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，AD∥BC，∴EF=DE，DC⊥BC.

∵DE=CE，∴EC=EF.∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL）.∴BF=BC.

同理可证：

AF=AD.∴AD＋BC=AF＋BF=AB，即AB=AD＋BC.

方法3　利用“倍长中线法”构造全等三角形

6.证明：

延长AE至F，使EF=AE，连接DF.∵AE是△ABD的中线，∴BE=DE.

∵∠AEB=∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B=∠BDF，AB=DF.

∵BA=BD，∴∠BAD=∠BDA，BD=DF.

∵∠ADF=∠BDA＋∠BDF，∠ADC=∠BAD＋∠B，∴∠ADF=∠ADC.

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.∴DF=CD.

又∵AD=AD，∴△ADF≌△ADC（SAS）.∴AC=AF=2AE，即AE=

AC.

7.证明：

延长AM至N，使MN=AM，连接BN.∵点M为BC的中点，∴BM=CM.

又∵∠BMN=∠CMA，∴△AMC≌△NMB（SAS）.

∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠ABN=∠ABC＋∠C=180°－∠BAC=∠EAD.

又∵BN=AC=AD，AB=EA，∴△ABN≌△EAD（SAS）.∴DE=NA.∴DE=2AM.

章末复习

（二）　全等三角形

1.（B）

2.（C）

3.BC=DE或∠A=∠F或AB∥EF

4.证明：

（1）∵AC⊥BC，DF⊥EF，∴∠ACB=∠DFE=90°.

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS）.

（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF.∴AB∥DE.

5.（C）

6.15km.

7.（B）

8.6.

9.证明：

∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD.

在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SAS）.∴∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC.

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN.

10.（A）

11.（C）

12.3

13.6_cm或12_cm.

14.解：

在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD（SAS）.∴∠AOB=∠COD.

又∵∠AOB＋∠BOC=180°，∴∠BOC＋∠COD=180°，即∠BOD=180°.

∴D，O，B三点在同一条直线上.∴钻头沿着DO的方向打孔，一定从点B处打出.

15.证明：

延长FD至点G，使DG=DF，连接BG，EG.

∵点D是BC的中点，∴DB=DC.

∵∠BDG=∠CDF，DG=DF，∴△BDG≌△CDF（SAS）.∴BG=CF.

∵ED⊥FD，∴∠EDF=∠EDG=90°.

又∵ED=ED，FD=DG，∴△EDF≌△EDG.∴EF=EG.

∵在△BEG中，BE＋BG＞EG，∴BE＋CF＞EF.